2016年四川省泸州市高考数学三诊试卷（理科）含答案解析

第 1 页（共 22 页） 2016 年四川省泸州市高考数学三诊试卷（理科） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。 1设集合 M=x|x 6 0， N=x|x 1 0，则 MN=（ ） A（ 1， 2） B（ 1， 3） C（ 1， 2） D（ 1， 3） 2若命题 p： R， 2 p 是（ ） A R， 2 R， 2 x R， x 2 x R， x 2 已知 ，则 ） A B C D 4圆 x2+4x=0 的圆心到双曲线 的渐近线的距离为（ ） A 1 B 2 C D 2 5执行如图所示的程序框图，若输入的 x， y R，则输出 t 的最大值为（ ） A 1 B 3 C 2 D 0 6从一个棱长为 1 的正方体中切去一部分，得到一个几何体，某三视图如图，则该几何体的体积为（ ） A B C D 7某学校一天共排 7 节课（其中上午 4 节、下午 3 节），某教师某天高三年级 1 班和 2 班各有一节课，但他要求不能连排 2 节课（其中上午第 4 节和下午第 1 节不算连排），那么该教师这一天的课的所有可能的排法种数共有（ ） 第 2 页（共 22 页） A 16 B 15 C 32 D 30 8已知抛物线 C： x 的焦点为 F，准线为 l， P 是 l 上一点， Q 是直线 C 的一 个交点，若 =4 ，则 |（ ） A 3 B C D 9在正方体 ， E 是棱 中点， F 是侧面 的动点，且平面 平面 成角的正切值 t 构成的集合 是（ ） A t| B t| t 2 C t|2 D t|2 10已知函数 f（ x） = ， g（ x） = 4x+a2x+1+a2+a 1（ a R），若 f（ g（ x） e 对 x R 恒成立（ e 是自然对数的底数），则 a 的取值范围是（ ） A 1， 0 B（ 1， 0） C 2， 0 D ， 0 二、填空题：本题共 5 小题，每题 5 分，共 25 分。 11复数 z= （ i 为虚数单位）的虚部是 _ 12在二次项式（ x ） 6 的展开式中， 常数项的值是 _（用具体数字作答） 13下表给出的是某港口在某季节每天几个时刻的水深关系 时刻 0： 00 3： 00 6： 00 9： 00 12： 00 15： 00 18： 00 21： 00 24： 00 水深（ m） 该港口的水深 y（ m）和时刻 t（ 0 t 24）的关系可用函数 y=t） +h（其中 A 0， 0， h 0）来近似描述，则该港口在 11： 00 的水深为 _m 14若直线 ax+y a+1=0（ a R）与圆 x2+ 交于 A、 B 两点（其中 O 为坐标原点），则的最小值为 _ 15函数 f（ x）图象上不同两点 A（ B（ 的切线的斜率分别是 A、 B 两点间距离，定义 （ A， B） = 为曲线 f（ x）在点 A 与点 B 之间的 “曲率 ”，给出以下问题： 存在这样的函数，该函数图象上任意两点之间的 “曲率 ”为常 数； 第 3 页（共 22 页） 函数 f（ x） = 图象上两点 A 与 B 的横坐标分别为 1， 2，则点 A 与点 B 之间的 “曲率 ”（ A， B） ； 函数 f（ x） =b（ a 0， b R）图象上任意两点 A、 B 之间的 “曲率 ”（ A， B） 2a； 设 A（ B（ 曲线 f（ x） =不同两点，且 ，若 t（ A， B） 1 恒成立，则实数 t 的取值范围是（ ， 1） 其中正确命题的序号为 _（填上所有正确命题的序号） 三、简答题：本大 题共 6 小题，共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16设等比数列 前 n 项和为 知 ， （ ）求数列 通项公式； （ ）设 bn= 数列 前 n 项和，求使 +105 成立的 n 的值 17我国政府对 用如下标准 ： 均值 m（ g/ 空气质量等级 m 35 一级 35 m 75 二级 m 75 超标 某市环保局从 180 天的市区 测数据中，随机抽取 10 天的数据作为样本，检测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶） （ 1）求这 10 天数据的中位数； （ 2）从这 10 天的数据中任取 3 天的数据，记 表示空气质量达到一级的天数，求 的分布列； （ 3）以这 10 天的 均值来估计这 180 天的空气质量情况，其中大约有多少天的空气质量达到一级？ 