高数下9.3三重积分及其计算.ppt

将二重积分定义中的积分区域推广到空间区域,被积函数推广到三元函数,就得到三重积分的定义.,9.3三重积分及其计算,一、三重积分的概念,三重积分的物理背景以(x,y,z)为体密度函数的空间物体的质量.,首先,将闭区域任意分成n个小闭区域v1,v2,vn,其中vi表示第i个小闭区域,也表示它的体积,在每个vi上任取一点(i,i,i),作乘积(i,i,i)vi(i=1,2,n),并作和,如果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于零时,该和式的极限存在,则称此极限为空间物体的质量M,即,当然,在三维空间定义的函数u=f(x,y,z)的“几何”意义是四维空间的“曲面”,我们可以想象,但无论如何也无法画出其“图形”,因此我们不再讨论其几何意义.下面我们给出三重积分的定义:,定义:设f(x,y,z)是空间有界闭区域上的有界函数,将闭区域任意分成n个小闭区域v1,v2,vn,其中vi表示第i个小闭区域,也表示它的体积,在每个vi上任取一点(i,i,i),作乘积f(i,i,i)vi(i=1,2,n),并作和,如果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于零时,该和式的极限存在,则称此极限为函数f(x,y,z)在闭区域,上的三重积分,并记为,即,其中dv称为体积元素,其它术语与二重积分相同.,同样有:闭区域上的连续函数一定可积.,在直角坐标系中,如果我们用三族(平行于坐标的)平面x=常数,y=常数,z=常数,对空间区域进行分割那末每个规则小区域都是长方体.其体积元素为:dv=dxdydz.三重积分可写成:,由定义可知三重积分与二重积分有着完全相同的性质,不再叙述.,二、三重积分在直角坐标系中的计算法,与二重积分类似,三重积分可化成三次积行计算.具体可分为先单后重和先重后单两种类型.,z=z1(x,y),z=z2(x,y),先单后重:,设闭区域在xoy面的投影为闭区域Dxy.在闭区域Dxy内任取一点(x,y),作垂直于xoy面的直线穿过闭区域.穿入时的下边界曲面方程:z=z1(x,y)穿出时的上边界曲面方程:z=z2(x,y),先将x,y看作定值,f(x,y,z)看作z的函数,则积分,为闭区域Dxy上的函数,可以理解为压缩在平面薄片Dxy上的密度函数.,y=y2(x),由三重积分的物理意义,若将f(x,y,z)理解为闭区域上的体密度函数,那么三重积分表示空间物体的质量M.则函数F(x,y)可以理解为压缩在平面薄片Dxy上的密度函数.,则质量M等于F(x,y)在平面薄片Dxy上二重积分:,即,下面只需将二重积分化成二次积分:不妨设Dxy为X区域:y1(x)yy1(x),axb.,则,此方法也称为先一后二,或切条法(先z次y后x,或先z次x后y),注意:这是用平行于z轴(或垂直于xoy平面)且穿过闭区域内部的直线与闭区域的边界曲面相交不多于两点情形.用完全类似的方法可把三重积分化成其它次序下的三次积分.,化三重积分为三次积分的步骤:投影:得平面区域;穿越法定限:穿入点下限,穿出点上限.对于二重积分化为累次积分的方法,已经介绍过.,例1:将三重积分,化成三次积分,其中为长方体,各边界面平行于坐标面.,解:将投影到xoy面得Dxy,它是一个矩形:cyd,axb,在Dxy内任取一点(x,y)作平行于z轴的直线,交边界曲面于两点,其竖坐标为l和m(lm).,例2:计算,平面x+y+z=1所围成的区域.,其中是三个坐标面与,解:画出在xoy面上的投影区域Dxy:0y1x,0x1,平行于z轴直线穿过的下曲面为z=0,上曲面为z=1xy,有0z1xy.,x+y+z=1,x+y=1,解:画出积分区域的草图.,其中积分区域为由曲面z=x2+y2,y=x2,y=1,z=0所围成的空间闭区域.,例3:化三重积分为,三次积分,在xoy面上的投影区域Dxy:x2y1,1x1,平行于z轴的直线穿过的下曲面为z=0,上曲面为z=x2+y2,有0zx2+y2.,例4:将三次积分,化为按y,z,x的次序积分.,解:由所给积分次序可得:0zx2+y2,0y1,0x1.,即在xoy面上得投影为方形区域,0y1,0x1.,平行于z轴的直线穿过的下曲面为z=0,上曲面为z=x2+y2,有0zx2+y2.,由题意要求,需要先对y积分,则应作平行于y轴的直线穿过,为此,需作一母线平行于y轴的柱面z=x2,将积分区域分为两部分(见图)1,2.,1,2在xoz面上的投影区域D1,D2分别为:D1:0zx2,0x1;D2:x2zx2+1,0x1.,关于y的变化范围:在D1上:0y1;在D2上:,所以,除了上面介绍的先单后重法(切条法)外,利用先重后单法或称截面法也可将三重积分化成三次积分.