2016年湖南省长沙市高考数学一模试卷（文科）含答案解析

第 1 页（共 17 页） 2016 年湖南省长沙市高考数学一模试卷（文科） 一、选择题 1设 i 为虚数单位，则复数 3 i 的虚部是（ ） A 3 B i C 1 D 1 2记集合 A=x|x+2 0， B=y|y=x R，则 A B=（ ） A（ 2， +） B 1， 1 C 1， 1 2， +） D（ 2， 1 3某空间几何体的三视图中，有一个是正方形，则该空间几何体不可能是（ ） A圆柱 B圆锥 C棱锥 D棱柱 4已知向量 =（ =（ 若 ，则 ， 的值可以是（ ） A = ， = B = ， = C = ， = D = ， = 5已知数列的前 4 项为 2， 0， 2， 0，则依次归纳该数列的通项不可能是（ ） A 1） n 1+1 B C D an=n 1） +1 6已知定义在 R 上的函数 f（ x）满足 f（ x+1） = f（ x），且 f（ x） = ，则下列函数值为 1 的是（ ） A f（ B f（ f（ C f（ f（ D f（ 2） 7某研究性学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响，部分统计数据如表 使用智能手机 不使用智能手机 合计 学习成绩优秀 4 8 12 学习成绩不优秀 16 2 18 合计 20 10 30 附表： p（ 计算 0，则下列选项正确的是：（ ） A有 把握认为使用智能手机对学习有影响 B有 把握认为使用智能手机对学习无影响 C有 把握认为使用智能手机对学习有影响 D有 把握认为使用智能手机对学习无影响 8函数 的单调递增区间是（ ） A B C D 9平面直径坐标系 ，动点 P 到圆（ x 2） 2+ 上的点的最小距离与其到直线 x= 1 的距离相等，则 P 点的轨迹方程是（ ） A x B y C x D y 第 2 页（共 17 页） 10非负实数 x、 y 满足 x+y 1） 0，则关于 x y 的最 大值和最小值分别为（ ） A 2 和 1 B 2 和 1 C 1 和 1 D 2 和 2 11如果执行如图所示的程序框图，则输出的数 S 不可能是（ ） A 2已知函数 f（ x） =g（ x） =x+1，则关于 f（ x）， g（ x）的语句为假命题的是（ ） A x R， f（ x） g（ x） B R， f（ g（ C R， f（ =g（ D R，使得 x R， f（ g（ f（ x） g（ x） 二、填空题 13在空间直角坐标系中，已知点 A（ 1， 0， 1）， B（ 1， 1， 2），则线段 长度为 _ 14记等差数列 前 n 项和为 5，则 _ 15 周长等于 2（ 则其外接圆半径等于 _ 16 M， N 分别为双曲线 =1 左、右支上的点 ，设 是平行于 x 轴的单位向量，则 | |的最小值为 _ 三、解答题 17如图， 半径为 2，圆心角为 的扇形， C 是扇形弧上的一动点，记 ，四边形 面积为 S （ 1）找出 S 与 的函数关系； （ 2）试探求当 取何值时， S 最大，并求出这个最大值 第 3 页（共 17 页） 18空气质量指数（ 称 定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照 小分为六级： 0 50 为优； 51 100 为良； 101 150 为轻度污染； 151 200为中度污染； 201 300 为重度污染； 300 为严重污染 一环保人士记录了去年某地某月 10 天的 茎叶图如图所示 （ 1）利用该样本估计该地本月空气质量优良（ 100）的天数；（按这个月总共 30 天计算） （ 2）若从样本的空气质量不佳（ 100）的 这些天中，随机地抽取两天深入分析各种污染指标，求该两天的空气质量等级恰好不同的概率 19如图，矩形 直于正方形 直于平面 E=2 （ 1）求三棱锥 A 体积 （ 2）求证：面 面 20已知椭圆 + =1（ a b 0）的顶点到直线 y=x 的距离分别为 ， （ 1）求 标准方程； （ 2）设平行于 直线 l 交 A、 B 两点，若以 直径的圆恰好过坐标原点，求直线 l 的方程 21已知函数 