高考数学总复习第五单元 第五节 三角函数的图象和性质Ⅰ精品课件

第五节三角函数的图象和性质,求三角函数的定义域与值域,(1)求函数f(x)的定义域；(2)求函数y的值域,分析(1)分式的分母不能为零，平方根的被开方数大于等于零，对数的真数大于零及底数大于零且不等于1，正切函数本身有意义(2)化为关于sinx的二次函数后，配方求其值域,解(1)要使函数有意义，由已知得即定义域为(kZ)(2)1sinx1，y2sinx(1sinx)2，4y.故函数y的值域为.,规律总结(1)求三角函数的定义域，实质就是解三角不等式(组)一般可用三角函数的图象或三角函数线确定三角不等式的解在函数的化简变形中要注意等价转化求值域时要考虑函数的定义域的影响(2)求三角函数的值域问题，主要有以下几种题型及对应解法将yasinxbcosx化为yAsin(x)来求yasin2xbcosxc型可换元转化为二次函数sinxcosx与sinxcosx同时存在时可换元转化y型，可用分离常数法或由|sinx|1，|cosx|1来解决y型，可用有界性来解决,变式训练1(1)求函数f(x)的定义域；(2)求函数ylog2的值域,【解析】(1)由tanx0，得tanx，kxk(kZ)，f(x)的定义域为(kZ)(2)sin1,1，又1，2，1y1，即ylog2的值域为1,1,画三角函数的图象,画出函数f(x)sin在一个周期内的图象,分析依据正弦函数作图的三个主要步骤，即列表、描点、连线,解(1)列表如下：,(2)描点、连线：,规律总结五点法作图，是三角函数作图的主要方法之一函数ysinx、ycosx的五个关键点是固定的其他类型的三角函数，可以类比上述两种函数的作法，找到相应的五个关键点，通过列表、描点、连线，得到函数的大致图象,变式训练设函数f(x)sin(2x)(0)，yf(x)图象的一条对称轴是直线x.(1)求；(2)画出函数yf(x)在区间0，上的图象,【解析】(1)x是函数yf(x)图象的对称轴，sin1，k(kZ)0，.(2)根据ysin，列表：,描点连线得函数yf(x)，x0，的图象，如图所示,三角函数的周期与最值,设函数f(x)asinxbcosx(0)的最小正周期为，并且当x时，有最大值f4.求a、b、的值,分析将三角函数式进行变形，利用周期公式求参数.利用x时，取最大值4列方程组，解方程组得a、b.,解由，0得2，f(x)asin2xbcos2x.当x时，f(x)的最大值为4，得即解得,规律总结明确三角函数的周期T与的关系，是求三角函数周期或利用周期的关键充分理解正、余弦函数的有界性，不仅可以求最值，而且可以应用最值得方程组，求其他量,变式训练3已知向量a(，2)，b(sin2x，cos2x)(0)若f(x)ab，且f(x)的最小正周期为，求f(x)的最大值，并求f(x)取得最大值时x的集合,【解析】f(x)absin2x2cos2xsin2x2sin2xcos2x12sin1，T，1，f(x)2sin1，ymax1，此时x的集合为,三角函数的奇偶性、单调性和对称性,(12分)已知函数f(x)cos2，g(x)1sin2x.(1)设xx0是函数yf(x)图象的一条对称轴，求g(x0)的值；(2)求函数h(x)f(x)g(x)的单调递增区间,分析(1)由对称轴的性质求g(x0)，即求yf(x)的最大和最小值(2)把h(x)f(x)g(x)通过恒等变换化为一个角的一种三角函数的形式，再求单调区间,解(1)由题设知f(x).xx0是函数yf(x)图象的一条对称轴，2x0k(kZ)，即2x0k(kZ)g(x0)1sin2x01sin(kZ).2分当k为偶数时，g(x0)1sin1；4分当k为奇数时，g(x0)1sin1.6分,(2)h(x)f(x)g(x)1sin2xsin.9分当2k2x2k(kZ)，即kxk(kZ)时，函数h(x)sin是增函数，11分故函数h(x)的单调递增区间是(kZ).12分,规律总结求函数yAsin(x)的单调区间时，可先把相位“x”中的化成正数，再将化简后的“x”视为一个整体，结合基本初等函数ysinx的单调性和复合函数单调性的判定方法去求解最为方便,变式训练4已知函数f(x)cos2sinsin.