18 ，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，已知 a= （ 1）求 C 的值； （ 2）若 D 是 的点，已知 ， a=2， b=3，求 值 19如图，在空间多面体 ，四边形 直角梯形， 正三角形， E=2 （ I）求证：平面 平面 （ ）求二面角 C A 的余弦值 第 4 页（共 22 页） 20已知椭圆 C： + =1（ a b 0）过点 P（ 1， ），其离心率为 （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）设椭圆 C 的右顶点为 A，直线 l 交 C 于两点 M、 N（异于点 A），若 D 在 ，且|=|证明直线 l 过定点 21已知函数 f（ x） =a（ x 1）（其中 a 0， e 是自然对数的底数） （ ）若关于 x 的方程 f（ x） = x+a 有唯一实根，求（ 1+值； （ ）若过原点作曲线 y=f（ x）的切线 l 与直线 y= 垂直，证明： a ； （ ）设 g（ x） =f（ x+1） + x 0 时， g（ x） 1 恒成立，求实数 a 的取值范围 第 5 页（共 22 页） 2016 年四川省泸州市高考数学三诊试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。 1设集合 M=x|x 6 0， N=x|x 1 0，则 MN=（ ） A（ 1， 2） B（ 1， 3） C（ 1， 2） D（ 1， 3） 【考点】 交集及其运算 【分析】 分别求出 M 与 N 中不等式的解集确定出 M 与 N，找出两集合的交集即可 【解答】 解：由 M 中不等式变形得：（ x 3）（ x+2） 0， 解得： 2 x 3，即 M=（ 2， 3）， 由 N 中不等式解得： x 1，即 N=（ 1， +）， 则 MN=（ 1， 3）， 故选： B 2若命题 p： R， 2 p 是（ ） A R， 2 R， 2 x R， x 2 x R， x 2 考点】 命题的否定 【分析】 直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可 【解答】 解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题 p： R， 2 p 是 R， 2 故选： A 3已知 ，则 ） A B C D 【考点】 同角三角函数基本关系的运用；二倍角的余弦 【分析】 已知等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简，原式利用平方差公式及同角三角函数间的基本关系化简，将得出关系式代入计算即可求出值 【解答】 解： ， =（ = ， 故选： C 4圆 x2+4x=0 的圆心到双曲线 的渐近线的距离为（ ） A 1 B 2 C D 2 【考点】 双曲线的简单性质 第 6 页（共 22 页） 【分析】 求得圆的圆心和半径，双曲线的渐近线方程，运用点到直线的距离公式，计算即可得到所求值 【解答】 解：圆 x2+4x=0 的圆心为（ 2， 0），半 径为 2， 双曲线 的渐近线方程为 y= x， 可得圆心到双曲线 的渐近线的距离为： d= =1 故选： A 5执行如图所示的程序框图，若输入的 x， y R，则输出 t 的最大值为（ ） A 1 B 3 C 2 D 0 【考点】 程序框图 【分析】 分析框图可知，本题是求可行域 内，目标函数 t= 最大值，画出可行域，求得取得最大值的点的坐标，得出最大值即可 【解答】 解：由程序框图知：本题是求可行域 内， t= 的最大值， 画出可行域如图： 第 7 页（共 22 页） 由于 t= 