f（ x） =（ a 为实常数） （ 1）若 f（ x）在（ 0， +）上单调递增，求实数 a 的取值范围； （ 2）判断是否存在直线 l 与 f（ x）的图象有两个不同的切点 ，并证明你的结论 选修 4何证明选讲 22如图， C， D 是以 直径的半圆上两点，且 = （ 1）若 明：直线 分 （ 2）作 E，证明： E 选修 4标系与参数方程选讲 第 4 页（共 17 页） 23在平面直角坐标系 ，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线极坐标方程为 2 4=0， 0， 2 （ 1）求 直角坐标方程； （ 2）曲线 参数方程为 （ t 为参数），求 公共点的极坐标 选修 4等式选讲 24设 、 、 均为实数 （ 1）证明： |+） | | |+） | | （ 2）若 +=0证明： | 1 第 5 页（共 17 页） 2016 年湖南省长沙市高考 数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题 1设 i 为虚数单位，则复数 3 i 的虚部是（ ） A 3 B i C 1 D 1 【考点】 复数的基本概念 【分析】 直接由复数的基本概念得答案 【解答】 解： 复数 3 i， 复数 3 i 的虚部是： 1 故选： D 2记集合 A=x|x+2 0， B=y|y=x R，则 A B=（ ） A（ 2， +） B 1， 1 C 1， 1 2， +） D（ 2， 1 【考点】 并集及其运算 【分析】 先化简集合 A， B，再根 据并集的定义即可求出 【解答】 解：集合 A=x|x+2 0=（ 2， +）， B=y|y=x R= 1， 1， 则 A B=（ 2， +）， 故选： A 3某空间几何体的三视图中，有一个是正方形，则该空间几何体不可能是（ ） A圆柱 B圆锥 C棱锥 D棱柱 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由于圆锥的三视图中一定不会出现正方形，即可得出结论 【解答】 解：圆锥的三视图中一定不会出现正方形， 该空间几何体不可能是圆锥 故选： B 4已知向量 =（ =（ 若 ，则 ， 的值可以是（ ） A = ， = B = ， = C = ， = D = ， = 【考点】 平面向量共线（平行）的坐标表示 【分析】 根据向量的平行的条件以及两角和的余弦公式即可判断 【解答】 解：向量 =（ =（ 若 ， ， 即 +） =0， +=， k Z， 对于 A： +=0，不符合， 对于 B， +=，不符合， 对于 C： += ，符合， 第 6 页（共 17 页） 对于 D， += ，不符合， 故选： C 5已知数列的前 4 项为 2， 0， 2， 0，则依次归纳该数列的通项不可能是（ ） A 1） n 1+1 B C D an=n 1） +1 【考点】 数列的概念及简单表示法 【分析】 令 n=1， 2， 3， 4 分别代入验证：即可得出答案 【解答】 解：令 n=1， 2， 3， 4 分别代入验证：可知 C： 2，因此不成立 故选： C 6已知定义在 R 上的函数 f（ x）满足 f（ x+1） = f（ x），且 f（ x） = ，则下列函数值为 1 的是（ ） A f（ B f（ f（ C f（ f（ D f（ 2） 【考点】 函数的值 【分析】 由 f（ x+1） = f（ x），得到函数的周期是 2，根据分段函数的表达式结合函数的周期性进行求解即可 【解答】 解：由 f（ x+1） = f（ x），得 f（ x+2） = f（ x+1） =f（ x）， 则函数的周期是 2， 则 f（ =f（ 2+=f（ = 1， f（ f（ =f（ 1） =f（ 1+2） =f（ 1） = 1 f（ f（ =f（ f（ 2 =f（ f（ =f（ 1） = 1， f（ 2） =f（ 0） =1， 即列函数值为 1 的 f（ 2）， 故选： D 7某研究性学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响，部分统计数据如表 使用智能手机 不使用智能手机 