二元一次不定方程的解法总结与例题

探究二元一次不定方程（Inquires into the dual indefinite equation）冯晓梁（XiaoLiang Feng） （江西科技师范学院 数计学院 数一班 ）【摘 要】:二元一次不定方程是最简单的不定方程, 一些复杂的不定方程常常化为二元一次不定方程问题加以解决。我们讨论二元一次方程的整数解。The dual indefinite equation is the simple the indefinite equation, some complex indefinite equations change into the dual indefinite equation question to solve frequently. We discuss the dual linear equation the integer solution.【关键字】：二元一次不定方程 初等数论 整数解 （Dual indefinite equation Primary theory of numbers Integer solution）二元一次方程的概念：含有两个未知数，并且未知项的次数是1的方程叫做二元一次方程。一个方程是二元一次方程必须同时满足下列条件；等号两边的代数式是整式；具有两个未知数；未知项的次数是1。如：2x-3y=7是二元一次方程，而方程4xy-3=0中含有两个未知数，且两个未知数的次数都是1，但是未知项4xy的次数是2，所以，它是二元二次方程，而不是二元一次方程。定理1.形如(不同时为零)的方程称为二元一次不定方程。1二元一次方程的解和解二元一次方程：能使一个二元一次方程两边的值相等的未知数的一组值叫做这个方程的一个解，但若对未知数的取值附加某些限制，方程的解可能只有有限个。通常求一个二元一次方程的解的方法是用一个未知数的代数式表示另一个未知数，如x-2y=3变形为x=3+2y，然后给出一个y的值就能求出x的一个对应值，这样得到的x、y的每对对应值，都是x-2y=3的一个解。定理2.方程有解的充要是；2若，且为的一个解，则方程的一切解都可以表示成： （t为任意整数）定理2的扩展.元一次不定方程，()有解的充要条件是.方法与技巧：1解二元一次不定方程通常先判定方程有无解。若有解，可先求一个特解，从而写出通解。当不定方程系数不大时，有时可以通过观察法求得其解，即引入变量，逐渐减小系数，直到容易得其特解为止；2解元一次不定方程时，可先顺次求出，.若，则方程无解；若|，则方程有解，作方程组：求出最后一个方程的一切解，然后把的每一个值代入倒数第二个方程，求出它的一切解，这样下去即可得方程的一切解。对于解不定方程（组），二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些复杂的不定方程（组）常常化为二元一次不定方程问题加以解决，设a，b，c，d为整数，则不定方程ax+by=c有如下两个重要命题：（1）若（a，b）=d，且d不等于c，则不定方程ax+by=c没有整数解。（2）若Xo，Yo是方程ax+by=c且（a，b）=1的一组整数解（称特解），则 x=Xo+bt，（t为整数）y=Yo-at 是方程的全部整数解（称通解）。求：方程5x-3y=-7的正整数解. 解:原方程X=(3y-7)/5 即X=-2+3(y+1)/5 (1) Y=4时,x=1 即 X=1 Y=4 为原方程的一组整数解,因此,原方程的所有整数解为 X=1-3k (k为任意整数) Y=4-5k 再令X大于0,y大于0,即有不等式组 1-3k大于0 4-5k大于0 解得K小于1/3,所以当k取0,-1,-2,时原方程可得到无穷多组正整数X=1-3k (k=0,-1,-2,) Y=4-5k题：某人家的电话号码是八位数，将前四位数组成的数和后四位组成的数相加得14405，将前三位组成的数雨后五位相加得16970，求这个人家中的电话号码。解：可将两个已知条件变为两个方程，用方程只是去解决。关键是怎么样设未知数，不妨将a b c d e f g h的a b c 设为x；d设为y，e f g h 设为z可以很快构造出方程组。设电话号码是10000x+10000y+z，其中x，y，z均为自然数，且100x999，0y9， 10x+y+z=14405.1000z9999，则 x=10000y+z=16970。-化简得1111y-x=285，即1111y=x+285.100x999， 385x+2851284。385/1111y1284/1111又y为整数 y=1，x=826，z=6144即 此电话号码为.例：（1）求方程15x+52y=6的所有整数解。（2）求不定方程5x+7y=978的正整数解的组数。