水果的销售与运输问题

-水果的销售与运输问题摘要：本题是根据以生产、输送和销售的约束条件求解最优解的问题。针对这问题，本文通过对大量数据的整合，并加以分析建立相应的数学模型。首先，运用每吨水果从各生产地到各销售地的差价和运费求得单位利润，再以产量和销售量为约束条件求出最佳效益时的分配方案。然后再根据运输方案不变，定成本为常量，根据已求出的销售价变化范围作约束条件求得最佳效益时的价格变化，四种水果的最佳收益Y1、Y2、Y3、Y4分别为：1303725元、2036459元、1765328元、600998元；最后，同理，定销售总额和总运费为常量，产价为变量，以产价的变化范围作约束条件求得最佳收益时的价格变化，此时四种水果的最佳收益Y1、Y2、Y3、Y4分别为：2008804元、2535814元、1575038元、727286元 。 关键字：最优化模型 灵敏度分析 最佳分配1.问题提出祖国的富源辽阔，物产丰富，气候多样，且差异很大，水果种类南北分布差异很大，为了满足消费者对不同地域水果的需求，南北地区水果几乎销售不仅满足人民生活的需求，也加强了南北文化的交流，针对这些情况，现在又一批南方地区的水果，准备从九个地区运往北方的七个城市销售。首先根据我们在运费0.3元/吨.公里的情况下，得出各水果生产地到销售地的差价和运费，再求出一个比较合理的配送方案；问题二是在运输方案不变的情况下，找出一个销售价格变化的区间，并且给出最佳收益；问题三同样也是在运输方案不变的情况下，得到一个产地价格变化的区间，并且也给出最佳的收益。2.问题分析 由于本题中涉及到的四种水果的分析基本相同，所以每个问题中四种水果的解决方案都相同。问题一首先求出各种水果在各销售地的销售价与在各生产地的产价的差价，然后再求出每吨水果从各生产地到各销售地的运费，将差价与对应的运费相减得到每吨水果从各生产地生产到各销售地销售的单位利润。其次，再用各生产地的产量和各销售地的销售量作为约束条件，以用求解有约束最优化问题的方法求出最佳收益，得出各种水果从各生产地到各销售地的分配方案。问题二首先要保证问题一中求得的运输方案不变，后根据LINDO进行灵敏度分析可知从销售地到生产地的利润的变化范围，再根据：利润=销售价格运费产地价格，可求出满足条件时销售价格的变化范围，再建立目标函数，以价格变化范围为约束条件，用求解有约束最优化问题的方法求出最佳收益时所对应的各地销售价格。问题三和问题二属于同一类问题，解决方案类似。3.问题假设1）题目中给定的数据真实可靠；2）不考虑销售时间、需求量等对价格的影响；3）水果在运输、销售中没有水分蒸发、变质等任何损耗；4）将数据进行统一化处理，统一为小数点后一位；4. 符号说明k ：=1、2、3、4分别代表水果1、水果2、水果3、水果4；i ：=1、2、3、4、5、6、7、8、9分别代表九个水果产地九江、南昌、鹰潭、金华、株洲、衡阳、益阳、赣州、南平；j ：=1、2、3、4、5、6、7分别代表七个水果销售地天水、平凉、宝鸡、咸阳、渭南、运城、临汾；：水果k从生产地i地到销售地j的路程；：水果k从生产地i地到销售地j销售价和产价的差价； ：水果k的产地价格；： 水果k的销售价格；：水果k从生产地i地到销售地j的量；：水果k从产地i到销售地j的单位利润；：水果k在销售地j的最小需求量；：水果k在销售地j的最大需求量；： 水果k在生产地i的最大产量；Yi： 第i种水果的总利润；Y： 总的收益即利润；5. 模型的准备5.1问题一准备：每吨水果k从生产地i到销售地j所得利润：表1：水果1的利润（单位：元）九江南昌鹰潭金华株洲衡阳益阳赣州南平天水289200305275.2180.9264.3502.2214.5225.8平凉257168.3273243.5148.9232.6470.2182.5193.8宝鸡395.7307412382.2287.6371.3608.9321.5332.5咸阳458.3369.3474.3444.5350.2433.6671.5383.8395.1渭南395.6306.6411.6437287.5370.9649.9321.1332.4运城413.1324.1429.1454.5305388.4599338.6349.9临汾382.9294.2399.2424.6275.1358.5569.1308.7320表2：水果2的利润（单位：元）九江南昌鹰潭金华株洲衡阳益阳赣州南平天水489650505475.2550.9614.3802.2484.5625.8平凉557718.3573543.5618.9682.6870.2552.5693.8宝鸡645.7807662632.2707.6771.3958.9641.5782.5咸阳738.3899.3754.3724.5800.2863.61051.5733.8875.1渭南635.6796.6651.6677697.5760.9989.9631.1772.4运城523.1824.1679.1704.5725788.4949658.6799.9临汾632.9794.2649.2674.6695.1758.5919.1628.7770表3：水果3的利润（单位：元）九江南昌鹰潭金华株洲衡阳益阳赣州南平天水289150255145