泛函分析复习与总结

泛函分析复习与总结(2014年6月26日星期四 10:20-11:50)第一部分 空间及其性质泛函分析的主要内容分为空间和算子两大部分. 空间包括泛函分析所学过的各种抽象空间, 函数空间, 向量空间等, 也包括空间的性质, 例如完备性, 紧性, 线性性质, 空间中集合的各种性质等等。以下几点是对第一部分内容的归纳和总结。一空间 （1）距离空间 （集合+距离）！验证距离的三个条件：称为是距离空间，如果对于(i) 【非负性】，并且当且仅当【正定性】；(ii) 【对称性】；(iii) 【三角不等式】。距离空间的典型代表：空间、空间、所有的赋范线性空间、所有的内积空间。（2）赋范线性空间 （线性空间 + 范数）！验证范数的三个条件：称为是赋范线性空间，如果是数域（或）上的线性空间，对于和，成立(i) 【非负性】，并且当且仅当【正定性】；(ii) 【齐次性】；(iii) 【三角不等式】。赋范线性空间的典型代表：空间（）、空间（）、空间（）、空间（）、空间、空间、Banach空间、所有的内积空间（范数是由内积导出的范数）。（3）内积空间 （线性空间 + 内积）！验证内积的四个条件：称为是内积空间，如果是数域（或）上的线性空间，对于和，成立(i) 【非负性】，并且当且仅当【正定性】；(ii) 【第一变元可加性】；(iii) 【第一变元齐次性】；(iv) 【共轭对称性】。内积空间的典型代表：空间（）、空间（）、空间、空间。注. 1) 从概念的外延来理解, 有如下的关系: 内积空间赋范线性空间距离空间.2) 内积可导出范数, 范数可导出距离, 反之未必. 例如在赋范线性空间中, 如果范数满足平行四边形公式, 则由范数可以定义内积. 3) 在距离空间中，当；赋范线性空间中，当；内积空间中， ，当.重点. ！ 要求会验证距离, 范数和内积. 二完备性，稠密性，可分性（1）！完备性 距离的完备性是指“空间中的任何基本列都是收敛的”具有完备性的距离空间称为完备距离空间；完备的赋范线性空间称为Banach空间；完备的内积性空间称为Hilbert空间. 重点. 验证一个距离是否完备是泛函分析基本的技能。注. 距离空间的*完备化不是本课程的重点. （2）稠密性若, 则称在中稠密. 当时, 也称是的稠密子集. 关于在中稠密的等价命题: 在中稠密, 存在, 使得;, . （3）！可分性如果有可数的稠密子集, 则称具有可分性. 类似地可以定义可分的距离空间, 可分的赋范线性空间, 可分的内积空间等. 不具有可分性的空间称为不可分空间. 可分空间的典型代表：空间（）、空间（）、空间（）、空间（）、空间、空间. 不可分空间的典型代表：空间、空间. 重点. 要求会找出具体的可分空间中可数稠子集. 掌握不可分空间的证明方法. ！不可分空间的证明方法: 如果空间中含有一个不可数子集, 且其中任何两个不同点之间的距离大等于一个确定的正数, 则是不可分的. （例如中这样的集合是分量为零和1的无穷维向量全体；中这样的集合是上的集特征函数全体）三 空间中的集合（1）开集、闭集、有界集、无界集；（2）疏朗集、稠密集；（3）列紧集！、完全有界集！、紧集.具体空间中列紧集的判别条件：a和或有限维赋范线性空间中：Weierstrass定理（有界集是列紧集）;b. ！中： Arzela-Ascoli定理（一致有界且等度连续）；（4）内积空间中的正交集， ！正交基.Parseval恒等式、Bessel不等式。（5）有限维赋范线性空间的性质：1. 有界集即列紧集；2. 有限维赋范线性空间中任何两个范数都是等价的。