2018-2019学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）数学Ⅰ

2018-2019学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）数学一、 填空题， 本大题共 14 题， 每小题 5 分， 共 70 分， 不需要写出解答过程， 请把答案直接填在答题卡相应位置上1、已知集合 A = 0，1，2， B = x | -1 x 1， 则 AB = 答案：。2、i 为虚数单位， 复数(1- 2i)2 的虚部为 答案：，即虚部为-4。3、抛物线 y 2 = 4x 的焦点坐标为 答案：。4、箱子中有形状、 大小相同的 3只红球、 1只白球， 一次摸出 2 只球， 则摸到的 2 只球颜色相同的概率为 答案：解析：。5、如图是抽取某学校160 名学生的体重频率分布直方图， 已知从左到右的前 3组的频率成等差数列， 则第 2 组的频数为 答案：406、如图是一个算法流程图， 则输出的 S 的值是 答案：7、已知函数，若， 则实数a = 答案： 解析：8、中国古代著作张丘建算经 有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半， 七天一共行走了 700 里， 那么这匹马在最后一天行走的里程数为 答案：解析：设第七天走的路程为，那么七天总共走的路程为。9、已知圆柱的轴截面的对角线长为 2， 则这个圆柱的侧面积的最大值为 答案：解析：设圆柱的底面半径为，高为，那么，圆柱的侧面积为。10、设定义在区间 (0，)上的函数 y = 3sin x 的图像与 y = 3cos 2x + 2 的图像交于点P， 则点 P 到 x 轴的距离为 答案：3解析： 11、在ABC 中 ， 角 A， B，C 所对的边分别为a，b，c ，已知5a = 8b，A = 2B ， 则sin（A-） 答案：解析：。12、若直线 l : ax + y - 4a = 0 上存在相距为 2 的两个动点 A，B，圆 O : x2 + y2 =1上存在点 C ， 使得ABC 为等腰直角三角形（C 为直角顶点）， 则实数 a 的取值范围为 答案：解析：根据题意得，圆 O : x2 + y2 =1上存在点C，使得点C到直线l的距离为1，那么圆心O到直线l的距离为不大于2，即，于是。13、在ABC 中， 已知 AB = 2， AC = 1，BAC = 90， D，E 分别为 BC，AD 的中点， 过点 E 的直线交 AB 于点 P，交 AC 于点 Q， 则的最大值为 答案：解析：以AC为x轴，AB为y轴，建立直角坐标系，那么B(0,2),C(1,0),并且E点的坐标为，设直线PQ的方程为，所以有，14、已知函数 f (x) =， g(x) = (2a -1)x + a ln x ， 若函数 y = f (x) 与函数y = g(x) 的图像恰好有两个不同的交点， 则实数 a 的取值范围为 答案：解析：很显然，单调递增，至多有一个零点，不符合题意。时，令 ，可以求得时，二、 解答题： 共 6 小题， 共 90 分、请在答题卡指定区域内作答， 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（ 本小题满分 14 分）如图，三棱锥 D - ABC 中，已知 AC BC ， AC DC ， BC = DC ， E，F分别为BD，CD 的中点， 求证：（1） EF / 平面 ABC ;（2） BD 平面 ACE .解：（1）三棱锥中，为的中点，为的中点， 3分平面，平面，平面 6分（2），平面， 8分 平面， 10分 为的中点， 12分 ，平面 14分16（ 本小题满分 14 分）已知向量 a = (2cosa，2sina )，b = (cosa - sina，cosa + sina ).（1） 求向量a与b的夹角；（2） 若(lb - a) a，求实数 l的值.解：（1）设向量与的夹角为，因为，4分所以 7分考虑到，得向量与的夹角 9分（2）若，则，即， 12分因为， 所以，解得 14分17（ 本小题满分 14 分）某新建小区规划利用一块空地进行配套绿化. 已知空地的一边是直路 AB，余下的外围是抛物线的一段弧， 直路 AB 的中垂线恰是该抛物线的对称轴（ 如图） . 拟在这个空地上划出一个等腰梯形 ABCD 区域种植草坪， 其中 A， B，C， D 均在该抛物线上. 经测量， 直路 AB长为 40 米， 抛物线的顶点 P 到直路 AB 的距离为 40 米. 设点C 到抛物线的对称轴的距离为m米， 到直路AB的距离为 n 米.（1） 求出 n 关于 m 的函数关系式；（2） 当m 为多大时， 等腰梯形草坪 ABCD 的面积最大？并求出其最大值.