.2230.9374.3302.2294.5145.8平凉287148.3253143.5228.9332.6300.2252.5143.8宝鸡465.7327432322.2407.6421.3478.9341.5322.5咸阳528.3389.3494.3384.5470.2473.6541.5393.8385.1渭南485.6346.6451.6397427.5420.9539.9341.1342.4运城473.1474.1439.1384.5415318.4459238.6329.9临汾492.9254.2459.2404.6435.1298.5479.1218.7350表4：水果4的利润（单位：元）九江南昌鹰潭金华株洲衡阳益阳赣州南平天水393035-24.870.984.3172.24.5-164.2平凉7-1.73-56.538.952.6150.2-27.5-76.2宝鸡195.7187192132.2227.6241.3338.9161.592.5咸阳288.3279.3284.3224.5320.2333.6431.5253.8185.1渭南195.6186.6191.6187227.5240.9379.9161.192.4运城223.1214.1219.1214.5255268.4339188.6119.9临汾172.9164.2169.2164.6205.1218.5289.1138.7705.2问题二准备：每吨水果k从生产地i到销售地j所需成本：表5：水果1的成本（单位：元）九江南昌鹰潭金华株洲衡阳益阳赣州南平天水1311140012951324.81419.11335.71097.81385.51374.2平凉12931381.712771306.51401.11317.41079.81367.51356.2宝鸡1254.3134312381267.81362.41278.71041.11328.51317.5咸阳1211.71300.71195.71225.51319.81236.4998.51286.21274.9渭南1244.41333.41228.412031352.51269.1990.11318.91307.6运城1206.91295.91190.91165.513151231.610211281.41270.1临汾1247.11335.81230.81205.41354.91271.51060.91321.31310表6：水果2的成本（单位：元）九江南昌鹰潭金华株洲衡阳益阳赣州南平天水1911175018951924.81849.11785.71597.81915.51774.2平凉18931731.718771906.51831.11767.41579.81897.51756.2宝鸡1854.3169318381867.81792.41728.71541.11858.51717.5咸阳1811.71650.71795.71825.51749.81686.41498.51816.21674.9渭南1844.41683.41828.418031782.51719.11490.11848.91707.6运城1806.91645.91790.91765.517451681.615211811.41670.1临汾1847.11685.81830.81805.41784.91721.51560.91851.31710表7：水果3的成本（单位：元）九江南昌鹰潭金华株洲衡阳益阳赣州南平天水1211135012451354.81269.11265.71197.81345.51354.2平凉11931331.712271336.51251.11247.41179.81327.51336.2宝鸡1154.3129311881297.81212.41208.71141.11288.51297.5咸阳1111.71250.71145.71255.51169.81166.41098.51246.21254.9渭南1144.41283.41178.412331202.51199.11090.11278.91287.6运城1106.91245.91140.91195.511651161.611211241.41250.1临汾1147.11285.81180.81235.41204.91201.51160.91281.31290表8：水果4的成本（单位：元）九江南昌鹰潭金华株洲衡阳益阳赣州南平天水1361137013651424.81329.11315.71217.81395.51464.2平凉13431351.713471406.51311.11297.41199.81377.51446.2宝鸡1304.3131313081367.81272.41258.71161.11338.51407.5咸阳1261.71270.71265.71325.51229.81216.41118.51296.21364.9渭南1294.41303.41298.413031262.51249.11110.11328.91397.6运城1256.91265.91260.91265.512251211.611411291.41360.1临汾1297.11305.81300