为经过可行域的一点与原点的直线的斜率，可得当直线经过 斜率最大， 由 ，解得， A（ 1， 3），此时， t= = =3 故选： B 6从一个棱长为 1 的正方体中切去一部分，得到一个几何体，某三视图如图，则该几何体的体积为（ ） A B C D 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由题意所给的几何体的三视图可得该几何体的形状如下图所示：该几何体是一棱长为 1 的正方体切去如图所示的一角 【解答】 解：由题意所给的几何体的三视图可得该几何体的形状如下图所示： 该几何体是一棱长为 1 的正方体切去如图所示的一角， 剩 余几何体的体积等于正方体的体积减去截取的直三棱锥的体积， V=1 = 故选： B 第 8 页（共 22 页） 7某学校一天共排 7 节课（其中上午 4 节、下午 3 节），某教师某天高三年级 1 班和 2 班各有一节课，但他要求不能连排 2 节课（其中上午第 4 节和下午第 1 节不算连排），那么该教师这一天的课的所有可能的排法种数 共有（ ） A 16 B 15 C 32 D 30 【考点】 计数原理的应用 【分析】 直接分类讨论得以解决 【解答】 解：该教师一个班上第 1 节课，则另一个班有 5 种情况，考虑顺序，有 10 种方法； 一个班上第 2 节课，则另一个班有 4 种情况，考虑顺序，有 8 种方法； 一个班上第 3 节课，则另一个班有 3 种情况，考虑顺序，有 6 种方法； 一个班上第 4 节课，则另一个班有 3 种情况，考虑顺序，有 6 种方法； 一个班上第 5 节课，则另一个班有 7 种情况，考虑顺序，有 2 种方法； 共有 10+8+6+6+2=32 种方法 故选： C 8 已知抛物线 C： x 的焦点为 F，准线为 l， P 是 l 上一点， Q 是直线 C 的一个交点，若 =4 ，则 |（ ） A 3 B C D 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 如图所示，由抛物线 C： x，可得焦点为 F，准线 l 方程，准线 l 与 x 轴相交于点 M， |4经过点 N l，垂足为 |由 得 = ，即可得出 【解答】 解：如图所示， 由抛物线 C： x，可得焦点为 F（ 2， 0），准线 l 方程为： x= 2， 准线 l 与 x 轴相交于点 M， |4 经过点 Q 作 l，垂足为 N 则 | = = ， |3=| 故选： A 第 9 页（共 22 页） 9在正方体 ， E 是棱 中点， F 是侧面 的动点，且平面 平面 成角的正切值 t 构成的集合是（ ） A t| B t| t 2 C t|2 D t|2 【考点】 直线与平面所成的角 【分析】 设平面 直线 于点 G，连接 G 为 中点分别取中点 M、 N，连接 证出平面 平面 而得到 平面 的直线由此将点 F 在线段 运动并加以观察，即可得到 成角取最大值、最小值的位置，由此不难得到 平面 成角的正切取值范围 【解答】 解：设平面 直线 于点 G，连接 G 为 中点 分别取 中点 M、 N，连接 面 平面 平面 理可得 平面 平面 的相交直线 平面 平面 由此 结合 平面 得直线 平面 点 F 是线段 上的动点 设直线 平面 成角为 运动点 F 并加以观察，可得 当 F 与 M（或 N）重合时， 平面 成角等于 时所成角 达到最小值，满足 =2； 第 10 页（共 22 页） 当 F 与 点重合时， 平面 成角达到最大值，满足 =2 平面 成角的正切取值范围为 2， 2 故选： D 10已知函数 f（ x） = ， g（ x） = 4x+a2x+1+a2+a 1（ a R），若 f（ g（ x） e 对 x R 恒成立（ e 是自然对数的底数），则 a 的取值范围是（ ） A 1， 0 B（ 1， 0） C 2， 0 D ， 0 【考点】 分段函数的应用 【分析】 求得 f（ x）的值域，讨论当 x 0 时，当 x 0 时，求出导数，判断单调性可得范围，令 t=g（ x），则 f（ t） e，即有 t 0，则 e，解得 t 1，即 4x+a2x+1+a2+a1 