解：（1）以路AB所在的直线为轴，抛物线的对称轴为轴建立平面直角坐标系， 1分则， 2分曲线段APB为抛物线的一段弧，可以设抛物线的解析式为， 将点代入得：，解得， 4分抛物线的解析式为， 5分点C在抛物线上， 6分（2）设等腰梯形ABCD的面积为S，则， 8分， 9分， 10分令，得， 11分m增极大值减 13分当时，等腰梯形ABCD的面积最大，最大值为平方米 14分18（ 本小题满分 16 分）已知椭圆E: 的离心率为， 焦点到相应准线的距离为.（1） 求椭圆 E 的标准方程；（2） 已知 P(t，0) 为椭圆 E 外一动点， 过点 P 分别作直线 l1和 l2 ， l1和 l2 分别交椭圆 E 于点 A， B和点C，D， 且 l1和 l2 的斜率分别为定值k1 和k2，求证：为定值.解：(1)设椭圆的半焦距为c，由已知得，则， 3分解得， 5分椭圆E的标准方程是 6分(2)由题意，设直线的方程为，代入椭圆E的方程中，并化简得， 8分设，则，因为PA=，PB=，10分所以， 12分同理，PC PD=， 14分所以=为定值 16分19（ 本小题满分 16 分）已知函数 f (x) = (x +1)ln x + ax(a R).（1） 若 y = f (x) 在(1，f (1) 处的切线方程为 x + y + b = 0 ， 求实数 a，b 的值；（2） 设函数 g(x) ， x 1，e（ 中 e 为自然对数的底数） .当 a =- 1时， 求 g(x) 的最大值；若h(x) = 是单调递减函数， 求实数 a 的取值范围.解：（1）， 1分，代入解得 2分（2），则 3分令，则，在单调递增， 5分， 6分，在单调递增，的最大值为 8分同理，单调递增函数， 9分则若，令，则即在单调递减，11分若，由知， 又在区间上是单调减函数，所以对恒成立，即对恒成立，即对恒成立，令，记，又，所以在区间上单调递减，故，即，所以即在区间上是单调递减，所以，所以，又， 13分若，因为，所以在上单调递增，又，则存在唯一的，使，在上不单调 15分综上所述， 16分20（ 本小题满分 16 分）定义： 若有穷数列 a1，a2，an 同时满足下列三个条件， 则称该数列为 P 数列.首项 a1 = 1； a1 a2 4 ，且数列 b1，b2，bn 是 P 数列， 求证： 数列 b1，b2，bn 是等比数列.解：（1），均不在此等差数列中，等差数列不是P数列； 2分（2）数列a，b，c，6是P数列，所以1abc6， 3分由于6b或是数列中的项，而6b大于数列中的最大项6，是数列中的项，同理也是数列中的项， 5分考虑到16，于是b，c，bc6，又1bc，所以1b， 7分综上，b的取值范围是(1，) 8分（3）数列bn是P数列，所以1b1b2b3bn，由于b2bn或是数列中的项，而b2bn大于数列中的最大项bn，是数列bn中的项， 10分同理，也都是数列bn中的项，考虑到1bn，且1，bn这n个数全是共有n项的增数列1， b2，bn中的项， 从而bnbibn1i (i1，2，n1)， 12分又bn1b3bn1b2bn，所以bn1b3不是数列bn中的项，是数列bn中的项，同理，也都是数列bn中的项，考虑到1bn2bn1bn，且1，bn1，bn这n个数全是共有n项的增数列1， b2，bn中的项，于是，同理有，bn1bibni(i1，2，n2)， 14分在中将i换成i1后与相除，得，i1，2，n2，b 1，b2，bn是等比数列 16分2018-2019学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）数学（附加题）21【选做题】本题包括A，B，C三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤A选修42：矩阵与变换已知x，yR，是矩阵A的属于特征值1的一个特征向量，求矩阵A的另一个特征值解：是矩阵的属于特征值的一个特征向量，解得， 4分， 6分特征多项式为，即， 8分另一个特征值为 10分B选修44：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知直线l：，在直角坐标系（原点与极点重合，x轴正方向为极轴的正方向）中，曲线C的参数方程为（t为参数）设l与C交于A，B两点，求AB的长解：以极点为直角坐标系原点，极轴为x轴建立坐标系，直线的直角坐标方程为， 2分曲线的普通方程为， 4分则直线与曲线的交点为和， 7分 10分C选修45：不等式选讲若不等式对任意的xR恒成立，求实数a的取值范围解：， 4分要使不等式对任意的恒成立，当且仅当， 7分或 10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤22（本小题满分10分）从批量较大的产品中随机取出10件产品进行质量检测，若这批产品的不合格率为0.05，随机变量X表示这10件产品中的不合格产品的件数（1）蚊：这10件产品中“恰好有2件不合格的概率P(X2)”和“恰好有3件不合格的概率P(X3)”哪个大？请说明理由；（2）求随机变量X的数学期望E(X)解：由于批量较大，可以认为随机变量, 2分（1）恰好有2件不合格的概率，恰好