第1章 控制系统的状态空间模型ppt课件

.,第一章控制系统的状态空间表达式,状态变量及状态空间表达式,1,状态空间的线性变换,2,离散时间系统的状态空间表达式,3,时变和非线性系统的状态空间表达式,4,.,1,在经典控制理论中，对一个线性定常系统的，可用常微分方程或传递函数加以描述。将某个变量作为输出，和输出联系起来。在现代控制理论中，系统的动态特性由状态变量构成的一阶微分方程组来描述，能同时给出系统全部独立变量的响应，因而能同时确定系统的全部内部运动状态。,.,2,如图所示R-L-C电路，其中电压u(t)为电路的输入量，电容上的电压uc(t)为电路的输出量，求该网络输入与输出之间的关系。,.,3,整理得到：,.,4,例1设有一质量弹簧阻尼系统。F(t)为输入力，y(t)为质量块的输出位移。,解：,.,5,则有：,.,6,写成矩阵的形式：,.,7,输入方程:系统的输入量与中间变量之间的函数关系输出方程:系统的输出量与中间变量之间的函数关系,.,8,状态空间表示法的基本概念,状态变量,状态向量,状态空间,状态方程,状态：表征系统运动的信息和行为状态变量：能完全表示系统运动状态的最小个数的一组变量,由状态变量构成的向量x1(t)x2(t):xn(t),以各状态变量x1(t),x2(t),xn(t)为坐标轴组成的几维空间。,由系统的状态变量与输入变量之间的关系构成的一阶微分方程组。,.,9,状态空间表达式,状态方程和输出方程的总和即称为状态空间表达式。它构成对一个系统动态行为的完整描述。,y:输出向量u:输入向量A:系数矩阵B:控制矩阵（输入矩阵）C:输出矩阵D:直接矩阵,.,10,.,11,状态空间表达式的模拟结构图,一、模拟结构图用来反映系统各状态变量之间的信息传递关系，对建立系统的状态空间表达式很有帮助。,.,12,二、绘制步骤,1、根据所给的输出方程，画出相应的加法器、比例器和状态变量；,2、积分器的数目应等于状态变量个数，将他们画在适当的位置，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量3、最后根据所给的状态方程用箭头将这些元件连接起来。,.,13,例：画出一阶标量微分方程的系统模拟结构框图：,.,14,例1-3：画出三阶微分方程的模拟框图：,上式可改成：,其模拟结构图如下：,.,15,同样，已知状态空间表达式，也可画出相应的模拟结构图，下图是下列三阶系统的模拟结构图。,.,16,状态空间表达式的建立（系统的实现）,用状态空间分析系统时，首先要建立给定系统的状态空间表达式。建立表达式的三个方法如下：,.,17,（一）从系统方块图出发建立状态空间表达式,3、根据系统的实际连结，写出相应的状态空间表达式,2.把每个积分器的输出选作为一个状态变量xi,1.将系统框图的各个环节变换成相应的模拟结构图,.,18,例1-4系统传递函数方块图如图所示，输入为u，输出为y。试求其状态空间表达式。,.,19,从图可知,状态方程,输出方程,.,20,.,21,建立小车-倒立摆系统的状态空间模型。假设小车和摆仅在一个平面内运动，忽略磨擦及空气阻力。,解：建立小车水平方向上建立平衡方程,在垂直方向上，建立小球的平衡方程,（二）从系统的机理出发建立状态空间表达式,.,22,假设很小，。因此，上面两个式子可化简为：,选择状态变量：,建立状态空间表达式,.,23,设M=1，m=0.1，l=1,.,（三）高阶微分方程出发建立状态空间表达式,n阶常系数微分方程（单入单出）,（以输入函数不含有导数项情况为例）,1.选状态变量x选各阶导数,.,2、建立关于x的方程方程,.,3、系统输出方程,.,能控标准型,A的对角线上方的元素均为1，最后一行为微分方程各阶导数的系数，其余为0，这样的矩阵叫做友阵。B阵的特征：最下边一行元素为单位阵，其余为0。系统的AB具有上述特征时，系统为能控标准型。,.,系统的方程为，求系统的状态空间表达式。,能控标准型,.,系统的模拟结构图,能控性：是控制作用u(t)支配系统x(t)的能力,.,不能控系统,.,31,（三）高阶微分方程出发建立状态空间表达式,n阶常系数微分方程（单入单出）,首先将n阶常系数微分方程通过拉氏变换转换为传递函数：,微分方程,拉氏变换,传递函数G(s),.,32,(1),一、直接法,.,33,拉氏反变换,(1),.,34,拉氏反变换,所以,由于,.,35,能控标准型,.,36,例1.4求其能控标准型,解：（1）解决分母比分子高一阶,将分母最高次幂变为1,.,37,（2）直接应用公式,即y=Cx+DuD为直接矩阵，输入对输出的直接作用,.,38,二、串联法,已知系统的传递函数,求其状态空间表达式。,解：,系统模拟框图如下：,.,39,分别写出每个一阶环节的状态方程,消去中间变量,.,40,则状态空间表达式为：,系统的模拟框图为：,.,41,二、并联法,极点,ci可通过拉氏变换求留数,.,42,输入与状态变量的关系输出与状态变量的关系,将拆分为2部分,分别进行拉氏逆变换，求解状态空间表达式,.,43,由,反变换：,得,.,44,由,反变换：,得,即：,.,45,输出方程,拉氏逆变换,.,46,.,47,解耦系统图形,特点：n个子系统互不相关，都是独立的，即解耦系统,.,48,习题将传递函数转换为状态空间表达式,可知：,状态方程,.,49,多输入、多输出系统微分方程的实现,一双输入一双输出的三阶系统为例，设系统的微积分方程为：,现采用模拟结构图的方法，按高阶导数项求解：,对每一个方程积分：,.,50,多输入、多输出系统微分方程的实现,.,51,状态空间表达式？