(1)求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程；(2)判断函数f(x)在区间上的单调性,【解析】(1)f(x)cos2sinsincos2xsin2x(sinxcosx)(sinxcosx)cos2xsin2xsin2xcos2xcos2xsin2xcos2xsin，周期T.由2xk(kZ)，得x(kZ)，函数图象的对称轴方程为x(kZ)(2)x，2x，f(x)sin在区间上单调递增，在区间上单调递减,1三角函数图象的作法(1)利用三角函数线作图正弦函数、余弦函数图象的作法利用正弦线、余弦线分别作出ysinx，ycosx在区间0,2上的图象，然后利用诱导公式，将其扩展到整个定义域上，得到正、余弦函数曲线亦可以先作出正弦函数曲线，再通过平移得到余弦函数的图象正切函数图象的作法先利用正切线作出ytanx，x的图象，再将该图象左右平移得到正切函数曲线,(2)利用特殊点法正弦函数、余弦函数图象：在平面直角坐标系中，用光滑的曲线分别连接(0,0)，(，0)，(2，0)和(0,1)，(，1)，(2，1)五个关键点，即得ysinx，ycosx在区间0,2上的图象，然后左右平移可以得到整个定义域上的图象正切函数图象：利用一点两线作一个周期上的正切图象一点即图象与x轴的交点，两条直线即图象的渐进线，画出草图，再左右平移得正切曲线,2三角函数图象的对称轴与对称中心ysinx的对称轴为xk(kZ)，对称中心为(k，0)，kZ；ycosx的对称轴为xk(kZ)，对称中心为，kZ；ytanx的对称轴为xk(kZ)，对称中心为，kZ.,3三角函数的性质(1)求三角函数的定义域本质上就是解三角不等式(组)一般可用三角函数的图象或三角函数线确定三角不等式的解集列三角不等式时，既要考虑分式的分母不能为零、偶次方根被开方数大于等于零、对数的真数大于零及底数大于零且不等于1，又要考虑三角函数本身的定义域(2)求三角函数的值域的常用方法：化为求代数函数的值域；化为求yAsin(x)B的值域；化为关于sinx(或cosx)的二次函数式,(3)三角函数的单调性求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的形式，要特别注意A、的正负对单调性的影响函数yAsin(x)(A0，0)的单调区间的确定，基本思路是把x看作一个整体，运用复合函数的单调性求解利用单调性比较大小：利用奇偶性或周期性转化为同一单调区间上的同名函数值，在同一单调区间利用函数的单调性进行比较(4)求三角函数的周期的常用方法：经过恒等变换，把三角函数式化成“yAsin(x)、yAcos(x)”的形式，再利用周期公式求解，另外还可以结合图像和定义等(5)三角函数的奇偶性的判断方法：首先判定函数的定义域是否关于原点对称，当函数的定义域关于原点对称时，再运用奇偶性定义进行判断,已知sinxsiny，求sinycos2x的最大值,错解由已知得sinysinx，故sinycos2xsin2xsinx(1sinx1)令tsinx，故有f(t)t2t(1t1)，配方得f(t)，当t1时，原式取得最大值.,错解分析上述错解极为普遍，虽然考生注意到了换元前后的等价性(但有考生易忽视也是解答过程中易错的一个方面)，但却忽视了已知等式sinxsiny中的两个变量是相互约束的，即“由于1siny1，故sinx必须满足1sinx1”这个约束条件在遇到