2021高考数学一轮复习 课时作业45 立体几何中的向量方法 理

课时作业45立体几何中的向量方法 基础达标12020广东五校第一次诊断如图，在菱形abcd中，abc60，ac与bd交于点o，ae平面abcd，cfae，abae2.(1)求证：bd平面acfe；(2)当直线fo与平面bed所成的角为45时，求异面直线of与be所成角的余弦值解析：(1)四边形abcd是菱形，bdac.ae平面abcd，bd平面abcd，bdae.又acaea，ac，ae平面acfe，bd平面acfe.(2)连接oe，以o为原点，oa，ob所在直线分别为x轴，y轴建立如图所示的空间直角坐标系，则b(0，0)，o(0,0,0)，e(1,0,2)，f(1,0，a)(a0)，则(0，0)，(1,0,2)，(1,0，a)设平面ebd的法向量为n(x，y，z)，则有即得y0.令z1，则x2，n(2,0,1)是平面ebd的一个法向量由题意得sin 45|cos，n|，解得a3或a(舍去)(1,0,3)，又(1，2)，cos，故异面直线of与be所成角的余弦值为.22020安徽合肥调研如图，矩形abcd和菱形abef所在的平面相互垂直，abe60，g为be的中点(1)求证：平面acg平面bce；(2)若abbc，求二面角bcag的余弦值解析：(1)证明：平面abcd平面abef，cbab，平面abcd平面abefab，cb平面abef，cbag.在菱形abef中，abe60，连接ae，则abe为等边三角形，又g为be的中点，agbe.becbb，ag平面bce.ag平面acg，平面acg平面bce.(2)由(1)知，ad平面abef，agbe，ag，af，ad两两垂直以a为原点，建立如图所示的空间直角坐标系设ab2，则bc，a(0,0,0)，g(，0,0)，c，b(，1,0)设m(x，y，z)为平面abc的法向量由得取x1，得y，z0，m(1，0)是平面abc的一个法向量，同理可得平面acg的一个法向量为n(0,2，)，cosm，n，结合图形知，二面角bcag为锐二面角，故二面角bcag的余弦值为.32020河南洛阳统一考试如图1，平面多边形pabcd中，papd，ad2dc2bc4，adbc，appd，addc，e为pd的中点，现将apd沿ad折起，如图2，使pc2.(1)证明：ce平面abp；(2)求直线ae与平面abp所成角的正弦值解析：(1)取pa的中点h，连接he，bh，如图e为pd的中点，he为pad的中位线，head，且head.又adbc，bcad，hebc，hebc，四边形bceh为平行四边形，cebh.bh平面abp，ce平面abp，ce平面abp.(2)由题意知pad为等腰直角三角形，四边形abcd为直角梯形取ad的中点f，连接bf，pf，ad2bc4，平面多边形pabcd中，p，f，b三点共线，且pfbf2，翻折后，pfad，bfad，pfbff，df平面pbf，bc平面pbf，pb平面pbf，bcpb.在直角三角形pbc中，pc2，bc2，pb2，pbf为等边三角形取bf的中点o，dc的中点m，连接po，om，则pobf，df平面pbf，dfpo.又dfbff，po平面abcd.以o为原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则b(1,0,0)，d(1,2,0)，p(0,0，)，a(1，2,0)，e，(2,2,0)，(1,0，)设平面abp的法向量为n(x，y，z)，则故可取n(3，3，)，cosn，直线ae与平面abp所成角的正弦值为.42020广东惠州一调如图，直四棱柱abcda1b1c1d1的底面是菱形，侧面是正方形，dab60，e是棱cb的延长线上一点，经过点a，c1，e的平面交棱bb1于点f，b1f2bf.(1)求证：平面ac1e平面bcc1b1；(2)求二面角eac1c的余弦值解析：(1)设四棱柱abcda1b1c1d1的棱长为a，b1f2bf，b1c1fbef，be.由dab60abe，得abc120，由余弦定理得ae，aca.cebebc，ae2ce2ac2，aece.又abcda1b1c1d1是直四棱柱，c1c平面abcd，又ae平面abcd，c1cae.cecc1c，ae平面bcc1b1.ae平面ac1e，平面ac1e平面bcc1b1.(2)解法一过c作cgac1于g，chc1f于h，连接gh.由平面ac1e平面bcc1b1，平面ac1e平面bcc1b1c1e，得ch平面ac1e.chac1，又cgac1，cgchc，ac1平面cgh，ac1gh，cfh是二面角eac1c的平面角在rtacc1中，aca，cc1a，ac12a，cga，在rtecc1中，cea，cc1a，ec1a，cha，gha，coscgh，二面角eac1c的余弦值为.