初中最短路径问题

最短路径问题（珍藏版）【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题， 旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径算法具体的形式包括：确定起点的最短路径问题 - 即已知起始结点，求最短路径的问题确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径全局最短路径问题 - 求图中所有的最短路径【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查【十二个基本问题】【问题 1】作法图形原理在直线 l 上求一点 P，使PA+PB 值最小连 AB，与 l 交点即为 P两点之间线段最短PA+PB 最小值为 AB【问题 2】“将军饮马”作法图形原理在直线 l 上求一点 P，使PA+PB 值最小作 B 关于 l 的对称点 B 连 A B，与 l 交点即为 P两点之间线段最短PA+PB 最小值为 A B【问题 3】作法图形原理在直线l1 、l2 上分别求点M、N，使PMN 的周长最小分别作点 P 关于两直线的对称点 P和 P，连 PP与两直线交点即为 M，N，两点之间线段最短PM+MN+PN 的最小值为线段 PP的长【问题 4】作法图形原理在直线l1 、l2 上分别求点M 、N，使四边形 PQMN的周长最小分别作点 Q 、P 关于直线l1 、l2 的对称点 Q和 P 连 QP，与两直线交点即为 M，N两点之间线段最短 四边形 PQMN 周长的最小值为线段 PP的长【问题 5】“造桥选址”作法图形原理直线 m n ，在 m 、 n ， 上分别求点 M、N，使 MN m ，且 AM+MN+BN 的值最小将点 A 向下平移 MN 的长度单位得 A，连 AB，交 n 于点 N，过 N 作 NM m 于 M两点之间线段最短AM+MN+BN 的最小值为AB+MN【问题 6】作法图形原理在直线l 上求两点 M、N（M在左），使 MN = a ，并使AM+MN+NB 的值最小将点 A 向右平移 a 个长度单位得 A，作 A关于l 的对称点 A，连 AB，交直线 l 于点 N，将 N 点向左平移 a 个单位得 M两点之间线段最短AM+MN+BN 的最小值为AB+MN【问题 7】作法图形原理在 l1 上求点 A，在 l2 上求点 B，使 PA+AB 值最小作点 P 关于 l1 的对称点P，作 PB l2 于 B，交l2 于 A点到直线，垂线段最短PA+AB 的最小值为线段 PB的长【问题 8】作法图形原理A 为 l1 上一定点，B 为l2 上一定点，在l2 上求点 M， 在 l1 上 求 点 N ， 使AM+MN+NB 的值最小作点 A 关于 l2 的对称点A，作点 B 关于 l1 的对称点 B，连 AB交l2 于M，交 l1 于 N两点之间线段最短AM+MN+NB 的最小值为线段 AB的长【问题 9】作法图形原理在直线 l 上求一点 P，使连 AB，作 AB 的中垂线与直线 l 的交点即为 P垂直平分上的点到线段两端点的距离相等PA - PB 0PA - PB的值最小【问题 10】作法图形原理在直线 l 上求一点 P，使PA - PB 的值最大作直线 AB，与直线 l 的交点即为 P三角形任意两边之差小于第三边 PA - PB ABPA - PB 的最大值AB【问题 11】作法图形原理在直线 l 上求一点 P，使PA - PB 的值最大作 B 关于 l 的对称点 B 作直线 A B，与 l 交点即为 P三角形任意两边之差小于第三边 PA - PB ABPA - PB 最大值AB【问题 12】“费马点”作法图形原理ABC 中每一内角都小于120，在ABC 内求一点P，使 PA+PB+PC 值最小所求点为“费马点”，即满足APBBPCAPC120以 AB、AC为边向外作等边ABD、ACE，连 CD、BE 相交于 P，点 P 即为所求两点之间线段最短PA+PB+PC 最小值CD【精品练习】1. 如图所示，正方形 ABCD 的面积为 12，ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在对角线 AC 上有一点 P，使 PD+PE 的和最小，则这个最小值为（）A. 2B. 2ADC3DBC2. 如图，在边长为 2 的菱形 ABCD 中，ABC60，若将ACD 绕点 A 旋转，当 AC、AD分别与 BC、CD交于点 E、F，则CEF 的周长的最小值为（）A2B 2C 2 +D43. 四边形 ABCD 中，BD90，C70，在 BC、CD 上分别找一点 M、N，使AMN 的周长最小时，AMN+ANM 的度数为（）A120B130C110D1404. 如图，在锐角ABC 中，AB4，BAC45，BAC 的平分线交 BC 于点 D，M、N 分别是 AD 和 AB上的动点，则 BM+MN 的最小值是 5. 如图，RtABC 中，C90，B30，AB6，点 E 在 AB 边上，点 D 在 BC 边上（不与点 B、C 重合），且 EDAE，则线段 AE 的取值范围是 6. 如图，AOB30，点 M、N 分别在边 OA、OB 上，且 OM1，ON3，点 P、Q 分别在边 OB、OA 上， 则 MPPQQN 的最小值是 （注“勾股定理”：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方， 即 RtABC 中，C90，则有 AC 2 + BC 2 = AB 2 ）7. 如图，三角形ABC 中，OABAOB15，点 B 在 x 轴的正半轴，坐标为 B( 6，0)OC 平分AOB，点 M 在 OC 的延长线上，点 N 为边 OA 上的点，则 MAMN 的最小值是 8. 已知 A（2，4）、B（4，2）C 在 y 轴上，D 在 x 轴上，则四边形 ABCD 的周长最小值为 ， 此时 C、D 两点的坐标分别为 9已知 A（1，1）、B（4，2）（1）P 为 x 轴上一动点，求 PA+PB 的最小值和此时 P 点的坐标；（2）P 为 x 轴上一动点，求 PA - PB 的值最大时 P 点的坐标；（3）CD 为 x 轴上一条动线段，D 在 C 点右边且 CD1，求当 AC+CD+DB 的最小值和此时 C 点的坐标；10. 点 C 为AOB 内一点（1