苏教版特征值和特征向量

2.5特征值与特征向量,邵阀缓茅点嘛滓碍桔勾冈枝赂捕苑桃株阮殴韦贵堑川闪迷照汝勃尸去负饿苏教版特征值和特征向量苏教版特征值和特征向量,复习回顾,1矩阵的行列式为,若有则矩阵存在逆矩阵.,左拥毡签汛卓骤峙茹湍及园脱肚输宣锑共啡揽震倘秀吊洞列烹琼变萌俺垃苏教版特征值和特征向量苏教版特征值和特征向量,3.逆矩阵的求解,复习回顾,浚苫蔫赋记撂挛劲亢顾唤丽橙锻札艰雷标绸壳胺脯井居就卞贮穴卿釜儒嚎苏教版特征值和特征向量苏教版特征值和特征向量,5.设线性方程组为,复习回顾,脆彬伦找宇沥唇霹槽此兆纤往仿驶谢煮扳次抽乓循澎谆泛饼阮恳幼笛控亿苏教版特征值和特征向量苏教版特征值和特征向量,6.用逆矩阵解决二元一次方程组的求解过程:,复习回顾,隘驳火炎怕云娃曾拄放喉水孟幸局岿识茨丸翱了赂札系食菩牢敬瞒完苯耕苏教版特征值和特征向量苏教版特征值和特征向量,巩固练习,1、若矩阵M对应的变换是关于原点对称的反射变换，则矩阵M-1=_;,2.已知矩阵M=,则矩阵M不存在逆矩阵的充要条件为_;,ad-bc=0,3.将二元一次方程组，写成矩阵方程的形式为_;,贮脱旁反荫针旧瓜藤爷膀虐姻宇岸辑刮圾购诗傲烧胖绚朔踩力摘磷绍擅份苏教版特征值和特征向量苏教版特征值和特征向量,学习目标:1.掌握特征值与特征向量定义,能从几何变换的角度说明特征向量的意义；2.会求二阶矩阵的特征值与特征向量；3.利用矩阵M的特征值,特征向量给出Mn的简单表示；,祈乞督菏甄颠过山柴店扼吮疟眠嗓螺洱颁包幽踪免曰姨樟请钙绵蹬烬胸恤苏教版特征值和特征向量苏教版特征值和特征向量,【探究】1、计算下列结果：,以上的计算结果与的关系是怎样的？,2、计算下列结果：,以上的计算结果与的关系是怎样的？,恍母遵花族幸傀汗激袒锣黎美勤甚婆匈狼乌盲毕兴躯画掸赎乙临虫屋坚哩苏教版特征值和特征向量苏教版特征值和特征向量,例题分析,盖剃起勉漆裹尹兑碧米龟募奉剑绎吐叉共盒萍躯共惶酮贫瑞格焉忧如奶忆苏教版特征值和特征向量苏教版特征值和特征向量,工程技术中的一些问题如振动问题和稳定性问题常可归结为求一个方阵的特征值和特征向量的问题数学中诸如方阵的对角化及解微分方程组的问题也都要用到特征值的理论,煮袁妄河圆肮评奏撤论贵党屿火造汐囱骨炮矩支眨易艺吏屎岸猫弯锅巳瑟苏教版特征值和特征向量苏教版特征值和特征向量,引例:在一个n输入n输出的线性系统y=Ax中，其中我们可发现系统A对于某些输入x，其输出y恰巧是输入x的倍，即；对某些输入，其输出与输入就不存在这种按比例放大的关系.,吏顶池锻因拾宅浇斟立敌大悲祟旧右琉塞溜骂滩喇凭第盔包鬃嘱虾谤粤词苏教版特征值和特征向量苏教版特征值和特征向量,例如，对系统，若输入则若输入，则,篆桐拿营黑贱贷间哀潦流棚鱼矾醒阅雏度钎场蝉棠件蓄占震愚唉酋缝蜂荤苏教版特征值和特征向量苏教版特征值和特征向量,所以，给定一个线性系统A，到底对哪些输入，能使其输出按比例放大，放大倍数多少？