1，由指数函数的值域和二次函数的最值的求法，解不等式即可得到所求范围 【解答】 解：当 x 0 时， f（ x） = 0， f（ x）的导数为 f（ x） = 0， 即 f（ x）递减，则 f（ x） 0； 当 x 0 时， f（ x） = 的导数为 ， 当 x e 时， f（ x）递减；当 0 x e 时， f（ x）递增 则 x=e 处取得极大值，且为最大值 ， 即有 f（ x） 令 t=g（ x），则 f（ t） e， 即有 t 0，则 e， 第 11 页（共 22 页） 即 +t 0，由 y=+t 在 t 0 递增， 且 t= 1 时， y=0，可得 t 1 可得 g（ x） 1 恒成立， 即有 4x+a2x+1+a2+a 1 1，即有 4x+a2x+1+a2+a 0， 当 a 0 时， y=（ 2x a） 2+2a2+a 0， 由 2x 0，可得 2x=a 时，取得最大值 2a2+a， 可得 2a2+a 0 不成立； 当 a 0 时， y=（ 2x a） 2+2a2+a 0， 由 2x 0， a 0， y a2+a， 可得 a2+a 0， 解得 1 a 0 综上可得 a 的范围是 1， 0 故选： A 二、填空题：本题共 5 小题，每题 5 分，共 25 分。 11复数 z= （ i 为虚数单位）的虚部是 1 【考点】 复数的基本概念 【分析】 首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理成最简形式，得到复数的标准形式，得到虚部 【解答】 解： 复数 z= = 复数 z 的虚部是 1， 故答案为： 1 12在二次项式（ x ） 6 的展开式中，常数项的值是 160 （用具体数字作答） 【考点】 二项式系数的性质 【分析】 写出二项展开式的通项，由 x 的指数为 0 求得 r 值，则常数项可求 【解答】 解：由 = ， 令 6 2r=0，得 r=3， 第 12 页（共 22 页） 二项项式（ x ） 6 的展开式中的常数项的值为 故答案为： 160 13下表给出的是某港口在某季节每天几个时刻的水深关系 时刻 0： 00 3： 00 6： 00 9： 00 12： 00 15： 00 18： 00 21： 00 24： 00 水深（ m） 该港口的水深 y（ m）和时刻 t（ 0 t 24）的关系可用函数 y=t） +h（其中 A 0， 0， h 0）来近似描述，则该港口在 11： 00 的水深为 4 m 【考点】 在实际问题中建立三角函数模型 【分析】 利用已知数据，确定合适的周期、振幅等，即可得出函数解析式，从而能求出该港口在 11： 00 的水深 【解答】 解：由题意得函数 y=t） +h（其中 A 0， 0， h 0）的周期为 T=12， ，解得 A=2， h=5， = = ， y=25， 该港口在 11： 00 的水深为 y=25=4（ m） 故答案为： 4 14若直线 ax+y a+1=0（ a R）与圆 x2+ 交于 A、 B 两点（其中 O 为坐标原点），则的最小值为 4 【考点】 直线与圆相交的性质 【分析】 易得直线恒过定点 C（ 1， 1），圆 x2+ 圆心为（ 0， 0）半径为 2， =4 2 2 ， ，可得当 ，式子取最小值，数形结合联立方程组解点的坐标可得 【解答】 解：直线 ax+y a+1=0 可化为 y+1= a（ x 1）， 恒过定点 C（ 1， 1），圆 x2+ 圆心为（ 0， 0）半径为 2， = = （ ） = =4 2 2 ， ， 当 ， ， 最小， ， 取最大值， 此时 =4 4， 取最小值， 此时 斜率为 1，由垂直关系可得 a=1，解得 a= 1， 故此时直线方程为 y+1=x 1，即 y=x 2， 联立 可解得 或 ， ， 取最小值 ， ， 取最大值 0， 此时 =4 4， 取最小值 4， 第 13 页（共 22 页） 故答案为： 4 15函数 f（ x）图象上不同两点 A（ B（ 的切线的斜率分别是 A、 B 两点间距离，定义 （ A， B） = 为曲线 f（ x）在点 A 与点 B 之间的 “曲率 ”，给出以下问题： 存在这样的函数，该函数图象上任意两点之间的 “曲率 ”为常数； 函数 f（ x） = 