高考数学二轮重难点荟萃(8)

2013年高考数学重难点详解(8)重难点8 集合与常用逻辑用语主编：章晓峰（高考数学教学研究组教研员）副主编：林晓玲（中学优秀数学教师） 董洋洋（一线数学教师）编委会成员：（排名不分先后）刘思妍 林妙可 毛 檠 赵晓玲 龚 晨 孙萌萌 胡晶晶 童 玲 麦 罄 韩 俊 杨程鹏 夏小玉 考试大纲新解 1.通过实例了解集合的含义,体会元素与集合的从属关系,知道常用数集及其记号,了解集合中元素的确定性,互异性,无序性.会用集合语言表示有关数学对象.2.掌握集合的表示方法-列举法和描述法,并能进行自然语言与集合语言的相互转换,了解有限集与无限集的概念.3.了解集合间包含关系的意义,理解子集、真子集的概念和意义，会判断简单集合的相等关系.4理解并集、交集的概念和意义，掌握有关集合并集、交集的术语和符号，并会用它们正确地表示一些简单的集合，能用图示法表示集合之间的关系.掌握并集、交集的求法.5了解全集的意义，理解补集的概念.掌握全集与补集的术语和符号，并会用它们正确地表示一些简单的集合，能用图示法表示集合之间的关系.掌握补集的求法.6.理解命题的概念;了解“若,则”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析种命题的相互关系;理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.7.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.8.理解全称量词与存在量词的意义;能正确地对含有一个量词的命题进行否定.考点突破 3.注意弄清元素与集合、集合与集合之间的包含关系.4.能根据Venn图表达的集合关系进行相关的运算.5.注意区分否命题与命题的否定,前者是同时否定条件和结论,而后者只否定结论.6.原命题与其逆否命题等价,当直接判定命题条件的充要性有困难时，可等价地转化为对该命题的逆否命题进行判断.7.全称命题的否定是存在性命题,存在性命题的否定是全称命题.重难点导航 考点一 集合的概念例1.已知集合M=y|y=x21,xR,N=y|y=x1,xR，则MN=（ ）A（0，1），（1，2） B（0，1），（1，2）Cy|y=1,或y=2 Dy|y1从而选B的错误，这是由于在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合的元素是什么事实上M、N的元素是数而不是点，因此M、N是数集而不是点集集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分x|y=x21、y|y=x21,xR、(x,y)|y=x21,xR，这三个集合是不同的这类题目主要考察不等式的性质成立的条件，以及条件与结论的充要关系.【备考提示】：正确理解集合中的代表元素是解答好本题的关键.练习1:若P=y|y=x2,xR，Q=y|y=x21,xR，则PQ等于（ ）AP BQ C D不知道【答案】B 【解析】事实上，P、Q中的代表元素都是y，它们分别表示函数y=x2,y= x21的值域，由P=y|y0,Q=y|y1，知QP，即PQ=Q应选B考点二 集合元素的互异性 集合元素的互异性，是集合的重要属性，教学实践告诉我们，集合中元素的互异性常常被学生在解题中忽略，从而导致解题的失败，下面再结合例题进一步讲解以期强化对集合元素互异性的认识例2. 若A=2，4, 3227,B=1, 1, 222, (238), 3237，且AB=2，5，则实数的值是_【答案】2 【解析】AB=2，5，3227=5,由此求得=2或=1 A=2,4,5.当=1时，222=1，与元素的互异性相违背，故应舍去=1当=1时，B=1,0,5,2,4，与AB=2，5相矛盾，故又舍去=1当=2时，A=2，4，5,B=1,3,2,5,25，此时AB=2，5，满足题设故=2为所求【解析】分两种情况进行讨论 （1）若b=c且2b=c2，消去b得：c22c=0，=0时，集合B中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故0c22c1=0，即c=1，但c=1时，B中的三元素又相同，此时无解（2）若b=c2且2b=c，消去b得：2c2c=0，0，2c2c1=0，即(c1)(2c1)=0，又c1，故c=考点三 集合间的关系例3.设集合A=|=3n2,nZ，集合B=b|b=3k1,kZ，则集合A、B的关系是_ 【答案】A=B 【解析】任设A，则=3n2=3(n1)1(nZ)， nZ,n1Z. B,故 又任设 bB，则 b=3k1=3(k1)2(kZ), kZ,k1Z. bA，故 由、知A=B【名师点睛】这里说明B或bA的过程中，关键是先要变（或凑）出形式，然后再推理【备考提示】：集合与集合之间的关系问题，是我们解答数学问题过程中经常遇到，并且必须解决的问题，因此应予以重视反映集合与集合关系的一系列概念，都是用元素与集合的关系来定义的因此，在证明（判断）两集合的关系时，应回到元素与集合的关系中去考点四 要注意利用数形结合思想解决集合问题集合问题大都比较抽象，解题时要尽可能借助文氏图、数轴或直角坐标系等工具将抽象问题直观化、形象化、明朗化，然后利用数形结合的思想方法使问题灵活直观地获解例4.设全集U=x|0x0，求AB和AB【答案】AB=R, AB=x|6x3或00=x|x0 如图所示， AB=x|6x1x|x0=R AB=x|6x1x|x0=x|6x3，或0x1【易错专区】问题1：空集例1.已知集合A=x|x23x2=0,B=x|x2x1=0，且AB=A，则的值为_解： AB=A， A=1，2， B=或B=1或B=2或B=1，2若B=，则令0得R且2，把x=1代入方程得R，把x=2代入方程得=31.