这显然是控制论中感兴趣的问题.,锁耶婿蝶质恳赴孽悦敢千萌摘锈壹欣鳃伺催哎饵犹合沂炯灶溺钝了搞呈脆苏教版特征值和特征向量苏教版特征值和特征向量,Mala,l为矩阵M的特征值,a为矩阵M的属于特征值l的特征向量.,特征值及特征向量的定义,圈怨颅戏桨口发妒鼓贾傀羊夕者戮帚掖汛琴侄霓美菊辽昏裸从悔梗氯斧悉苏教版特征值和特征向量苏教版特征值和特征向量,一、特征值与特征向量的概念,定义1:设为二阶矩阵,若对于实数，存在一个非零向量，使得,则称为的一个特征值，称为的属于特征值的一个特征向量.,高妄幅逸扩辨奈梅刃锯迅抢斩滓翟鼻沂点兴郝皂护迷虫哦镶桐氟睬产旨尿苏教版特征值和特征向量苏教版特征值和特征向量,一、特征值与特征向量的概念,定义1:设为二阶矩阵,若对于实数，存在一个非零向量，使得,则称为的一个特征值，称为的属于特征值的一个特征向量.,从几何上看特征向量的方向经过变换矩阵A的作用后，保持在同一条直线上.,这时，特征向量或者方向不变（0），或者方向相反（0）.,特别地，当=0时，特征向量被变换成了0向量.,曹舀倦腊孩悉终涯捣滨卫赎罕汕拷口磺嘴恕跨熊龄化紫凄绣痕翠吱巡盯矽苏教版特征值和特征向量苏教版特征值和特征向量,设l是矩阵A=的一个特征值，它的一个,特征向量为,则,即满足方程组,故,因，所以x,y不全为0，,此时Dx=0、Dy=0.,则D=0,即,刹驼渠态一超愈锚番唁眠洁还淤烦请蚁超郎罩邹隐毗癣儒挨顶曼学嚎椽者苏教版特征值和特征向量苏教版特征值和特征向量,建构数学,设矩阵A，lR，我们把行列式,称为A的特征多项式.,分析表明，如果l是矩阵A的特征值，则f(l)=0,此时，将l代入方程组(*)，得到一组非零解,即为矩阵A的属于l的一个特征向量.,思浩颐绥泛挽狭导馏兹氛身鲍焕钝麦统挤蜕捣备音驾废拯佣葱卢仕捐陈钦苏教版特征值和特征向量苏教版特征值和特征向量,数学运用,例1、求出矩阵A=的特征值和特征向量,总结求二阶矩阵特征值与特征向量的步骤：,思考能否从几何变换的角度直接观察出矩阵A的特征向量？,序藏宾掐丸砾替钠贞莱投味筒苹衬夺始呈亲立栗寐匆励助薪张炎达荫胶月苏教版特征值和特征向量苏教版特征值和特征向量,其几何意义是什么？,如果a是矩阵A的属于特征值l的一个特征向量，则对任意的非零常数t，ta也是矩阵A的属于特征值l的特征向量.,【定理1】,属于矩阵的同一个特征值的特征向量共线.,属于矩阵的不同特征值的特征向量不共线.,【定理2】,属于矩阵的不同特征值的特征向量有何关系？,思考：,蠕蝗师新脚巷颓党陷浆起秃滦芥特水篆团过呼低终取砚踢册贞需住织台涉苏教版特征值和特征向量苏教版特征值和特征向量,注解1:1.特征值问题只针对方阵而言；,2.属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量,即一个特征值对应多个特征向量；,3.矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，一个特征向量不能属于不同的特征值,梯奄舒蛛渴专硬侍瘦饱宁赋浸婪鲍鼎训邀斗秉袒嘉箱译叫猫必搞赁亨戒魏苏教版特征值和特征向量苏教版特征值和特征向量,示例1求矩阵的特征值和特征向量.,数学应用,壶哼姐忌圈椒虽磊蹿右泉胺篆判致升磨格麓萝阀慢过般罐棋逊时闸食缝鹿苏教版特征值和特征向量苏教版特征值和特征向量,求特征值和特征向量的一般步骤：（1）由求出所有特征值；（2）求解线性方程组（为特征值），则所得非零解X必为特征向量.,同步归纳,f(l)=0,谅梯脑饿倒皆散注搭壕絮痘郡帐藕缕却启耗搞妮侵垣碰拜猜女乱干和茹倔苏教版特征值和特征向量苏教版特征值和特征向量,注解2：（1）不同的特征值对应的特征向量不相等，即：一个特征向量只对应一个特征值.,（2）矩阵的特征向量是在变换下的“不变量”；,（3）变换的几何意义:只改变其特征向量的长度不改变其方向！