.81305.41264.91251.51180.91331.314005.3问题三准备：每吨水果k从生产地i到销售地j销售价减运输费用：表9：水果1的销售价格减运费（单位：元）九江南昌鹰潭金华株洲衡阳益阳赣州南平天水1189115011051025.21150.91114.31202.21034.51025.8平凉113911001055975.21100.91064.31152.2984.5975.8宝鸡1295.7125712121132.21257.61221.31308.91141.51132.5咸阳1358.31319.31274.31194.51320.21283.61371.51203.81195.1渭南1295.61256.61211.611871257.51220.91349.91141.11132.4运城1313.11274.11229.11204.512751238.412991158.61149.9临汾1282.91244.21199.21174.61245.11208.51269.11128.71120表10：水果2的销售价格减运费（单位：元）九江南昌鹰潭金华株洲衡阳益阳赣州南平天水1989195019051825.21950.91914.32002.21834.51825.8平凉20572018.319731893.52018.91982.62070.21902.51893.8宝鸡2145.7210720621982.22107.62071.32158.91991.51982.5咸阳2238.32199.32154.32074.52200.22163.62251.52083.82075.1渭南2135.62096.62051.620272097.52060.92189.91981.11972.4运城2163.12124.12079.12054.521252088.421492008.61999.9临汾2132.92094.22049.22024.62095.12058.52119.11978.71970表11：水果3的销售价格减运费（单位：元）九江南昌鹰潭金华株洲衡阳益阳赣州南平天水108910501005925.21050.91014.31102.2934.5925.8平凉10871048.31003923.51048.91012.61100.2932.5923.8宝鸡1265.7122711821102.21227.61191.31278.91111.51102.5咸阳1328.31289.31244.31164.51290.21253.61341.51173.81165.1渭南1285.61246.61201.611771247.51210.91339.91131.11122.4运城1273.11234.11189.11164.512351198.412591118.61109.9临汾1292.91254.21209.21184.61255.11218.51279.11138.71130表12：水果4的销售价格减运费（单位：元）九江南昌鹰潭金华株洲衡阳益阳赣州南平天水989950905825.2950.9914.31002.2834.5825.8平凉957918.3873793.5918.9882.6970.2802.5793.8宝鸡1145.711071062982.21107.61071.31158.9991.5982.5咸阳1238.31199.31154.31074.51200.21163.61251.51083.81075.1渭南1145.61106.61061.610371107.51070.91199.9991.1982.4运城1173.11134.11089.11064.511351098.411591018.61009.9临汾1122.91084.21039.21014.61085.11048.51109.1968.7960上述为模型的准备阶段，所求得的每吨水果k从生产地i到销售地j所得利润，每吨水果k从生产地i到销售地j所需成本以及每吨水果k从生产地i到销售地j的销售价减运输费用的值，为下面模型的建立提供了足够的数据，然后利用LINDO进行灵敏度分析。6.模型的建立与求解6.1问题一的模型建立于求解：6.1.1 模型一的建立要求出一个合理配送方案，即求出从各生产地到各销售地的运输量。而且，须遵从经济效益最佳，即从各生产地到各销售地的单位利润乘以运输量的总和。由各销售地的销售价格与各生产地的生产价格相减，得到各种水果的差价，再用从各生产地到各销售地的的路程求出每吨水果的总运费，将各差价与相应的单位运费相减得到水果k从产地i到销售地j的单位利润：= -0.3 （1） 然后，再将各单位利润与相应的将要求解的运输方案的各运输量相乘并相加求和，得到各种水果的利润的目标函数：Yk= （2）其中，（k=1、2、3、4）要求得最佳利润时的各个运量的值，即配送方案，将各生产地的产量和各销售地的销售量作为约束条件，即： （3） （4）0 （5）其中，（k=1、2、3、4；i=1、2、3、4、5、6、7、8、9；j=1、2、3、4、5、6、7）6.1.2 模型一的求解将各种水果的销售价格和生产价格相减得到各种水果的差价（附表1-附表4），根据各生产地到各销售地的的路程（附表5）乘以公路运价0.3元/吨.