四 具体的空间已经学过的具体空间有：u 空间（）;u 空间（）;u 空间（）;u 空间（）;u 空间;u 空间。 注. 1. 要求掌握每个具体空间中收敛的含义；(例如有限维赋范线性空间中点列按范数收敛意味着每个分量收敛、点列的收敛意味着函数列的一致收敛等等)。2. ！要求掌握列紧集的判别方法（仅限于有限维赋范线性空间中Weierstrass定理和空间中的Arzela-Ascoli定理）；3. ！要求掌握具体空间中距离或范数完备性的证明方法；（的完备性证明不作要求）4. 会用Holder不等式、Minkowski不等式、Cauchy不等式、Schwartz不等式和Bessel不等式等；5. 具体空间的共轭空间， 仅限于要求掌握：！空间（）的共轭空间（泛函的表示形式，等距同构，证明不作要求）；空间（）的共轭空间（泛函的表示形式，等距同构，证明不作要求）；第二部分 映射 算子 泛函泛函分析的主要内容分为空间和算子两大部分. 算子部分包括泛函分析所学过的各种抽象或具体的映射，算子，泛函等。也涉及到与之相关的性质和众多重要的定理, 例如共鸣定理，闭图像定理，开映射定理以及泛函延拓定理等等。以下几点是对第二部分内容的归纳和总结。一. 泛函分析中的映射在泛函分析中, 映射当是空间时称为算子; 当是空间, 是数域(或)时称为泛函; 当是线性空间时, 主要考虑线性算子: , , ;泛函分析中的非线性映射: 1. *压缩映射: , 其中. Banach不动点定理. 2. *紧集上的连续泛函(对照数学分析中有限闭区间上的连续函数的性质). 二. 有界线性算子（1）是由映射到的有界线性算子全体所组成的赋范线性空间（尤其是当是Banach空间时也是Banach空间）；（2）有界线性算子列的收敛：算子列的按算子范数收敛： ；算子列的强收敛： 对于每一个，；（参见Banach-Steinhaus定理，P59）（3）重要定理开映射定理、逆算子定理；！共鸣定理、 ！一致有界定理、 ！Banach-Steinhaus定理；闭图像定理、！范数等价性定理（P63引理1）；注. 重点在于定理的理解和应用，定理的证明通常不作要求。（4）共轭算子 共轭算子的定义（）以及简单性质；重要实例：*以为核的积分算子的共轭算子、 ！左位移（右位移）算子的共轭算子。（5）具体的线性算子l ！以为核的积分算子；l ！由变上限积分所定义的算子；l 微分算子；l ！由到的左位移（右位移）算子. 注. 线性算子的有界性等价于连续性. 重点. 要求掌握：验证算子有意义、验证线性性质、验证线性算子是有界的、 ！会求较为简单的算子或泛函的算子范数。三. 有界线性泛函（1）的概念和简单性质 (). （2） 的概念和简单性质: 在等距同构（自然投射）的意义下可以视为的子空间（），当在等距同构意义下与相等时，称为自反空间；（3）的实例：！空间（）的共轭空间（泛函的表示形式，等距同构，证明不作要求）；空间（）的共轭空间（泛函的表示形式，等距同构，证明不作要求）；（3）泛函列的收敛： 设，按算子范数收敛于（称为强收敛）： ；弱收敛于： 对于每一个： ；弱*收敛于： 对于每一个： 。注. 1. 当是自反空间时，弱收敛与弱*收敛等价。2. 对于泛函列的弱收敛，也有相应的Banach-Steinhaus定理。（4）点列的收敛： u 在赋范线性空间中，设，按范数收敛于（称为强收敛）： ；弱收敛于： 对于每一个： ；弱*收敛于： 对于每一个： 。u 在Hilbert空间中，设，按范数收敛于（也称为强收敛）： ；弱收敛于等价于 对于每一个，（请参考Frechet-Riesz表示定理（P107定理3）未学