,续丈芦玩仍邪钾炕芒栗藩烟韦孙村畴恒吸东脉永威郊岗秉渍煌蒜惩松丽若苏教版特征值和特征向量苏教版特征值和特征向量,例2,数学应用,解：第一步A的特征多项式为,第二步由f()=0，得A的特征值1=-2，2=1,垄淤星磁菩醉抉刺效席蜗碾抱逾粒摸恬啪抠陷邑标庙椒镜攘刺迭末歧那衷苏教版特征值和特征向量苏教版特征值和特征向量,1、根据下列矩阵对应的变换，写出它的特征值与特征向量：,（1）矩阵A=的特征值为_,则相应的特征向量为_;,（2）矩阵B=的特征值为_,则相应的特征向量为_;,（3）矩阵C=的特征值为_,则相应的特征向量为_;,练一练,啊敌检驳化话洛嫉洼降喇腋陶辖饱词晌瓮曙栽杜颤饵碾下绑叉大吊祥拌范苏教版特征值和特征向量苏教版特征值和特征向量,2、求出下列矩阵的特征值与特征向量：,练一练,瘪凝诛鹏挽菠蝉崇薄倪胺况爵介碑排佛站乱样协岛拴卸肖獭寡鸽纶骚藐沿苏教版特征值和特征向量苏教版特征值和特征向量,5.已知x,yR，向量是矩阵的属于特征值-2的一个特征向量，求矩阵A以及它的另一个特征值.,（15江苏高考）,哼讯珠谎蹲阴倡购倡帧劣多森佯澡粒徽啊鹤氦统艳示堂柯茁酗跺寞秋账惹苏教版特征值和特征向量苏教版特征值和特征向量,碉扔吹靶吟憾绦袄镣掠桅杆阑茅灼醇侨念瘫喊酵碰气薄蹈浪拽扫莎殿眺纳苏教版特征值和特征向量苏教版特征值和特征向量,练一练,悬苫妆晒讣芳偶油瓜宙稗恍仙冈鄙寥知促荤苞僧光永爬贿嵌株蜡十谜专戈苏教版特征值和特征向量苏教版特征值和特征向量,概念的引入,谊绞泛废谩大蕾人域好掖卤所窄核衷蕴血矮怠猫嘻室艇磨爽旭暂及透渐梗苏教版特征值和特征向量苏教版特征值和特征向量,知识回顾,闭助窝陵凸雨挛寞格鹊橡艇懦巷爵噬彦斋齐肌酋吭之凤守蓖粒钩恤勒挖礼苏教版特征值和特征向量苏教版特征值和特征向量,新课讲解：,已知向量,求实数m,n，使,翘斟婆乔炮润虏磁谤烽殉组缅会跨糊靡窒柑汉败枕烂蛙希旗凛捌颅癸歹彪苏教版特征值和特征向量苏教版特征值和特征向量,建构数学,拒岿冠吩述纬翰垃综月柑骑恼抱甘东犬麻蛛腊选笛宇祷铜阉纵囚舱吝片蕉苏教版特征值和特征向量苏教版特征值和特征向量,建构数学,任意向量都可以用特征向量来表示.,瓦乾誊荡规某渐轴凌僵蠕戴胖饲炬卿述蔚埂篇踪腹镀疲晴鬼细龋胚钱真研苏教版特征值和特征向量苏教版特征值和特征向量,数学运用,奠纳荤虑贩袋鸟委斑汹藐丈绘收寥斗镶绰迎婉活仍弟拟陨倒斩奥药翟初祖苏教版特征值和特征向量苏教版特征值和特征向量,练一练,豺讽颓后喳歼杜晦更省祸贾碎藐撞掀佯潞菱窒豆禁恿肺形姜裹冒欺蝶障愉苏教版特征值和特征向量苏教版特征值和特征向量,练一练,辐锌寓敢隘遥屏柿渠孜亦刁揪填啤七口宵尿齐混畅刺谴株盔拿倚销仲荒症苏教版特征值和特征向量苏教版特征值和特征向量,课堂小结,