图象上两点 A 与 B 的横坐标分别为 1， 2，则点 A 与点 B 之间的 “曲率 ”（ A， B） ； 函数 f（ x） =b（ a 0， b R）图象上任意两点 A、 B 之间的 “曲率 ”（ A， B） 2a； 设 A（ B（ 曲线 f（ x） =不同两点，且 ，若 t（ A， B） 1 恒成立，则实数 t 的取值范围是（ ， 1） 其中正确命题的序号为 （填上所有正确命题的序号） 【考点】 命题的真假判断与应用；利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 考虑一次函数，求出导数，可得 （ A， B） =0，即可判断 ；求出 A， B 的坐标，求得 （ A， B），即可判断 ；求出 f（ x）的导数，运用不等式的性质，可得 （ A， B） 2a，即可判断 ；求出函数的导数，运用新定义求得 （ A， B），由恒成立思想，即可得到 t 的范围，即可判断 【解答】 解：对于 ，当函数 f（ x） =kx+b（ k 0）时， f（ x） =k， （ A， B） = = =0，故 正确； 对于 ，由题意可得 A（ 1， 1）， B（ 2， 5）， f（ x）的导数为 f（ x） =32x， 可得 （ A， B） = = = ，故 不正确； 对于 ，函数 f（ x） =b 的导数为 f（ x） =2 即有 （ A， B） = = = 2a， 故 正确； 对于 ，由 y= y（ x） = 由 A（ B（ 曲线 y=两点，且 ， 可得 （ A， B） = = ， 由 t（ A， B） 1 恒成立，可得 t ， 由 1，可得 t 1，故 不正确 第 14 页（共 22 页） 故答案为： 三、简答 题：本大题共 6 小题，共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16设等比数列 前 n 项和为 知 ， （ ）求数列 通项公式； （ ）设 bn= 数列 前 n 项和，求使 +105 成立的 n 的值 【考点】 数列的求和 【分析】 （ ）讨论 q=1 和 q 1 的情况，分别应用等比数列的通项公式和求和公式，解方程即可得到公比和首项，进而得到通项公式（ 2）分类讨论 q 的取值，利用对数的性质求再进行化简，求得 后求得 n 的值 【解答】 解：（ ）当 q=1 时， ， 成立； 当 q 1 时， ， ，由 ， 解得 ， ，则 综上可知： 或 （ ）当 时， 则 n； 2n= +105 则 n=70 当 = = =2n， ， 整理得： n2+n 210=0； 解得 n=10 综上可知 n=10 或 n=70 17我国政府对 用如下标准： 均值 m（ g/ 空气质量等级 m 35 一级 35 m 75 二级 m 75 超标 第 15 页（共 22 页） 某市环保局从 180 天的市区 测数据中，随机抽取 10 天的数据作为样本，检测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶） （ 1）求这 10 天数据的中位数； （ 2）从这 10 天的数据中任取 3 天的数据，记 表示空气质量达到一级的天数，求 的分布列； （ 3）以这 10 天的 均值来估计这 180 天的空气质量情况，其中大约有多少天的空气质量达到一级？ 【考点】 茎叶图；离散型随机变量及其分布列 【分析】 （ 1）利用茎 叶图和中位数的定义求解 （ 2）由 N=10， M=4， n=3， 的可能值为 0， 1， 2， 3，利用 P（ =K） = （ k=0，1， 2， 3），能求出分布列 （ 3）一年中每天空气质量达到一级的概率为 ，由 B，能求出一年中空气质量达到一级的天数为 72 天 【解答】 解：（ 1）由茎叶图知： 10 天的中位数为 （ 38+44） 2=41（微克 /立方米） （ 2）由 N=10， M=4， n=3， 的可能值为 0， 1， 2， 3 利用 P（ =K） = （ k=0， 1， 2， 3）即得分布列： 0 1 2 3 P （ 3）一年中每天空气质量达到一级的概率为 ， 由 B， 得到 80 =72（天）， 一年中空气质量达到一级的天数为 