2016年陕西省高考数学全真模拟试卷（理科）含答案解析

第 1 页（共 21 页） 2016 年陕西省高考数学全真模拟试卷（理科） 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1已知全集 U=R，集合 A=x| 2 x 0， B=x|2x 1 ，则 AB=（ ） A（ ， 2） （ 1， +） B（ ， 2） 1， +） C 2， 1）D（ 2， +） 2定义： =复数 z 满 足 = 1 i，则 z 等于（ ） A 1+i B 1 i C i D 3 i 3等差数列 ， a4+ 2，则 a6+值为（ ） A 4 B 8 C 4 D 8 4在 1， 2， 3， 4 四个数中随机地抽取一个数记为 a，再在剩余的三个数中随机地抽取一个数记为 b，则 “ 不是整数 ”的概率为（ ） A B C D 5设命题 p： =（ m， m+1）， =（ 2， m+1），且 ；命题 q：关于 x 的函数 y=（ m 1）a 0 且 a 1）是对数函数，则命题 p 成立是命题 q 成立的（ ） A充分不必要条件 B必要不重充分条件 C充要条件 D既不充分也不不要条件 6执行如图所示的程序框图，若输出的 S 等于 ，则输入的 N 为（ ） A 8 B 9 C 10 D 7 7已知抛物线 p 0）的焦点为 F，准线为 l， A， B 是抛物线上过 F 的两个端点，设线段 中点 M 在 l 上的摄影为 N，则 的值是（ ） A B 1 C D 2 8在 ， =5， =3， D 是 中垂线上任意一点，则 的值是（ ） A 16 B 8 C 4 D 2 第 2 页（共 21 页） 9已知 别是双曲线 =1（ a 0）的左、右焦点， P 为双曲线上的一点，若 0，则 面积是（ ） A B 4 C 2 D 10已知正四面体的棱长 ，则其外接球的表面积为（ ） A 8 B 12 C D 3 11已知函数 f（ x） = ，若函数 g（ x） =f（ x） 且只有一个零点，则实数 m 的取值范围是（ ） A 1， 4 B（ ， 0 C（ ， 4 D（ ， 0 1， 4 12把曲线 C： y= x） x+ ）上所有点向右平移 a（ a 0）个单位，得到曲线 C，且曲线 C关于点（ 0， 0）中心对称，当 x ， （ b 为正整数）时，过曲线 C上任意两点的直线的斜率恒小于零，则 b 的值为（ ） A 1 B 2 C 3 D 1 或 2 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13（ x ） n 的展开式中只有第 5 项的二项式系数最大，则它的展开式中常数项是 _ 14某师傅用铁皮制作一封闭的工件，其直观图的三视图如图示（单位长度： 中水平线与竖线垂直），则制作该工件用去的铁皮的面积为 _制作过程铁皮的损耗和厚度忽略不计） 15若实数 x， y 满足 ，则 的最大 值是 _ 16已知数列 ， ，若 =2n+1（ n N*），则数列 通项公式 _ 第 3 页（共 21 页） 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17已知 ，函数 的图象过点 （ 1）求 t 的值以及函数 f（ x）的最小正周期和单调增区间； （ 2）在 ，角 A， B， C 的对边分别是 a， b， c若 ，求 f（ A）的取值范围 18如图，四棱锥 P ，侧面 正三角形，底面 边长为 2 的菱形， 20，且侧面 底面垂直， M 为 中点 （ 1）求证： 平面 （ 2）求二面角 D B 的余弦值 19 指大气中直径小于或等于 米的颗粒物，也称 为可入肺颗粒物我国 均值在 35 微克 /立方米以下空气质量为 1 级；在 35 微克 /立方米 75 微克 /立方米之间空气质量为二级；在 75 微克 /立方米及其以上空气质量为超标 某试点城市环保局从该市区 2015 年全年每天的 测数据中随机抽取 6 天的数据最为样本，检测值茎叶图如图（十位为茎，个位为叶），若从这 6 天的数据中随机抽出 3 天 （ ）求至多有 2 天空气质量超标的概率； （ ）若用随机变量 X 表示抽出的 3 天中空气质量为一级或二级的天数，求 X 的分布和数学期望 第 4 页（共 21 页） 20过椭圆 C： + =1（ a b 0）的右焦点 直线交椭圆于 A， B 两点， 其左焦点，已知 周长为 4 ，椭圆的离心率为 （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）设 P 为椭圆 C 的下顶点，椭圆 C 与直线 y=kx+m 相交于不同的两点 M， N，当 |，求实数 m 的取值范围 21已知函数 f（ x） =3x+2） ）求 f（ x）的极值； （ ）若对任意 x 1， 2，不等式 |a ln|f（ x） +3x| 0 恒成立，求实数 a 的取值范围 请考生在 22、 23、 