（2011年高考山东卷文科1)设集合 M =x|(x+3)(x-2)0，N =x|1x3,则MN =( )（A）1,2) (B)1,2 (C)( 2,3 (D)2,3【答案】A【解析】因为，所以，故选A.2. （2011年高考海南卷文科1)已知集合,则P的子集共有( )A.2个 B.4个 C.6个 D.8个【答案】B【解析】因为中有两个元素，所以其子集个数为个，选B.3(2011年高考安徽卷文科2)集合，,则等于( )（A） (B) (C) (D) 【答案】B【解析】，所以.故选B.4(2011年高考广东卷文科2)已知集合为实数，且， 5 （2011年高考江西卷文科2)若全集,则集合等于（ ）A. B. C. D.【答案】D 【解析】,.6.（2011年高考福建卷文科1)若集合M=-1，0，1，N=0，1，2，则MN等于A.0，1 B.-1，0，1C.0，1，2 D.-1，0，1，2【答案】A【解析】因为,故选A.7（2011年高考湖南卷文科1)设全集则（ ）A B 答案：B解析：画出韦恩图，可知。8（2011年高考湖北卷文科1)已知U=1,2,3,4,5,6,7,8,A=1,3,5,7,B=2,4,5,则=A.6,8B. 5,7C. 4,6,7D. 1,3,5,6,810（2011年高考全国卷文科1)设集合U=,则（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】，.11. （2011年高考陕西卷文科8)设集合，则为（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】：由即由得即故选C12.（2011年高考浙江卷文科1) 若，则( )（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】：，故选C13. (2011年高考天津卷文科4)设集合则“”是“”的( )15（2011年高考重庆卷文科2)设，则=（ ）A0，2BCD【答案】A16. （2011年高考山东卷文科5)已知a，b，cR，命题“若=3，则3”，的否命题是(A)若a+b+c3，则3 (B)若a+b+c=3，则3(C)若a+b+c3，则3 (D)若3，则a+b+c=3【答案】A【解析】命题“若,则”的否命题是“若,则”,故选A.17. (2011年高考天津卷文科4)设集合则“”是“”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C解析：因，反之，不一定有。20. （2011年高考陕西卷文科1)设是向量，命题“若，则”的逆命题是 （A）若则 （B）若则 （C）若则 （D）若则【答案】D【解析】：交换一个命题的题设与结论，所得到的命题与原命题是（互逆）命题。故选D21. (2011年高考天津卷文科9)已知集合为整数集,则集合中所有元素的和等于 .【答案】3【解析】因为,所以,故其和为3.22.(2011年高考江苏卷1)已知集合 则【答案】【解析】考察简单的集合运算，容易题.半径的圆，集合B是在两条平行线之间， ，因为此时无解；当时，集合A是以（2，0）为圆心，以和为半径的圆环，集合B是在两条平行线之间，必有 .又因为.24. （2011年高考陕西卷文科14)设，一元二次方程有整数根的充要条件是 【答案】3或4【解析】：由韦达定理得又所以则.【高考冲策演练】一、选择题：1（2010年高考山东卷文科1）已知全集，集合，则=（ ）A. B. C D. 【答案】C【解析】因为，全集，所以，故选C。3（2010年高考福建卷文科1）若集合，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】=,故选A.4(2010年高考北京卷文科1) 集合，则=（ ） (A) 1,2 (B) 0,1,2 (C)1,2,3 (D)0,1,2,35(2010年高考江西卷文科2)若集合，则（ ）A BC D【答案】C【解析】。6(2010年高考浙江卷文科1)设则（ ）(A)(B)(C)(D)8（2010年高考山东卷文科7）设是首项大于零的等比数列，则“”是“数列是递增数列”的（ ）（A）充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若已知，则设数列的公比为，因为，所以有，解得又，所以数列是递增数列；反之，若数列是递增数列，则公比且，所以，即，所以是数列是递增数列的充分必要条件。【命题意图】本题考查等比数列及充分必要条件的基础知识，属保分题。9（2010年高考天津卷文科5）下列命题中，真命题是（ ）(A)(B)(C)(D)【答案】A【解析】当m=0时，函数是偶函数，故A正确。10（2010年高考福建卷文科8）若向量，则“”是“”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件12(2010年高考湖南卷文科2)下列命题中的假命题是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】对于C选项x1时，故选C二填空题：13已知M=，N=x|，则MN=_.【答案】 14非空集合p满足下列两个条件：（1）p1，2，3，4，5，（2）若元素p，则6-p，则集合p个数是_.【答案】715设A=1，2，B=xxA若用列举法表示，则集合B是 .【答案】16含有三个实数的集合可表示为，则 【答案】-1三解答题：17设集合A=(x，y)|y=x+1，B=(x，y)|y=|x|，若AB是单元素集合，求取值范围.【解析】画图可得:1或-1.18.设A=x|x2+px+q=0，M=1，3，5，7，9，N=1，4，7，10，若AM=，AN=A，当B=时，=m