公里得到每吨水果的总运费。再根据公式（1）用Excel软件得到水果k从产地i到销售地j的单位利润。最后根据目标函数（2）和其约束条件（3）、（4）、（5），用LINDO计算12解得经济效益最佳时，四种水果的利润Y1、Y2、Y3、Y4别为1063579元、1739955元、1216644元、450885元，对应的四种水果的配送方案(如下表13、表14、表15、表16)。表13：水果1的配送方案(单位：吨)九江南昌鹰潭金华株洲衡阳益阳赣州南平天水200000028000平凉00000028000宝鸡0025000015000咸阳35000000000渭南000900019000运城00030000000临汾00031000000表14：水果2的配送方案(单位：吨)九江南昌鹰潭金华株洲衡阳益阳赣州南平天水0400005021000平凉00000200000宝鸡03400000000咸阳000000800250渭南00000031000运城00000000300临汾03200000000表15：水果3的配送方案(单位：吨)九江南昌鹰潭金华株洲衡阳益阳赣州南平天水00000110000平凉0000034002100宝鸡2800170000000咸阳20000230019000渭南00000041000运城03800000000临汾0003001200000表16：水果4的配送方案(单位：吨)九江南昌鹰潭金华株洲衡阳益阳赣州南平天水100015001200000平凉030000030000宝鸡000002900800咸阳3000000001100渭南00000028000运城00031000000临汾0009023000006.2问题二的模型建立与求解 对问题分析后，做出合理假设：销售价的最低范围是水果的成本价（此时无利润）；在运输方案不变的情况下，根据运费0.3元和出产地价格相加生成的成本，再利用LINDO进行灵敏度分析可知四种水果销售价格变化范围（见表17）。表17：四种水果销售价格变化范围（单位：元）水果1水果2水果3水果4最低价最高价最低价最高价最低价最高价最低价最高价X111600.0 1600.0 19112525.3 12111594.1 1400.0 1400.0 X121400.0 1689.0 2400.0 2400.0 13501644.5 13701400.0 X131295.0 1600.3 18952509.3 12451594.4 1400.0 1618.7 X141324.5 2660.5 1924.82539.1 1354.81649.3 1424.81455.2 X151419.1 1708.1 1849.12463.4 1269.11594.1 1400.0 1400.0 X161335.7 1624.7 2400.0 2400.0 1604.4 1640.3 1315.71400.0 X171600.0 1600.0 2400.0 2400.0 1197.81594.1 1217.81400.0 X181385.5 1674.5 1915.52529.8 1639.7 1675.6 1395.51400.0 X191374.2 1374.2 1774.22400.0 1354.21648.7 1464.21468.7 X211293.0 1550.0 18932575.6 11931534.4 13431350.3 X221381.7 1638.7 1731.72450.0 1331.71584.5 1350.0 1618.7 X231277.0 1550.3 18772559.6 12271534.7 13471350.3 X241306.5 1563.8 1906.52589.1 1336.51589.3 1406.51405.2 X251401.1 1401.1 1831.12513.7 1251.11534.4 1311.11350.3 X261317.4 1317.4 2450.0 2689.1 1579.7 1725.7 1349.7 1350.0 X271550.0 2660.5 1579.82450.3 1179.81534.4 1199.81350.3 X281367.5 1624.5 1897.52580.1 1327.51580.3 1377.51350.3 X291356.2 1613.2 1756.22450.3 1336.21589.0 1446.21419.0 X311254.3 1650.0 1854.32625.6 1620.0 1620.3 1304.31500.3 X321343.0 1738.7 2500.0 2689.1 12931670.1 13131500.0 X331649.7 2660.5 18382609.3 1619.7 1725.7 13081500.0 X341267.8 1663.8 1867.82639.1 1297.81674.9 1367.81555.2 X351362.4 1758.1 1792.42563.7 1212.41620.0 1272.41500.3 X361278.7 