24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 选修 4何证明选讲 22如图，在 ， C=90， 分 点 E，点 D 在 ， （ 1）证明：直线 外接圆相切； （ 2）求 长 选修 4标系与参数方程 23已知曲线 参数方程是 （ 为参数），以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立平面直角坐标系，曲线 极坐标方程是 = 4 （ 1）求曲线 点的直角坐标； （ 2） A、 B 两点分别在曲线 ，当 |大时，求 面积 选修 4等式选讲 24已知函数 f（ x） =|x|， g（ x） = |x 4|+m （ ）解关于 x 的不等式 gf（ x） +2 m 0； （ ）若函数 f（ x）的图象恒在函数 g（ x）图象的上方，求实数 m 的取值范围 第 5 页（共 21 页） 2016 年陕西省高考数学全真模拟试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1已知全集 U=R，集合 A=x| 2 x 0， B=x|2x 1 ，则 AB=（ ） A（ ， 2） （ 1， +） B（ ， 2） 1， +） C 2， 1）D（ 2， +） 【考点】 交集及其运算 【分析】 求出 B 中不等式的解集确定出 B，找出 A 与 B 的交集即可 【解答】 解：由 B 中不等式变形得： 2x 1 =2 2，得到 x 1 2， 解得： x 1，即 B=（ ， 1）， A= 2， 0）， AB= 2， 1）， 故选： C 2定义： =复数 z 满足 = 1 i，则 z 等于（ ） A 1+i B 1 i C i D 3 i 【考点】 复数的代数表示法及其几何意义 【分析】 利用新定义直接化简 = 1 i，则 ，求出复数 z，它的分子、分母同乘分母的共轭复数，进行化简可得答案 【解答】 解：根据定义 = i= 1 i， 则 ， 故选： C 3等差数列 ， a4+ 2，则 a6+值为（ ） A 4 B 8 C 4 D 8 【考点】 等差数列的通项公式 【分析】 由等差数列性质得 a4+ 2，解得 1，由此能求出结果 【解答】 解： 等差数列 ， a4+ 2， a4+ 2，解得 1， a6+=4 故选： A 第 6 页（共 21 页） 4 在 1， 2， 3， 4 四个数中随机地抽取一个数记为 a，再在剩余的三个数中随机地抽取一个数记为 b，则 “ 不是整数 ”的概率为（ ） A B C D 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【分析】 先求出基本事件总数，再求出 “ 不是整数 ”包含的基本事件个数，由此能求出 “ 不是整数 ”的概率 【解答】 解： 在 1， 2， 3， 4 四个数中随机地抽取一个数记为 a， 再在剩余的三个数中随机地抽取一个数记为 b， 基本事件总数 n=4 3=12， “ 不是整数 ”包含的基本事件有 ， ， ， ， ， ， ， ，共 8 个， “ 不是整数 ”的概率 p= = 故选： C 5设命题 p： =（ m， m+1）， =（ 2， m+1），且 ；命题 q：关于 x 的函数 y=（ m 1）a 0 且 a 1）是对数函数，则命题 p 成立是命题 q 成立的（ ） A充分不必要条件 B必要不重充分条件 C充要条件 D既不充分也不不要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 命题 p： =（ m， m+1）， =（ 2， m+1），且 ，利用向量共线定理即可得出 题 q：关于 x 的函数 y=（ m 1） a 0 且 a 1）是对数函数，可得 m 1=1，x 0，解得 m即可判断出结论 【 解答】 解： 命题 p： =（ m， m+1）， =（ 2， m+1），且 ， 2（ m+1） m（ m+1）=0，和化为（ m+1）（ m 2） =0，解得 m= 1 或 2； 命题 q：关于 x 的函数 y=（ m 1） a 0 且 a 1）是对数函数， m 1=1， x 0，解得 m=2 则命题 p 成立是命题 q 成立的必 要不充分条件 故选： B 6执行如图所示的程序框图，若输出的 S 等于 ，则输入的 N 为（ ） 第 7 页（共 21 页） A 8 B 9 C 10 D 7 【考点】 程序框图 【分析】 模拟执行程序，可得当 k=8 时， S= + + + = ，由题意，此时应该不满足条件 k N，退出循环，输出 S 的值为 ，从而可得输入的 N 为为 8 【解答】 解：由题意，模拟执行程序，可得 k=1， S=0 S= ， 满足条件 k N， k=2， S= + ， 满足条件 k N， k=3， S= + + ， 满足条件 k N， k=8， S= + + + =（ 1 ） +（ ） +（ ）=1 = ， 由题意，此时应该不满足条件 k