解：对于（1），通过观察或辗转相除法，先求出特解；对于(2)，先表示出方程的全部整数解，再解不等式组确定方程的正整数解的组数； 【解法一】（1）观察易得一个特解x=42，y=-12 ，原方程所有整数解为x=42-52t，（t为整数） y=-12+15t【解法二】（1）x=-4y+ 6+8y/15 , 令6+8y/15= t1 ,得y=2 t1- t1+6 / 8,令t1+6 / 8=t,得t1=8t-6，化简得： x=42-52t，（t为整数） y=-12+15t（2）可得原不定方程的通解为 x=197-7t （t为整数） y=-1+5t 由x0，y0得 1t28即原不定方程有28个正整数解。利用辗转相除法求整数解：例 求方程407x-2816y=33的一个整数解，并写出它的通解 解：将方程化简为 37x-256y=3即37x+256（-y）=3 256=637+34 37=134+3 34=113+1 1=34-113=（256-637）-1137-（256-637）=256-637-1137+11256-6637=37（-6-11-66）+256（1+11） 即37（-83）+25612=1 上式各项乘以3得37（-249）+25636=3 原方程的一个整数解是Xo =-249Yo =-36通解为 （t为任意整数）x=-249+256ty=-36-37t 这就是用辗转相除法解的，这种方适用于所有的有整数解的方程。因为1是所有整数的约数。辗转相除总能除到余数为1，再逆推，化为原不定方程的形式。但用辗转相除除到余数为1，再逆推，这一过程较繁，若除到余数是常数项的约数，也可逆推，化为原不定方程的形式，这样就简便些。又如解不定方程13x+15y=8 解：15=13+2（2是常数8的约数）2=15-13即8=13（-4）+154 方程一特解Xo =-4Yo =4 所以原方程的通解为x=-4+15ty=4-13t 求不定方程47x-97y=501的整数解解：97=472+3 (3是501的约数) 3=97-472 (左右同乘167) 即501=97167-47334 47(-334)-97(-167)=501 Xo =-334 方程的一个特解为 Yo =-167 x=-334+97t 不定方程的通解 (t为整数) y=-167+47t 上述用辗转相除,除到余数是常数的约数就逆推化为原不定方程的形式,从而求出它的一个特解的方法,得出通解。参考文献：1闵嗣鹤 严士健，初等数论【M】，高等教育出版社，2003年7月第3版，P252闵嗣鹤 严士健，初等数论【M】，高等教育出版社，2003年7月第3版,P25二元一次不定方程的解法我们知道，如果未知数的个数多于方程的个数，那么，一般来说，它的解往往是不确定的，例如方程x-2y=3，方程组等，它们的解是不确定的像这类方程或方程组就称为不定方程或不定方程组不定方程(组)是数论中的一个古老分支，其内容极其丰富我国对不定方程的研究已延续了数千年，“百鸡问题”等一直流传至今，“物不知其数”的解法被称为中国剩余定理近年来，不定方程的研究又有新的进展学习不定方程，不仅可以拓宽数学知识面，而且可以培养思维能力，提高数学解题的技能我们先看一个例子例 小张带了5角钱去买橡皮和铅笔，橡皮每块3分，铅笔每支1角1分，问5角钱刚好买几块橡皮和几支铅笔？解 设小张买了x块橡皮，y支铅笔，于是根据题意得方程3x+11y=50这是一个二元一次不定方程从方程来看，任给一个x值，就可以得到一个y值，所以它的解有无数多组但是这个问题要求的是买橡皮的块数和铅笔的支数，而橡皮的块数与铅笔的支数只能是正整数或零，所以从这个问题的要求来说，我们只要求这个方程的非负整数解因为铅笔每支1角1分，所以5角钱最多只能买到4支铅笔，因此，小张买铅笔的支数只能是0，1，2，3，4支，即y的取值只能是0，1，2，3，4这五个若y=3，则x=17/3，不是整数，不合题意；若y=4，则x=2，符合题意所以，这个方程有两组正整数解，即也就是说，5角钱刚好能买2块橡皮与4支铅笔，或者13块橡皮与1支铅笔像这个例子，我们把二元一次不定方程的解限制在非负整数时，那么它的解就确定了但是否只要把解限制在非负整数时，二元一次不定方程的解就一定能确定了呢？不能！现举例说明例 求不定方程x-y=2的正整数解解 我们知道：3-1=2，4-2=2，5-3=2，所以这个方程的正整数解有无数组，它们是其中n可以取一切自然数因此，所要解的不定方程有无数组正整数解，它的解是不确定的上面关于橡皮与铅笔的例子，我们是用逐个检验的方法来求它们的非负整数解的，但是这种方法在给出的数比较大的问题或者方程有无数组解的时候就会遇到麻烦那么能不能找到一个有效而又方便的方法来求解呢？