合计 学习成绩优秀 4 8 12 学习成绩不优秀 16 2 18 合计 20 10 30 附表： p（ 计算 0，则下列选项正确的是：（ ） A有 把握认为使用智能手机对学习有影响 B有 把握认为使用智能手机对学习无影响 C有 把握认为使用智能手机对学习有影响 第 7 页（共 17 页） D有 把握认为使用智能手机对学习无影响 【考点】 独立性检验的应用 【分析】 根据观测值 照数表，即可得出正确的结论 【解答】 解 ：因为 0 对照数表知，有 把握认为使用智能手机对学习有影响 故选： A 8函数 的单调递增区间是（ ） A B C D 【考点】 复合三角函数的单调性 【分析】 由 2 + 2（ k Z）与 x 2， 2即可求得答案 【解答】 解： y=+ ）的单调递增区间由 2 + 2（ k Z）得： 4 x 4（ k Z）， x 2， 2， x 即 y=+ ）的单调递增区间为 ， 故选 A 9平面直径坐标系 ，动点 P 到圆（ x 2） 2+ 上的点的最小距离与其到直线 x= 1 的距离相等，则 P 点的轨迹方程是（ ） A x B y C x D y 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 设动点 P（ x， y），由已知得 |x+1|= 1，由此能求出点 P 的轨迹方程 【解答】 解：设动点 P（ x， y）， 动点 P 到直线 x= 1 的距离等于它到圆：（ x 2） 2+ 的点的最小距离， |x+1|= 1， 化简得： 6x 2+2|x+1|= 当 x 1 时， x， 当 x 1 时， x 4 8，不合题意 点 P 的轨迹方程为： x 故选： A 10非负实数 x、 y 满足 x+y 1） 0，则关于 x y 的最大值和最小值分别为（ ） A 2 和 1 B 2 和 1 C 1 和 1 D 2 和 2 【考点】 简单线性规划；对数函数的图象与性质 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，利用 z 的几何意义进行求解即可 第 8 页（共 17 页） 【解答】 解：由题意得 ， 作出不等式组对应的平面区域如图： 设 z=x y，由 z=x y，得 y=x z 表示，斜率为 1 纵截距为 z 的一组平行直线， 平移直线 y=x z，当直线 y=x z 经过点 C（ 2， 0）时，直线 y=x z 的截距最小，此时 ， 最大为 0=2 当直线经过点 A（ 0， 2）时，此时直线 y=x z 截距最大， z 最小 此时 2= 2 故选： D 11如果执行如图所示的程序框图，则输出的数 S 不可能是（ ） A 考点】 程序框图 【分析】 模拟执行程序，可得此程序框图的功能是计算并输出 S=+ 的值，结合选项，只有当 S 的值为 ， n 不是正整数，由此得解 【解答】 解：模拟执行程序，可得此程序框图执行的是输入一个正整数 n， 第 9 页（共 17 页） 求 + 的值 S，并输出 S， 由于 S= + =1 + =1 = ， 令 S=得 n= ，不是正整数，而 n 分别输入 2， 3， 8 时，可分别输出 故选： A 12已知函数 f（ x） =g（ x） =x+1，则关于 f（ x）， g（ x）的语句为假命题的是（ ） A x R， f（ x） g（ x） B R， f（ g（ C R， f（ =g（ D R，使得 x R， f（ g（ f（ x） g（ x） 【考点】 命题的真假判断与应用 【分析】 根据全称命题和特称命题的定义进行判断即可 【解答】 解：设 h（ x） =f（ x） g（ x），则 h（ x） =x 1， 则 h（ x） =1， 当 x 0 时， h（ x） 0， h（ x）单调递减， 当 x 0 时， h（ x） 0，则 h（ x）单调递增， 即当 x=0 时，函数 h（ x）取得极小值同时也是最小值 h（ 0） =0， 即 h（ x） 0，即 x R， f（ x） g（ x）不一定成立，故 A 是假命题， 故选： A 二、填空题 13在空间直角坐标系中，已知点 A（ 1， 0， 1）， B（ 1， 1， 2），则线段 长度为 【考点】 