先重后单,就是先求关于某两个变量的二重积分再求关于另一个变量的定积分.,先重后单:,设积分区域介于两平行平面z=c1,z=c2(c1c2)之间,用任一平行且介于此两平面的平面去截,得区域D(z),c1zc2.,则,易见,若二重积分容易计算时,特别是被积函数f(x,y,z)与x,y无关时,则二重积分的结果就是D(z)的面积,因此,用截面法较为方便.,截面法的一般步骤:(1)把积分区域向某轴(例如z轴)投影,得投影区间c1,c2;(2)对zc1,c2用过z轴且平行xoy面的平面去截,得截面D(z);,例5:计算,解:易见介于z=c和z=c之间,而,或,故,例6:计算,解一:先重后单.介于z=0和z=1之间,D(z):x2+y2z.,解二:先单后重.将投影到xoy面得投影区域:,Dxy:x2+y21.,平行于z轴的直线穿过的下曲面为z=x2+y2,上曲面为z=1,因此有x2+y2z1.,(用极坐标,用对称性),所以,所以,此例介绍的是一种计算三重积分的方法,这种方法也具有一定的普遍性,这就是我们将要介绍的柱坐标系下的计算法.,三、小结,三重积分的定义;在直角坐标系下的体积元素:dv=dxdydz;三重积分的计算:用切条法或截面法将三重积分化为三次积分.,思考题:,为六个平面x=0,x=2,y=1,x+2y=4,z=x,z=2围成的区域,f(x,y,z)在上连续,则,累次积分_,(D),四、在柱坐标系下的计算法,设M(x,y,z)为空间内一点,并设点M在xoy面上的投影P的极坐标为r,则这样的三个数r,z就叫点M的柱面坐标.规定:0r+,02,z+.,直角坐标与柱面坐标的变换公式:,三重积分在柱坐标系和球坐标系下的计算,z,M,r,S,z,r=常数圆柱面z=常数垂直z轴的平面,动点M(r,z),柱面坐标系的坐标面,z,M,r,S,P,r=常数圆柱面z=常数垂直z轴的平面,动点M(r,z),柱面坐标系的坐标面,=常数过z轴的半平面,dr,r,rd,d,z,柱面坐标下的体积元素,元素区域由六个坐标面围成:,半平面及+d;半径为r及r+dr的圆柱面;平面z及z+dz;,dr,r,rd,d,z,底面积:rdrd,dz,.,柱面坐标下的体积元素,元素区域由六个坐标面围成:,半平面及+d;半径为r及r+dr的圆柱面;平面z及z+dz;,dr,r,rd,d,z,底面积:rdrd,dz,.,dv,柱面坐标下的体积元素,元素区域由六个坐标面围成:,半平面及+d;半径为r及r+dr的圆柱面;平面z及z+dz;,所以:dv=rdrddz.,所以,然后再把它化为三次积分来计算.积分次序一般是先z次r后.积分限是根据z,r,在积分区域中的变化范围来确定.,解:积分区域为一圆锥面与平面z=1围成.将积分区域投影到xoy面得Dxy:x2+y21.,例1:计算三重积分:,则积分限为:02,0r1,rz1.,注:若空间区域为以坐标轴为轴的圆柱体,圆锥体或旋转体时,通常总是考虑使用柱坐标来计算.,所以,例2:计算三重积分,面z=1,z=2和圆锥面,围成的区域.,其中是由平,解:确定变量z,r,的变化范围.,r,的范围容易定出:02,0r2.,z呢?,当0r1时,1z2;当1r2时,rz2.,作图!,由图可以看出:,所以,五、在球坐标系下的计算法,设M(x,y,z)为空间内一点,则点M可用三个有次序的数r,来确定,其中r为原点O与点M间的距离,为有向线段OM与z轴正向的夹角,为从z轴正向来看自x轴按逆时针方向转到有向线段OP的夹角,这里P为点M在xoy面上的投影,这样的三个数r,就叫做点M的球面坐标.,x=OAy=OBz=OCOM=r.,=OMsincos=OMsinsin=OMcos,=OPcos=OPsin,所以,规定:0r+,0,02.,S,r,M,r为常数为常数,球面圆锥面,球面坐标系的坐标面:,动点M(r,),C,C,S,M,P,r为常数为常数为常数,球面圆锥面半平面,球面坐标系的坐标面:,动点M(r,),r,dr,d,rsin,圆锥面,rd,球面r,圆锥面+d,球面r+dr,元素区域由六个坐标面围成:,rsind,半平面及+d;半径为r及r+dr的球面;圆锥面及+d.,球面坐标下的体积元素,d,r,dr,d,x,z,y,0,d,rd,.,dv=r2sindrdd,dv,元素区域由六个坐标面围成:,半平面及+d;半径为r及r+dr的球面;圆锥面及+d.,球面坐标下的体积元素,rsind,然后把它化成对r,的三次积分,具体计算时需要将用球坐标系下的不等式组表示,积分次序通常是先r次后.,解一:用球坐标.,平面z=a,x2+y2=z2,解二:用柱坐标.,x2+y2=z2z=r,所以,:rza,0ra,02.,例4:求曲面x2+y2+z22a2与,立体体积.,所围成的,解:由锥面和球面围成.,采用球面坐标.,由x2+y2+z2=2a2r=,由三重积分的性质知:所求立体的体积V为:,注:若积分区域为球体,球壳或其一部分被积函数呈x2+y2+z2的形式,而用球坐标后积分区域的球坐标方程比较简单,通常采用球坐标,补充:利用对称性简化三重积分计算,使用对称性时应注意:1.积分区域关于坐标面的对称性;2.被积函数在积分区域上关于三个坐标轴的奇偶性.,一般地,当积分区域关于xoy平面对称,且被积函