N，退出循环，输出 S 的值为 ，故输入的 N 为为 8 故选： A 7已知抛物线 p 0）的焦点为 F，准线为 l， A， B 是抛物线上过 F 的两个端点，设线段 中点 M 在 l 上的摄影为 N，则 的值是（ ） A B 1 C D 2 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 根据抛物线的性质和梯形的中位线定理可得出 | （ | = | 【解答】 解：过 A 作 l 于 P，过 B 作 l 于 Q， 则 | | M 为 中点， | （ | = （ | = | = 故选： A 第 8 页（共 21 页） 8在 ， =5， =3， D 是 中垂线上任意一点，则 的值是（ ） A 16 B 8 C 4 D 2 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 设 点为 M，利用 表 示出 ， ，代入数量积公式计算 【解答】 解：设 点为 M，则 =（ ） = = （ ） （ ） = （ ） = （ 25 9） =8 故选： B 9已知 别是双曲线 =1（ a 0）的左、右焦点， P 为双曲线上的一点，若 0，则 面积是（ ） A B 4 C 2 D 【考点】 双曲线的简单性质 第 9 页（共 21 页） 【分析】 由题意可得 ， 0）， ， 0），由余弦定理可得 6，由 S= 即可求得 面积 【解答】 解：由题意可得 ， 0）， ， 0）， 在 ，由余弦定理可得 6+42=（ 2+ 即有 6 可得 S = 16 =4 故选： B 10已知正四面体的棱长 ，则其外接球的表面积为（ ） A 8 B 12 C D 3 【考点】 球的体积和表面积 【分析】 将正四面体补成一个正方体，正四面体的外接球的直径为正方体的对角线长，即可得出结论 【解答 】 解：将正四面体补成一个正方体，则正方体的棱长为 1，正方体的对角线长为 ， 正四面体的外接球的直径为正方体的对角线长， 正四面体的外接球的半径为 外接球的表面积的值为 4 =3 故选： D 11已知函数 f（ x） = ，若函数 g（ x） =f（ x） 且只有一个零点，则实数 m 的取值范围是（ ） A 1， 4 B（ ， 0 C（ ， 4 D（ ， 0 1， 4 【考点】 分段函数的应用 【分析】 若函数 g（ x） =f（ x） 且只有一个零点，则函数 f（ x）与函数 y=图象只有一个交点，数形结合可得答案 【解答】 解：若函数 g（ x） =f（ x） 且只有一个零点， 则函数 f（ x）与函数 y=图象只有一个交点， 在同在坐标系中画出两个函数的图象如下图所示： 第 10 页（共 21 页） f（ x） = ， 故当 m （ ， 0 1， 4时，两个函数图象有且只有一个交点， 即函数 g（ x） =f（ x） 且只有一个零点， 故选： D 12把曲线 C： y= x） x+ ）上所有点向右平移 a（ a 0）个单位，得到曲线 C，且曲线 C关于点（ 0， 0）中心对称，当 x ， （ b 为正整数）时，过曲线 C上任意两点的直线的斜率恒小于零，则 b 的值为（ ） A 1 B 2 C 3 D 1 或 2 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 运用二倍角的正弦公式和诱导公式，可得 y= 由平移和中心对称可得 y= 得函数的导数，由有余弦函数的图象可得减区间，再由 b 为整数，即可得到b=1 或 2 【解答】 解： y= x） x+ ） =x+ ） x+ ） = 2x+ ） = 由题意可得曲线 C： y= 2x 2a）， 曲线 C关于点（ 0， 0）中心对称，可得 2a=， k N， 即有 y= 由 y= 导数为 y= 第 11 页（共 21 页） 由 0，可得 2x 2， 2 当 x ， （ b 为正整数）， 过曲线 C上任意两点的直线的斜率恒小于零， 即有 y 0 恒成立，可得 ， ， ， 即有 b=1 或 2； 由 y= 导数为 y= 由 0，可得 2x 2， 2 当 x ， （ b 为正整数）， 过曲线 C上任意两点的直线的斜率恒小于零， 即有 y 0 恒成立， 则 ， 2， 2不恒成立 综上可得 b=1 或 2 故选： D 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13（ x ） n 的展开式中只有第 5 项的二项式系数最大，则它的展开式中常数项是 1120 【考点】 二项式系数的性质 【分析】 由题意求得 n=8，在二项式展开式的通项公式中，再令 x 的幂指数等于 0，求得 可求得展开式中的常数项的值 【解答】 解：（ x ） n 的展开式中只有第 5 项的二项式系数最大，故 n 为偶数， 展开式共有 9 项，故 n=8 （ x ） n 即（ x ） 8，它的展开式的通项公式为 = = （ 2）r2r， 令 8 2r=0，求得 