,.,52,传递函数和状态空间模型间的转换,现代控制理论：引入了状态变量，采用状态空间来表述系统的输入输出之间的关系。,G(s),ABCD,?,经典控制理论：传递函数为单输入单输出线性定常系统，在零初始条件下：,状态空间表达式唯一么?,.,53,如图所示R-L-C电路，其中电压u(t)为电路的输入量，电容上的电压uc(t)为电路的输出量，求该网络输入与输出之间的关系。,.,54,如图所示R-L-C电路，其中电压u(t)为电路的输入量，电容上的电压uc(t)为电路的输出量，求该网络输入与输出之间的关系。,.,55,.,56,状态空间模型的转换,传递函数G(s),?,A,B,C,D,u,x,y,.,57,对于,由此得到：,T,.,58,例题：考虑以下状态空间模型,选变换矩阵,则,，通过变换得到：,.,状态空间表达式转换为约旦标准型,59,有重根时,无重根时,.,1.系统特征值,系统,预备知识,系统特征值就是系统矩阵的特征值，也即特征方程的根：,方阵A且有n个特征值,系统特征值的不变性,60,.,一个维矢量：经过以作为变换阵的变换，得到一个新的矢量,矢量经过线性变换后，方向不变，仅长度变化倍，则称为的对应于（特征值）的特征向量，此时有,系统矩阵A的特征向量,61,P35例1-9,.,62,系统,当A阵的特征值无重根时，将系统转换,成约旦标准型的转换矩阵T由A的特征矢量构成，即,证明,有重根P38,.,63,由状态空间表达式求传递函数阵G(s),拉氏变换：,G(s),ABCD,?,.,64,由上式得：,由于,意义：建立现代与经典的关系，从现代的状态方程的ABCD可求出传递函数G(s),则,.,65,解：,例,求传递函数,.,66,多输入多输出系统的传递函数P44,.,67,状态空间模型的转换,传递函数G(s),T,？,.,68,等价的状态空间模型是否有相同的传递函数？,T,假设：,则：,根据转换关系：,.,69,系统的特征方程和特征根,系统的特征方程为|sI-A|=0,传递函数的极点就是系统矩阵A的特征值。系统进行非奇异变换（线性变换），特征值不变,.,离散系统的状态空间表达式,对比,连续系统用微分方程来表示，采用拉普拉斯变换传递函数进行分析。,离散系统用差分方程来描述，用Z变换脉冲传递函数进行分析。,离散系统的状态空间表达式可通过差分方程或脉冲传递函数,70,.,离散系统的信号采用数字形式，输入和输出都是脉冲序列或数字序列。计算机控制系统属离散系统。,71,.,差分方程和脉冲传递函数,线性定常离散系统可用n次差分方程表示：,脉冲传递函数：,72,.,状态方程的建立,1、由差分方程设T=1,输入仅有u(kT)项，b0=1,则整个方程可以写为：y(k+n)+an-1y(k+n-1)+a0y(k)=u(k)设x1(k)=y(k),x2(k)=y(k+1),x3(k)=y(k+2).xn(k)=y(k+n-1)x1(k+1)=y(k+1)=x2(k)x2(k+1)=y(k+2)=x3(k)xn-1(k+1)=y(k+n-1)=xn(k)xn(k+1)=y(k+n)=-a0 x1(k)-a1x2(k)-an-1xn(k)+u(k),73,.,向量矩阵形式,74,.,离散系统方块图,75,.,矢量矩阵形式的离散状态空间表达式为：,式中的求法，类似于1.4节中式(34)求的计算公式，即：,76,.,例1.9：已知离散系统的差分方程为试写出其状态方程和输出方程。,77,.,例1.10已知输入如下,78,.,线性定常系统，其特征是它的状态空间表达式中的A、B、C、D等矩阵的元素固定不变，与输入、输出或者时间无关。,线性时变系统有：,时变系统和非线性系统的状态空间表达式,79,.,非线性系统,非线性的动态特性是用如下的n个一阶微分方程组描述的：,用矢量矩阵表示，则为：,80,式中，为矢量函数；,.,如果我们只局限于考察输入偏离为时，对应于它，也偏离也偏离时的行为，则可以通过对系统的一次近似而予以线性化。为此，将附近作泰勒级数展开：,.,它们分别是nxn，nxr，mxn，nxr维矩阵，其相应定义如下：,.,令,将这些微增量分别用表示，则线性化后的表达式就成了一般线性表达式了，即,例1-12P52,.,84,利用MATLAB进行系统模型间的互相转换,系统的传递函数为,按照顺序输入分子分母的系数,采用tf2ss命令实现由G(s)到ABCD的转换,.,85,得到如下结果,例如,执行以下m文件,.,86,对于给定的状态空间表达式,num和den为分子分母的系数矩阵,函数ss2tf命令实现由ABCD到G(s)的转换,.,87,求由以下状态空间模型所表示的传递函数,执行以下m文件得到如下结果,A=010;001;-5-25-5;B=0;25;-120;C=100;D=0;num,den=ss2tf(A,B,C,D),.,88,2不同状态空间之间的互相转换,T,(1)构建第一个状态空间sys1=ss(A,B,C,D),(2)转换第二个状态空间sys2=ss2ss(sys1,T),或者aa,bb,cc,dd=ss2ss(a,b,c,d,T),方法,.,89,