1674.4 1728.72500.0 1208.71665.6 1500.0 1500.3 X371041.1 1650.3 1541.12500.3 1141.11620.0 1161.11500.3 X381328.5 1724.2 1858.52629.8 1288.51665.6 1500.0 1500.0 X391317.5 1713.2 1717.52500.3 1297.51674.6 1407.51569.0 X411670.0 2660.5 1811.72675.3 1639.7 1640.0 1550.0 1550.0 X421300.7 1759.0 1650.72550.0 1250.71690.4 1270.71550.0 X431195.71670.3 1795.72659.3 1145.71640.3 1265.71550.0 X441225.51684.1 1825.52689.1 1255.51695.2 1325.51605.2 X451319.81778.1 1749.82613.4 1640.0 1640.3 1229.81550.0 X461236.41694.7 1686.42550.0 1166.41685.9 1216.41550.0 X47998.51670.0 2550.0 2550.0 1640.0 1681.1 1549.7 1591.1 X481286.21744.5 1816.22679.8 1246.21685.9 1550.0 1296.2 X491274.91733.2 2550.0 2550.0 1254.91694.6 1364.91618.7 X511244.41681.1 1844.42646.4 1144.41671.1 1294.41531.1 X521333.41770.1 1683.42521.1 1283.41721.5 1303.41531.1 X531228.41681.4 1828.42630.4 1178.41671.4 1298.41531.1 X541639.7 1681.1 18032605.0 12331671.1 13031531.1 X551352.51789.2 1782.52584.5 1202.51671.1 1262.51531.1 X561269.11705.8 1719.12521.1 1199.11717.0 1249.11531.1 X571598.9 1640.3 2438.9 2689.1 1588.9 1725.7 1448.9 1618.7 X581318.91755.6 1848.92650.9 1278.91717.0 1328.91531.1 X591307.61744.3 1707.62521.1 1287.61725.7 1397.61599.8 X611206.91661.1 1806.92595.3 1106.91669.6 1256.91480.0 X621295.91750.1 1645.92470.0 1630.4 1725.7 1265.91480.0 X631190.91661.4 1790.92579.3 1140.91669.9 1260.91618.7 X641578.9 2660.5 1765.52553.9 1195.51669.6 1475.4 1618.7 X6513151769.2 17452533.4 11651669.6 12251520.5 X661231.61685.8 1681.62470.0 1161.61715.5 1211.61480.0 X6710211688.4 15212497.3 11211696.9 11411507.3 X681281.41735.6 1811.42599.8 1241.41715.5 1291.41480.0 X691270.11724.3 2470.0 2689.1 1250.11724.2 1360.11548.7 X711247.11671.4 1847.12605.6 1147.11640.3 1297.11470.3 X721335.81760.1 2480.0 2689.1 1285.81690.4 1305.81470.0 X731230.81671.4 1830.82589.3 1180.81640.3 1300.81470.0 X741588.6 2660.5 1805.42563.9 1604.4 1670.5 1444.1 1470.0 X751354.91779.2 1784.92543.4 1639.7 1675.6 1470.0 1495.9 X761271.51695.8 1721.52480.0 1201.51685.9 1251.51470.0 X771060.91698.4 1560.92507.3 1160.91667.3 1180.91497.3 X781321.31745.6 1851.32609.8 1281.31685.9 1331.31470.0 X7913101734.3 17102480.0 12901694.6 14001538.7 根据其得到销售价格的范围，以其作为约束条件，因为运输方案不变，再将模型一求解的各生产地到销售地的运输量作为目标函数销售总额的系数，求出目标函数的最优解。