72 天 18 ，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，已知 a= （ 1）求 C 的值； （ 2）若 D 是 的点，已知 ， a=2， b=3，求 值 第 16 页（共 22 页） 【考点】 正弦定理；余弦定理 【分析】 （ 1）利用正弦定理将边化角，令 B+C），展开化简即可得出 （ 2）使用余弦定理求出 c，得出 B） 【解答】 解：（ 1） a= 即 B+C） = C= （ 2）在 由余弦定理得 c2=a2+2+9 12， c= 由余弦定理得 = = = ， = B） = 19如图，在空间多面体 ，四边形 直角梯形， 正三角形， E=2 （ I）求证：平面 平面 （ ）求二面角 C A 的余弦值 第 17 页（共 22 页） 【考点】 二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定 【分析】 （ I）根据面面垂直的判定定理即可证明平面 平面 （ ）建立空间坐标系，利用向量法求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可求二面角C A 的余弦值 【解答】 证明：（ I） E=2 设 E=2，则 ， 则 ， +4=8=（ 2 ） 2= 直角三角形， 则 E=D， 平面 面 平面 平面 （ ）建立以 D 为坐标原点， 别为 x， y 轴，过 D 作垂直平面 直线为 如图： 则 D（ 0， 0， 0）， C（ 2， 0， 0）， E（ 0， 2， 0）， A（ 0， 1， ）， B（ 1， 1， ）， 则平面 法向量为 =（ x， y， z）， =（ 1， 1， ）， =（ 2， 2， 0）， 则 ，得 ，即 ， 则平面 法向量为 =（ 1， 1， 0）， 设平面 法向量为 =（ x， y， z）， 则 =（ 1， 0， 0）， 则 得 ， 令 z=1，则 y= ， x=0，即 =（ 0， ， 1）， 则 ， = = = 即二面角 C A 的余弦值是 = 第 18 页（共 22 页） 20已知椭圆 C： + =1（ a b 0）过点 P（ 1， ），其离心率为 （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）设椭圆 C 的右顶 点为 A，直线 l 交 C 于两点 M、 N（异于点 A），若 D 在 ，且|=|证明直线 l 过定点 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ ）运用椭圆的离心率公式和点 P 满足椭圆方程，以及 a， b， c 的关系，解方程可得 a， b，进而得到椭圆方程； （ ）运用三角形的相似的判定和性质定理，可得 0，联立方程组 ，设 M（ N（ A（ 2， 0），可得（ 3+412=0，由两直线垂直的条件： 斜率之积为 1，得到， 76， 7m= 2k， m= 2k，代入求解即可得出定点 【解答】 解：（ ）由题意可得 e= = ， 又 b2= 且 + =1， 解得 a=2， c=1， b= ， 可得椭圆的方程为 + =1； （ ）证明：由 |=| 可得 即有 0， 由 ， M（ N（ A（ 2， 0）， 可得（ 3+412=0， x1+ ， ， =（ 82 4（ 3+4 412） 0， 第 19 页（共 22 页） 即 43， 由 得 = 1， 即为（ 2）（ 2） +（ m）（ m） =0， 即（ ） 2）（ x1+=0， 即有（ ） +（ 2）（ ） +=0， 化简可得 76， m= k 或 m= 2k，满足判别式大于 0， 当 m= k 时， y=kx+m=k（ x ）（ k 0）， 直线 l 过定点（ ， 0）； 当 m= 2k 时， y=2k=k（ x 2），直线 l 过定点（ 2， 0） 由右顶点为 A（ 2， 0），则直线 l 过定点（ 2， 0）不符合题意， 当直线的斜率不存在时，也成立 根据以上可得：直线 l 过定点，且为（ ， 0） 21已知函数 f（ x） =a（ x 1）（其中 a 0， e 是自然对数的底数） （ ）若关于 x 的方程