我们现在就来研究这个问题，先给出一个定理定理 如果a，b是互质的正整数，c是整数，且方程ax+by=c 有一组整数解x0，y0则此方程的一切整数解可以表示为其中t=0，1，2，3，证 因为x0，y0是方程的整数解，当然满足ax0+by0=c， 因此a(x0-bt)+b(y0+at)=ax0+by0=c这表明x=x0-bt，y=y0+at也是方程的解设x，y是方程的任一整数解，则有ax+bx=c. -得a(x-x0)=b(y-y0) 由于(a，b)=1，所以ay-y0，即y=y0+at，其中t是整数将y=y0+at代入，即得x=x0-bt因此x， y可以表示成x=x0-bt，y=y0+at的形式，所以x=x0-bt，y=y0+at表示方程的一切整数解，命题得证有了上述定理，求解二元一次不定方程的关键是求它的一组特殊解例1 求11x+15y=7的整数解解法1 将方程变形得因为x是整数，所以7-15y应是11的倍数由观察得x0=2，y0=-1是这个方程的一组整数解，所以方程的解为解法2 先考察11x+15y=1，通过观察易得11(-4)+15(3)=1，所以11(-47)+15(37)=7，可取x0=-28，y0=21从而可见，二元一次不定方程在无约束条件的情况下，通常有无数组整数解，由于求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的将解中的参数t做适当代换，就可化为同一形式例2 求方程6x+22y=90的非负整数解解 因为(6，22)=2，所以方程两边同除以2得3x+11y=45 由观察知，x1=4，y1=-1是方程3x+11y=1 的一组整数解，从而方程的一组整数解为由定理，可得方程的一切整数解为因为要求的是原方程的非负整数解，所以必有由于t是整数，由，得15t16，所以只有t=15，t=16两种可能当t=15时，x=15，y=0；当t=16时，x=4，y=3所以原方程的非负整数解是例3 求方程7x+19y=213的所有正整数解分析 这个方程的系数较大，用观察法去求其特殊解比较困难，碰到这种情况我们可用逐步缩小系数的方法使系数变小，最后再用观察法求得其解解 用方程7x+19y=213 的最小系数7除方程的各项，并移项得因为x，y是整数，故3-5y/7=u也是整数，于是5y+7u=3儆*5除此式的两边得2u+5v=3 由观察知u=-1，v=1是方程的一组解将u=-1，v=1代入得y=2y=2代入得x=25于是方程有一组解x0=25，y0=2，所以它的一切解为由于要求方程的正整数解，所以解不等式，得t只能取0，1因此得原方程的正整数解为当方程的系数较大时，我们还可以用辗转相除法求其特解，其解法结合例题说明例4 求方程37x+107y=25的整数解解 107=237+33，37=133+4，33=84+1为用37和107表示1，我们把上述辗转相除过程回代，得1=33-84=37-4-84=37-94 =37-9(37-33)=933-837 9(107-237)8379107-2637 =37(-26)+1079由此可知x1=-26，y1=9是方程37x+107y=1的一组整数解于是x0=25(-26)=-650，y0=259=225是方程37x+107y=25的一组整数解所以原方程的一切整数解为例5 某国硬币有5分和7分两种，问用这两种硬币支付142分货款，有多少种不同的方法？解 设需x枚7分，y枚5分恰好支付142分，于是7x+5y=142. 所以由于7x142，所以x20，并且由上式知52(x-1)因为(5，2)=1，所以5x-1，从而x=1，6，11，16，的非负整数解为所以，共有4种不同的支付方式说明 当方程的系数较小时，而且是求非负整数解或者是实际问题时，这时候的解的组数往往较少，可以用整除的性质加上枚举，也能较容易地解出方程多元一次不定方程可以化为二元一次不定方程例6 求方程9x+24y-5z=1000的整数解解 设9x+24y=3t，即3x+8y=t，于是3t-5z=1000于是原方程可化为用前面的方法可以求得的解为的解为消去t，得大约1500年以前，我国古代数学家张丘建在他编写的张丘建算经里，曾经提出并解决了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题，通俗地讲就是下例例7 今有公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只用100个钱买100只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只？