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文档简介
工程矩阵理论试卷样卷10c一、已知矩阵,的子集1、证明:V是的子空间;2、求V的一组基及V的维数;3、证明,并求A在上小题所提基下的坐标;4、试给出的两个不同的子空间及,使得解:1、设,所以,V对加法和数乘封闭,故V是的子空间。2、设 ,所以V的基为,2维。3、,在下的坐标为。4、实际为核子空间,令即可构成,则有的极大线性无关组。(此处概念有点不清楚,是否正确,请周老师指教!) ,的极大线性无关组为。 二、假设3维线性空间V上的线性变换在V的基下的矩阵为。问:当满足什么条件时,存在V的一组基,使得的矩阵是?解:、为同一线性变换下的矩阵,故,有相同的jordan标准形,相同的特征值,相同的迹,相同的秩。根据、迹相同(即主对角元素的和相同)得:,时,求得时, 或,三、设矩阵,上的变换定义如下:1、证明:是线性变换;2、求在的基下的矩阵M;3、求的值域及核子空间的基及它们的维数;4、试求M的jordan标准形,并写出的最小多项式;5、问:能否找到的基,使得的矩阵为对角阵?为什么?解:1、证明:设故关于加法和数乘封闭,为线性变换。2、 3、,的基,2维。 ,的基,2维。4、 5、不能找到四、求下列矩阵的广义逆矩阵:1、;解: 2、,其中,。解:故对B进行满秩分解,五、已知矩阵A的特征多项式与最小多项式相等,均为,给出可能的jordan标准形。解: 根据矩阵A的特征多项式与最小多项式相等,均为,可得: 当,则: 令, 求出代入,求出: 令, 求出代入,求出六、矩阵函数:1、设,求矩阵函数,并给出的特征多项式。解:求: 令, 求的特征多项式:的特征值为,的特征值即为,故的特征值为,。2、设,试将表示成关于A的次数不超过2的多项式,并求。解:,当时, 令 求出代入,求出七、设的子空间,求使得。该题与“工程矩阵理论试卷样卷10a”第三题类似,为找正投影问题。八、证明题:1、证明:若酉矩阵A满足,则。 证明:令 ,为的化零多项式,的特征值一定是的根,(重数未知),(重数未知),设 (可能为0,也可能为1)为酉矩阵,一定相似于,即,由此得的重数为0,(只可能为0), 得证。2、设H阵A,B均是正定
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