空间两点间的距离公式 【分析】 根据两点间的距离公式，进行计算即可 【解答】 解：空间直角坐标系中，点 A（ 1， 0， 1）， B（ 1， 1， 2）， 所以线段 长度为 | = 故答案为： 14记等差数列 前 n 项和为 5，则 2016 【考点】 等差数列的前 n 项和 【分析】 利用等差数列的通项公式及其前 n 项和公式即可得出 【解答】 解：设等差数列 公差为 d 5， d=2（ d）， d=15， 解得 a1=d=1 则 + 1=2016 故答案为： 2016 15 周长等于 2（ 则其外接圆半径等于 1 第 10 页（共 17 页） 【考点】 正弦定理 【分析】 利用正弦定理得出 a， b， c 和外接圆半径 R 的关系，根据周长列出方程解出 R 【解答】 解：设 三边分别为 a， b， c，外接圆半径为 R， 由正弦定理得 ， a=2b=2c=2 a+b+c=2（ 2（ R=1 故答案为： 1 16 M， N 分别为双曲线 =1 左、右支上的点，设 是平行于 x 轴的单位向量，则 | |的最小值为 4 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 根据向量数量积的定义结合双曲线的性质进行求解即可 【解答】 解：由向量数量积的定义知 即向量 在向量 上的投影 | |模 长的乘积，故求 | |的最小值， 即求 在 x 轴上的投影的绝对值的最小值， 由双曲线的图象可知 | |的最小值为 4， 故答案为： 4 三、解答题 17如图， 半径为 2，圆心 角为 的扇形， C 是扇形弧上的一动点，记 ，四边形 面积为 S （ 1）找出 S 与 的函数关系； （ 2）试探求当 取何值时， S 最大，并求出这个最大值 第 11 页（共 17 页） 【考点】 三角函数中的恒等变换应用；弧度制的应用；三角函数的最值 【分析】 （ 1）由面积公式即可得到 S 与 的函数关系 （ 2）对三角函数化简，由 的范围，得到 S 的最大值 【解答】 解：（ 1） S=S 2 ）（ （ 0， ） （ 2）由（ 1）知， S=2 ） =+ ） （ 0， ）， + （ ， ） 当 + = ，即 = 时， S 最大，为 2 18空气质量指数（ 称 定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照 小分为六级： 0 50 为优； 51 100 为良； 101 150 为轻度污染； 151 200为中度污染； 201 300 为重度污染； 300 为严重污染 一环保人士记录了去年某地某月 10 天的 茎叶图如图所示 （ 1）利用该样本估计该地本月空气质量优良（ 100）的天数；（按这个月总共 30 天计算） （ 2）若从样本的空气质量不佳（ 100）的这些天中，随机地抽取两天深入分析各种污染指标，求该两天的空气质量等级恰好不同的概率 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【分析】 （ 1）由茎叶图可得样本中空气质量优良的天数，可得概率，用总天数乘以概率可得； （ 2）该样本中轻度污染共 4 天，分别记为 a， b， c， d，中度污染为 1 天，记为 A，重度污染为 1 天，记为 ，列举可得总的基本事件共 15 个，其中空气质量等级恰好不同有 9 个，由概率公式可得的 【解答】 解：（ 1）由茎叶图可发现样本中空气质量优的天数为 1， 空气质量为良的天数为 3，故 空气质量优良的概率为 = ， 故利用该样本估计该地本月空气质量优良的天数为 30 =12； （ 2）该样本中轻度污染共 4 天，分别记为 a， b， c， d， 中度污染为 1 天，记为 A，重度污染为 1 天，记为 ， 则从中随机抽取 2 天的所有可能结果为：（ a， b）（ a， c） （ a， d）（ a， A）（ A， ）（ b， c）（ b， d）（ b， A） （ b， ）（ c， d）（ c， A）（ c， ）（ d， A）（ d， ） 第 12 页（共 17 页） （ A， ）共 15 个，其中空气质量等级恰好不同有（ a， A）（ A， ）（ b， A） （ b， ）（ c， A）（ c， ）（ d， A）（ d， ）（ A， ）共 9 个， 该两天的空气质量等级恰好不同的概率 P= = 19如图，矩形 直于正方形 直于平面 E=2 （ 1）求三棱锥 A 体积 （ 2）求证：面 面 【考点】 平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积 【分析】 （ 1）由平面 平面 平面 是 平面 棱锥 A 高； （ 2）建立空间坐标系，分别求出平面 平面 法向量，证明他们的法向量垂直即可 【解答】 解：（ 1） 平面 平面 面 面 D， 平面 平面 平面 平面 = = （ 2）以 B 为原点， 坐标轴建立空间直角坐标系，如图： 则 A（ 2， 0， 0）， E（ 2， 2， 2）， F（ 0， 0， 2）， G（ 0， 2， 1）， =（ 0， 2， 2）， =（ 2， 2， 0）， =（ 0， 2， 1） 设平面 法向量为 =（ x， y， z），平面 法向量为 =（ a， b， c）， 则 ， ，即 ， ， 令 z=1 得 =（ 1， 1， 1），令 c=1 得 =（ ， ， 1） = =0 ， 平面 平面 第 13 页（共 17 页） 20已知椭圆 + =1（ a b 0）的顶点到直线 y=x 的距离分别为 ， （ 1）求 标准方程； （ 2）设平行于 直线 l 交 A、 B 两点，若以 直径的圆恰好过坐标原点，求直线 l 的方程 【考点】 椭 圆的简单性质 【分析】 （ 1）由 a b，可设顶点（ a， 0）到直线 y=x 的距离为 ，又顶点（ 0， b）到直线y=x 的距离为 ，运用点到直线的距离公式，计算可得 a=2， b=1，进而得到椭圆方程； （ 2）设直线 l 的方程为 y=x+t（ t 0），代入椭圆方程 ，设 A（ B（ 运用韦达定理和判别式大于 0，以及直径所对的圆周角为直角，由向量垂直的条件：数量积为 0，化简整理，可得 t，进而得到所求直线 l 的方程 【解答】 解：（ 1）由 a b，可设顶点（ a， 0）到直线 y=x 的距离为 ， 可得 = ，即 a=2， 又顶点（ 0， b）到直线 y=x 的距离为 ，可得 = ，即 b=1， 则椭圆方程为 +； （ 2）设直线 l 的方程为 y=x+t（ t 0）， 代入椭圆方程 ，可得 54=0， 设 A（ B（ 即有 =6420（ 44） 0，解得 t ，且 t 0， x1+ ， ， x1+t）（ x2+t） =t2+t（ x1+= += ， 以 直径的圆恰好过坐标原点，可得 即有 =0，即 ， 即为 + =0， 解得 t= ，满足 t ，且 t 0， 第 14 页（共 17 页） 则直线 l 的方程为 y=x 21已知函数 f（ x） =（ a 为实常数） （ 1）若 f（ x）在（ 0， +）上单调递增，求实数 a 的取值范围； （ 2）判断是否存在直线 l 与 f（ x）的图象有两个不同的切点，并证明你的结论 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ 1）求出导数，由题意可得 2a 0 在（ 0， +）上恒成立，即 a 2出右边函数的值域，即可得到 a 的范围； （ 2）不存在直线 l 与 f（ x）的图象有两个不同的切点假设存在这样的直线 l，设两切点为（ f（ ，（ f（ ，由假设可得 f（ =f（ = ，运用导数和函数的解析式，化简整理，即可得到矛盾 【解答】 解：（ 1）函数 f（ x） =的导数为 f（ x） =2x = ， 由 f（ x）在（ 0， +）上单调递增， 可得 2a 0 在（ 0， +）上恒成立， 即 a 2 2（ 0， +）上递增，可得 2值域为（ 0， +）， 则 a 0，即有 a 的取值范围为（ ， 0； （ 2）不存在直线 l 与 f（ x）的图象有两个不同的切点 证明：假设存在这样的直线 l， 设两切点为（ f（ ，（ f（ ， 由假设可得 f（ =f（ = ， 由 f（ =f（ 可得 2=2， 即有 2（ =a ，显然 x1+0， 0， 即有 a= ，而 f（ = 2 =x1+ 2= = 0， 即 f（ =f（ ，