最后将得出的解和总成本相减可知此时四种水果的最佳收益Y1、Y2、Y3、Y4分别为：1303725元、2036459元、1765328元、600998元，总的最佳收益为：Y=5706510元。6.3问题三的模型建立与求解 对问题进行分析后，做出合理假设：产地价的最高范围是销售价格减去运费所得的价格底线（此时无利润）；在运输方案不变的情况下，用Lindo对数据进行灵敏度分析可知四种水果产地价格的变化范围（见表18）。表18：四种水果产地价格变化范围（单位：元）水果1水果2水果3水果4最低价最高价最低价最高价最低价最高价最低价最高价X11900.0 900.0 574.7 1989.0 705.9 1089.0 950.0 950.0 X12861.0 1150.0 500.0 500.0 755.5 1050.0 920.0 950.0 X13799.7 1105.0 490.7 1905.0 655.6 1005.0 778.9 870.0 X14735.9 1025.2 410.9 1825.2 630.7 925.2 794.8 825.2 X15861.9 1150.9 536.6 1950.9 725.9 1050.9 880.0 880.0 X16825.3 1114.3 500.0 500.0 639.7 675.6 830.0 914.3 X17700.0 700.0 400.0 400.0 705.9 1102.2 820.0 1002.2 X18745.5 1034.5 420.2 1834.5 604.4 934.5 830.0 834.5 X19736.8 1025.8 400.0 1825.8 631.3 925.8 821.3 825.8 X21882.0 1139.0 456.4 2057.0 745.6 1087.0 949.7 957.0 X22843.0 1100.0 381.7 2018.3 795.5 1048.3 778.9 918.3 X23781.7 1055.0 372.4 1973.0 695.3 1003.0 869.7 873.0 X24717.9 975.2 292.6 1893.5 670.7 923.5 794.8 793.5 X25843.9 1100.9 418.3 2018.9 765.6 1048.9 879.7 918.9 X26807.3 1064.3 281.7 381.7 604.4 680.3 830.0 830.3 X27631.6 682.0 281.7 2070.2 745.6 1100.2 819.7 970.2 X28727.5 984.5 301.9 1902.5 679.7 932.5 829.7 802.5 X29718.8 975.8 281.7 1893.8 671.0 923.8 821.0 793.8 X31900.0 1295.7 524.4 2145.7 799.7 800.0 949.7 1145.7 X32861.3 1257.0 281.7 450.0 849.9 1227920.0 1107.0 X33631.6 800.3 440.7 2062.0 604.4 750.3 870.0 1062.0 X34736.2 1132.2 360.9 1982.2 725.1 1102.2794.8 982.2 X35861.9 1257.6 486.3 2107.6 820.0 1227.6879.7 1107.6 X36825.6 1221.3 450.0 2071.3 734.4 1191.3 829.7 830.0 X37699.7 1308.9 349.7 2158.9 800.0 1278.9 819.7 1158.9 X38745.8 1141.5 370.2 1991.5 734.4 1111.5 830.0 830.0 X39736.8 1132.5 349.7 1982.5 725.4 1102.5 821.0 982.5 X41631.6 900.0 494.7 2238.3 800.0 800.3 950.0 1550.0 X42861.0 1319.3 420.0 2199.3 849.6 1289.3 920.0 1199.3 X43799.7 1274.3 410.7 2145.3 749.7 1244.3 870.0 1154.3 X44735.9 1194.5 330.9 2074.5 724.8 1164.5 794.8 1074.5 X45861.9 1320.2 456.6 2200.2 819.7 820.0 880.0 1200.2 X46825.3 1283.6 420.0 2163.6 734.1 1253.6 830.0 1163.6 X47700.0 700.0 320.0 320.0 758.9 1341.5 778.9 820.3 X48745.5 1203.8 340.2 2083.8 734.1 1173.8 1083.8 830.0 X49736.8 2550.0 320.0 2550.0 725.4 1