解 设公鸡、母鸡、小鸡各买x，y，z只，由题意列方程组化简得 15x+9y+z=300 -得 14x+8y=200，即 7x+4y=100解7x+4y=1得于是7x+4y=100的一个特解为由定理知7x+4y=100的所有整数解为由题意知，0x，y，z100，所以 由于t是整数，故t只能取26，27，28，而且x，y，z还应满足x+y+z=100t x y z26 4 18 7827 8 11 8128 12 4 84即可能有三种情况：4只公鸡，18只母鸡，78只小鸡；或8只公鸡，11只母鸡，81只小鸡；或12只公鸡，4只母鸡，84只小鸡练习1求下列不定方程的整数解：(1) 72x+157y=1；(2)9x+21y=144；(3)103x-91y52求下列不定方程的正整数解：(1)3x-5y=19； (2)12x+5y=1253求下列不定方程的整数解：(1)5x+8y+19z=50； (2)39x-24y+9z=784求不定方程2x+5y+7z+3t=10的整数解5求不定方程组 的正整数解.不定方程与整数拆分 求二元一次方程与多元一次方程组的自然数解的方法，与此相关或涉及整数分拆的数论问题 补充说明：对于不定方程的解法，本讲主要利用同余的性质来求解，对于同余性质读者可参考思维导引详解五年级第15讲 余数问题. 解不定方程的4个步骤：判断是否有解；化简方程；求特解；求通解 本讲讲解顺序：包括1、2、3题包括4、5题包括6、7题，其中步骤中加入百鸡问题 复杂不定方程：、依次为三元不定方程、较复杂不定方程、复杂不定方程整数分拆问题：11、12、13、14、15 1在两位数中，能被其各位数字之和整除，而且除得的商恰好是4的数有多少个? 【分析与解】 设这个两位数为，则数字和为，这个数可以表达为，有 即，亦即 注意到和都是0到9的整数，且不能为0，因此只能为1、2、3或4，相应地的取值为2、4、6、8 综上分析，满足题目条件的两位数共有4个，它们是12、24、36和48 2设A和B都是自然数，并且满足,那么A+B等于多少? 【分析与解】 将等式两边通分，有3A+llB=17,显然有B=l，A=2时满足，此时A+B=2+1=3 3甲级铅笔7分钱一支，乙级铅笔3分钱一支张明用5角钱恰好可以买这两种不同的铅笔共多少支? 【分析与解】设购买甲级铅笔支，乙级铅笔支 有7+3=50，这个不定方程的解法有多种，在这里我们推荐下面这种利用余数的性质来求解的方法： 将系数与常数对3取模(系数7，3中，3最小)： 得=2(mod 3)，所以可以取2，此时取12；还可以取2+3=5，此时取5； 即、,对应为14、10 所以张明用5角钱恰好可以买这两种不同的铅笔共14支或10支4有纸币60张，其中1分、l角、1元和10元各有若干张问这些纸币的总面值是否能够恰好是100元? 【分析与解】 设1分、1角、1元和10元纸币分别有a张、b张、c张和d张，列方程如下： 由 (2)(1)得 注意到式左边是9的倍数，而右边不是9的倍数，因此无整数解，即这些纸币的总面值不能恰好为100元 5.将一根长为374厘米的合金铝管截成若干根36厘米和24厘米两种型号的短管，加工损耗忽略不计问：剩余部分的管子最少是多少厘米? 【分析与解】 24厘米与36厘米都是12的倍数，所以截成若干根这两种型号的短管，截去的总长度必是12的倍数，但374被12除余2，所以截完以后必有剩余剩余管料长不小于2厘米 另一方面，374=2712+412+2，而3612=3，2412=2，有39+22=31即可截成9根36厘米的短管与2根24厘米的短管，剩余2厘米 因此剩余部分的管子最少是2厘米 6某单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且有寺的职工各带一个孩子参加男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵树，每个孩子种6棵树，他们一共种了216棵树那么其中有多少名男职工? 【分析与解】设男职工人，孩子人，则女职工3-人(注意，为何设孩子数为人，而不是设女职工为人)， 那么有=216，化简为=216，即=72 有. 但是，女职工人数为必须是自然数，所以只有时，满足那么男职工数只能为12名 7一居民要装修房屋，买来长0.7米和O.8米的两种木条各若干根如果从这些木条中取出一些接起来，可以得到许多种长度的木条，例如：O.7+O.7=1.4米，0.7+0.8=1.5米那么在3.6米、3.8米、3.4米、3.9米、3.7米这5种长度中，哪种是不可能通过这些木条的恰当拼接而实现的? 【分析与解】设0.7米，0.8米两种木条分别，根，则0.7+0.8=3.43.6， 即7+8=34，36，37，38，39 将系数，常数对7取模，有6，l，2，3，4(mod 7)，于是最小分别取6,1,2，3，4 但是当取6时，86=48超过34，无法取值所以3.4米是不可能通过这些木条的恰当拼接而实现的 8.小萌在邮局寄了3种信，平信每封8分，航空信每封1角，挂号信每封角，她共用了1元2角2分那么小萌寄的这3种信的总和最少是多少封? 