解法二以e为坐标原点，ec，ea所在直线分别为x轴，y轴，平行于bb1的直线为z轴建立空间直角坐标系，则e(0,0,0)，a，c1，则，.设平面eac1的法向量为n(p，q，r)，则即不妨取n(2,0,3)连接bd，b，d，易知平面ac1c的一个法向量为n1.设二面角eac1c的平面角为，则|cos |，又由题图知为锐角，二面角eac1c的余弦值为.52020江西南昌重点中学段考如图，四边形abcd是矩形，沿对角线ac将acd折起，使得点d在平面abc内的射影恰好落在边ab上(1)求证：平面acd平面bcd；(2)当2时，求二面角dacb的余弦值解析：(1)如图，设点d在平面abc内的射影为点e，连接de，则de平面abc，所以debc.因为四边形abcd是矩形，所以abbc，所以bc平面abd，所以bcad.又adcd，所以ad平面bcd，而ad平面acd，所以平面acd平面bcd.(2)解法一在矩形abcd中，过点d作ac的垂线，垂足为m，连接me.因为de平面abc，所以deac，又dmded，所以ac平面dme，所以emac，所以dme为二面角dacb的平面角设ada，则ab2a.在rtadc中，易求得am，dm.在rtaem中，tanbac，得em，所以cosdme.解法二以点b为原点，线段bc所在的直线为x轴，线段ab所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系，如图所示设ada，则ab2a，所以a(0，2a,0)，c(a,0,0)由(1)知adbd，又2，所以dba30，dab60，所以aeadcosdaba，beabaea，deadsindaba，所以d，所以，(a,2a,0)设平面acd的法向量为m(x，y，z)，则即取y1，则x2，z，所以m.因为平面abc的一个法向量为n(0,0,1)，所以cosm，n.结合图知，二面角dacb为锐二面角，所以二面角dacb的余弦值为.62020四川成都模拟，逻辑推理如图，四棱柱abcda1b1c1d1中，a1a平面abcd，abdc，abad，adcd1，aa1ab2，e为棱aa1的中点(1)证明：b1c1ce；(2)求二面角b1cec1的正弦值；(3)设点m在线段c1e上，且直线am与平面add1a1所成角的正弦值为，求线段am的长解析：(1)在b1c1e中，eb1，b1c1，ec1，b1ceceb，b1c1ec1，aa1平面abcd，aa1bc，cc1b1c1，而cc1ec1c1，b1c1平面cc1e.ce平面cc1e，b1c1ce.(2)由题可知，da，aa1，ab两两垂直，如图，以点a为原点，分别以ad，aa1，ab所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则a(0,0,0)，b(0,0,2)，c(1,0,1)，b1(0,2,2)，c1(1,2,1)，e(0,1,0)，(1，2，1)，(1,1，1)，(1,0，1)，设平面b1ce的法向量为m(x，y，z)，则即消去x，得y2z0，不妨令z1，则m(3，2,1)为平面b1ce的一个法向量由(1)知，b1c1平面cec1，故(1,0，1)为平面cec1的一个法向量所以cosm，从而sinm，所以二面角b1cec1的正弦值为.(3)由(2)知(0,1,0)，(1,1,1)，设，则(，)，(01)，则(，1，)易知(0,0,2)为平面add1a1的一个法向量设为直线am与平面add1a1所成的角，则sin |cos，|，得(负值舍去)，所以，|，故线段am的长为.能力挑战72020安徽江南名校联考如图，在四棱锥pabcd中，pd平面abcd，abdc，abad，dc6，ad8，bc10，pad45，e为pa的中点(1)求证：de平面bpc；(2)线段ab上是否存在一点f，满足cfdb？若存在，请求出二面角fpcd的余弦值；若不存在，请说明理由解析：(1)取pb的中点m，连接em和cm，过点c作cnab，垂足为点n，如图在四边形abcd中，cnab，daab，cnda.又abcd，四边形cdan为平行四边形，cnad8，dcan6，在rtbnc中，bn6，ab12，而e，m分别为pa，pb的中点，emab且emab6.又dcab，emcd且emcd，四边形cdem为平行四边形，decm.cm平面pbc，de平面pbc，de平面bpc.(2)由题意可得da，dc，dp两两垂直，如图，以d为原点，da，dc，dp所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系dxyz，则a(8,0,0)，b(8,12,0)，c(0