r=4，则展开式中的常数项是 （ 2） 4=1120 故答案为： 1120 14某师傅用铁皮制作一封闭的工件，其直观图的三视图如图示（单位长度： 中水平线与竖线垂直），则制作该工件用去的铁皮的面积为 制作过程铁皮的损耗和厚度忽略不计） 第 12 页（共 21 页） 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 本题以实际应用题为背景考查立体几何中的三视图由三视图可知，该几何体的形状如图，它是底面为正方形， 各个侧面均为直角三角形 的四棱锥，用去的铁皮的面积即该棱锥的表面积 【解答】 解：由三视图可知，该几何体的形状如图，它是底面为正方形，各个侧面均为直角三角形的四棱锥，用去的铁皮的面积即该棱锥的表面积，其底面边长为 10，故底面面积为10 10=100 与底面垂直的两个侧面是全等的直角，两直角连年长度分别为 10， 20，故它们的 面积皆为100 另两个侧面也是全等的直角三角形，两直角边中一边是底面正方形的边长 10，另一边可在与底面垂直的直角三角形中求得，其长为 =10 ，故此两侧面的面积皆为 50故此四棱锥的表面积为 故答案为： 15若实数 x， y 满足 ，则 的最大值是 2 【考点】 简单线性规划 【分析】 画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合 的几何意义求出其最大值即可 【解答】 解：画出满足条件的平面区域，如图示： 第 13 页（共 21 页） ， 由 ，解得 A（ 1， 2）， 而 的几何意义表示平面区域内的点到原点 0 的斜率， 显然 斜率最大， 故 的最大值是 2， 故答案为： 2 16已知数列 ， ，若 =2n+1（ n N*），则数列 通项公式 an=n2n 【考点】 数列递推式 【分析】 =2n+1（ n 1），变形为 =1，利用等差数列的通项公式即可得出 【解答】 解： =2n+1（ n 1）， =1， 数列 是等差数列，首项为 1，公差为 1 =1+（ n 1） =n， an=n2n 故答案为： n2n 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 第 14 页（共 21 页） 17已知 ，函数 的图象过点 （ 1）求 t 的值以及函数 f（ x）的最小正周期和单调增区间； （ 2）在 ，角 A， B， C 的对边分别是 a， b， c若 ，求 f（ A）的取值范围 【考点】 三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算 【分析】 （ 1）由向量和三角函数公式可得 f（ x） =2x ），由周期公式可得周期，解可得单调增区间； （ 2）由题意和正弦定理以及三角函数公式可得 ，进而可得 A 的范围，由三角函数值域可得 【解答】 解：（ 1）由题意可得， 点 在函数 f（ x）的图象上， ， 解得 ， f（ x） =2x ）， ， 解 可得 x ， 函数 f（ x）的单调增区间 为 ； （ 2） ， 由正弦定理可得 B+C） =2 A （ 0， ）， 0， B （ 0， ）， ， ， ， ， ， f（ A）的取值范围是 第 15 页（共 21 页） 18如图，四棱锥 P ，侧面 正三角形，底面 边长为 2 的菱形， 20，且侧面 底面垂直， M 为 中点 （ 1）求证： 平面 （ 2）求二面角 D B 的余弦值 【考点】 二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定 【分析】 （ 1）建立空间直角坐标系，根据线面垂直的性质定理即可证明 （ 2）利用向量法求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可 【解答】 证明（ 1）由底面 边长为 2 的菱形， 20，且侧面 底面垂直， ， ，则 建立以 O 为坐标原点， 别为 x， y， z 轴的空间直角坐标系如图： 则 A（ 3， 0， 0）， P（ 0， 0， 3）， D（ 0， ， 0）， B（ 3， 2 ， 0）， C（ 0， ， 0）， M 为 中点 M（ ， ， ）， =（ ， 2 ， ）， =（ 3， 0， 3）， =（ 0， 2 ， 0）， 则 = 3+2 0 3=0， =0， 则 M=D， 平面 （ 2） =（ ， 0， ）， =（ 3， ， 0）， 设平面 法向量为 =（ x， y， z）， 则由 =0， =0，得 ， 令 x=1，则 y= ， z= 1，则 =（ 1， ， 1）， 同理可得平 面 法向量为 = =（ 3， 0， 3）， 则 ， = = = ， 即二面角 D B 的余弦值是 第 16 页（共 21 页） 19 指大气中直径小于或等于 米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物我国 均值在 35 微克 /立方米以下空气质量为 1 级；在 35 微克 /立方米 75 微克 /立方米之间空气质量为二级；在 75 微克 /立方米及其以上空气质量为超标 某试点城市环保局从该市区 2015 年全年每天的 测数据中随机抽取 6 天的数据最为样本，检测值茎叶图如图（十位为茎，个位为叶），若 从这 6 天的数据中随机抽出 3 天 （ ）求至多有 2 天空气质量超标的概率； （ ）若用随机变量 X 表示抽出的 3 天中空气质量为一级或二级的天数，求 X 的分布和数学期望 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列 【分析】 （ ）至多有 2 天空气质量超标的对立事件是 3 天空气质量都超标，由此利用对立事件概率计算公式能求出至多有 2 天空气质量超标的概率 （ ）由题意知 X 的可能取值为 1， 2， 3，分别求出相应的概率 ，由此能求出 X 的分布列和 【解答】 解：（ ）设 “至多有 2 天空气质量超标 ”为事件 A， “3 天空气质量都超标 ”为事件 B， 则 P（ B） =0， 至多有 2 天空气质量超标的概率 P（ A） =1 P（ B） =1 （ ）由题意知 X 的可能取值为 1， 2， 3， P（ X=1） = = ， 第 17 页（共 21 页） P（ X=2） = = ， P（ X=3） = = ， X 的分布列为： X 1 2 3 P =2 20过椭圆 C： + =1（ a b 0）的右焦点 直线交椭圆于 A， B 两点， 其左焦点，已知 周长为 4 ，椭圆的离心率为 （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）设 P 为椭圆 C 的下顶点，椭圆 C 与直线 y=kx+m 相交于不同的两点 M， N，当 |，求实数 m 的取值范围 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ 1）利用 周长为 4 ，椭圆的离心率为 ，确定几何量，从而可得椭圆的方程； （ 2）设 A 为弦 中点，直线与椭圆方程联立得（ 3） （ 1） =0，由于直线与椭圆有两个交点，可得 3， |可得 此可推导出m 的取值范围 【解答】 解：（ 1） 周长为 4 ，椭圆的离心率为 ， a= ， c= b=1， 椭圆的方程为： =1； （ 2）设 A（ M（ N（ A 为弦 中点， 直线 y=kx+m 与椭圆方程联立，消去 y 可得（ 3） （ 1） =0， 直线与椭圆相交， =（ 62 12（ 3）（ 1） 0， 3， 由韦达定理， 可得 A（ ， ） | 第 18 页（共 21 页） 2m=3 把 代入 得 2m 得 0 m 2 2m=3 1， m m 2 当 k=0 时， m= ，也成立 综上可得 m 的范围是 ， 2） 21已知函数 f（ x） =3x+2） ）求 f（ x）的极值； （ ）若对任意 x 1， 2，不等式 |a ln|f（ x） +3x| 0 恒成立，求实数 a 的取值范围 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值 【分析】 （ ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极大值即可； （ ）问题转化为 a a 成立 ，设 h（ x） =ln= g（ x） =根据函数的单调性求出 a 的范围即可 【解答】 解：（ ） 函数的定义域是（ ， +）， f（ x） = ， 令 f（ x） 0，解得： x ，令 f（ x） 0，解得： x ， f（ x）在（ ， ）递增，在（ ， +）递减， f（ x） 极大值 =f（ ） =； （ ）对任意 x 1， 2，不等式 |a ln|f（ x） +3x| 0 恒成立， a a 成立 ， 设 h（ x） = g（ x） = 由题意得： a h（ x）或 a g（ x）在 x 1， 2恒成立， a h（ x） a g（ x） h（ x） = 0， g（ x） = 0， 第 19 页（共 21 页） h（ x）， g（ x）在 1， 2递增，要使不等式 恒成立， 当且仅当 a h（ 2）或 a g（ 1）， 即 a a 请考生在 22、 23、 24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 选修 4何证明选讲 22如图，在 ， C=90， 分 点 E，点 D 在 ， （ 1）证明：直线 外接圆相切； （ 2）求 长 【考点】 与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明 【分析】 （ 1）取 中点为 O，连接 角平分线的定义和两直线平行的判定和性质，结合圆的切线的定义，即可得证； （ 2）设 外接圆的半径为 r，运用直角三角形的勾股定理，和直角三角形的性质，即可得到所求 长 【解