【分析与解】显然，为了使3种信的总和最少，那么小萌应该尽量寄最贵的挂号信，然后是航空信，最后才是平信但是挂号信、航空信的邮费都是整数角不会产生几分 所以，2分，10+2分应该为平信的邮费，最小取3，才是8的倍数，所以平信至少要寄4封，此时剩下的邮费为122-32=90，所以再寄4封挂号信，航空信1封即可 于是，小萌寄的这3种信的总和最少是4+1+4=9封 9.有三堆砝码，第一堆中每个砝码重3克，第二堆中每个砝码重5克，第三堆中每个砝码重7克现在要取出最少个数的砝码，使它们的总重量为130克那么共需要多少个砝码?其中3克、5克和7克的砝码各有几个? 【分析与解】 为了使选取的砝码最少，应尽可能的取7克的砝码1307：184，所以3克、5克的砝码应组合为4克，或4+7克重 设3克的砝码个，5克的砝码个，则 当=0时，有，无自然数解； 当=1时，有，有=2，=1，此时7克的砝码取17个，所以共需2+1+17=21个砝码，有3克、5克和7克的砝码各2、1、17个 当1时，7克的砝码取得较少，而3、5克的砝码却取得较多，不是最少的取砝码情形所以共需2+1+17=20个砝码，有3克、5克和7克的砝码各2、1、17个 105种商品的价格如表81，其中的单位是元现用60元钱恰好买了10件商品，那么有多少种不同的选购方式? 【分析与解】 设B、C、D、E、A商品依次买了b、c、d、e、(10-b-c-d-e)件，则有 =60 =310，显然只能取0，1，2有=310，其中d可取0，1，2，3，4 (1)当d=0时，有=310，将系数，常数对6取模得： 4(mod 6)，于是最小取4，那么有18b=310-434=138，b不为自然数所以d=0时。不满足；(2)有=233，将系数，常数对6取模得：5(mod 6),于是最小,那么有18b=233-435=18,；(3)有=156，将系数，常数对6取模得：O(mod 6)，于是最小取0，那么有18b=156，b不为自然数，所以d=2时，不满足；(4)有=79，将系数、常数对6取模得：1(mod 6)，于是最小那么有18b=7943=36(5)当d=4时，有=2，显然不满足有=190，其中d可以取0、1、2(1)有=190，将系数、常数对6取模有：4(mod 6)，于是最小那么有18b=190-434=18,(2)当d=1时，有=113，将系数、常数对6取模有：5(mod 6)，于是最小取5，即18+215=113，显然d=1时，不满足；(3)有=36,显然有时有=70，只能取0，有=70，将系数、常数对6取模有：4(rood 6)，于是最小取4，那么有18+172=70，显然不满足最后可得到如下表的满足情况：共有4种不同的选购方法 11有43位同学，他们身上带的钱从8分到5角，钱数都各不相同每个同学都把身上带的全部钱各自买了画片画片只有两种：3分一张和5分一张每11人都尽量多买5分一张的画片问他们所买的3分画片的总数是多少张? 【分析与解】 钱数除以5余0，1，2，3，4的人，分别买0，2，4，1，3张3分的画片因此，可将钱数8分至5角2分这45种分为9组，每连续5个在一组，每组买3分画片0+2+4+1+3=10张，9组共买109=90张，去掉5角1分钱中买的2张3分画片，5角2分中买的4张3分画片，43个人买的3分画片的总数是90-2-4=84张 12哥德巴赫猜想是说：“每个大于2的偶数都可以表示成两个质数之和”试将168表示成两个两位质数的和，并且其中的一个数的个位数字是1 【分析与解】 个位数字是1的两位质数有11，31，41，61，71 其中168-11=157，168-31=137，168-41=127，168-61=107，都不是两位数，只有168-71=97是两位数，而且是质数，所以168=71+97是惟一解13(1)将50分拆成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能大，那么这个最大质数是多少? (2)将60分拆成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能小，那么这个最大的质数是多少? 【分析与解】 (1)首先确定这10个质数或其中的几个质数可以相等，不然10个互不相等的质数和最小为2+3+5+7+11+13+17+19+23+29，显然大于50 所以，其中一定可以有某几个质数相等 欲使最大的质数尽可能大，那么应使最小的质数尽可能小，最小的质数为2，且最多可有9个2，那么最大质数不超过5029=32，而不超过32的最大质数为31 又有，所以满足条件的最大质数为31 (2)最大的质数必大于5，否则10个质数的之和将不大于50 所以最大的质数最小为7，为使和为60，所以