河北省衡水中学2019届高三下学期大联考卷Ⅱ 理科数学（ PDF版含答案）

姓名 准考证号 绝密启用前 理科数学试题 第1页( 共4页)理科数学试题 第2页( 共4页) 2 0 1 9年全国高三统一联合考试 理科数学 本试卷4页, 2 3小题, 满分1 5 0分。考试时间1 2 0分钟。 注意事项: 1.答题前, 考生务必将自己的姓名、 准考证号填写在答题卡上相应的位置。 2.全部答案在答题卡上完成, 答在本试题上无效。 3.回答选择题时, 选出每小题答案后, 用2 B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号。回答非选择题时, 将答案用0. 5mm黑色笔迹 签字笔写在答题卡上。 4.考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。 一、 选择题: 本题共1 2小题, 每小题5分, 共6 0分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符 合题目要求的. 1.已知i为虚数单位, 复数 1+ai 2- i是纯虚数, 则实数a 等于 A.2B. 1 2 C. -2D. -1 2 2.已知集合A=x 1-2x x+3 0) 的焦点为F, 点M 是抛物线C上一点, 直线MF与抛物线的 准线l交于点N, 且FN =-2FM, 若 |MF|=6, 则p= A.2B.3C.4D.6 7.在A B C中,O是A B C的重心, 设B A = a,B C = b, 则A O = A. -5 3 a+1 3 bB. 1 3 a+1 3 bC. 2 3 a+2 3 bD. -2 3 a+1 3 b 8.一几何体的三视图如图所示, 根据图中数据, 可得该几何体 的表面积是 A.2(8+3 2) B.4(3+2 2) C.2(2+3 2) D.6(2+ 2) 9.已知圆O1:x 2+ y 2=4, 圆O 2: (x-3) 2+( y-4) 2= r 2( r 0) , 则“20) 的一条渐近线被圆M:x 2+( y-b) 2= a 2 截得的弦 长为a, 过C的右焦点F( c,0) 且斜率为- 3 3 的直线l与两条渐近线分别交于A,B两点,O 为坐标原点.若O A B的面积为 3 2 , 则a+b= A.1+ 3B.2+ 3C.2(3+1)D. 3 2+ 6 6 1 2.在正方体A B C D - A1B1C1D1中, 点N是棱B C的中点, 点M在四边 形D C C1D1内部运动( 包括边界).设直线A1D1与直线MN所成的角 为, 则当MN平面B B1D1D时, t a n的取值范围为 A. 1,2B. 1,5 C. 2,3 D. 3,5 二、 填空题: 本题共4小题, 每小题5分, 共2 0分. 1 3.已知实数x,y满足约束条件 x+y5, 3x-2y0, x-2y+10, 则z=3x+y的最小值为 . 理科数学试题 第3页( 共4页)理科数学试题 第4页( 共4页) 1 4.已知数列an 的前n项和为Sn, 且2Sn=3an+1, 则an= . 1 5.已知甲、 乙、 丙、 丁4人同时到5个不同的地区参加扶贫活动, 若每个地区最多有2人参加(2 人到同一个地区, 不区分2人在其中的角色) , 则甲、 乙、 丙、 丁4人参加扶贫活动的不同安排 方式总数是 . 1 6.已知f(x) 为定义在R上的奇函数, 当x0时,f(x)= 2 x-1, 0x1, |x-3 |-1,x1. 若函数g(x)= f(x)-a(0a1) 的所有零点之和为1 2, 则实数a 的值为 . 三、 解答题: 共7 0分.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤.第1 72 1题为必考题, 每个试 题考生都必须作答.第2 2, 2 3题为选考题, 考生根据要求作答. (一)必考题:共6 0分. 1 7. ( 1 2分) 在A B C中, 角A,B,C所对的边分别为a, b,c, 已知 3a+c b = c o s(A+B) c o sB . ( 1) 求c o sB的值; ( 2) 若b=4, 求A B C面积的最大值. 1 8. ( 1 2分) 如图, 四边形A B C D为菱形,P D平面A B C D,M,N分别是 P C,P A的中点,A B=2,P D=a,DA B=6 0 . ( 1) 求证:MN平面P B D. ( 2) 若直线BM与 平面P AD所成 角的余弦值 为 1 3 4 , 求a 的值. 1 9. ( 1 2分) 某市对参加2 0 1 8年高考的4万名考生的高考分数进行统计, 统计结果显示全市考生的高考 分数服从正态分布N(4 5 0, 25 0 0).该市某高中为了解参加2 0 1 8年高考的10 0 0名考生的分 数情况, 现从这10 0 0人中随机抽取1 0 0人, 发现他们的成绩全部介于4 0 0,7 0 0 , 将这 1 0 0人的成绩分成6组, 第一组4 0 0,4 5 0) , 第二组4 5 0,5 0 0) , 第三组5 0 0,5 5 0) , 第四组 5 5 0,6 0 0) , 第五组6 0 0,6 5 0) , 第六组6 5 0,7 0 0.下图是按上述分组得到的频率分布直 方图: ( 1) 试估计该高中参加2 0 1 8年高考的10 0 0名考生的平均分数与全市平均分数的高低情况; ( 2) 请估计全市分数不低于5 5 0分的考生人数; ( 3) 若该高中不低于6 5 0分的考生中女生所占比例为2 5, 现计划从不低于6 5 0分的考生中随 机挑选3人为高二年级的学生作学习经验报告, 试求女生被选到的人数X的分布列及数 学期望. 附: 4 2 5 0 .0 0 18 + 4 7 5 0 .0 0 34 + 5 2 5 0 .0 0 8+5 7 50 .0 0 64+6 2 50 .0 0 02+6 7 50 .0 0 02= 1 0.5 2; 若N( , 2) , 则P( -+)0. 6 8 27,P( -2 0) 的离心率为 2 2 , F1,F2分别为E的左、 右焦点, 过E的右 焦点F2作x轴的垂线交E于A,B两点,F1A B的面积为2. ( 1) 求椭圆E的方程; ( 2) 是否存在与x轴不垂直的直线l与E交于C,D两点, 且弦C D的垂直平分线过E的右 焦点F2? 若存在, 求出直线l的方程; 若不存在, 请说明理由. 2 1. ( 1 2分) 已知函数f( x)=e xc o sx, x 0, 2 . ( 1) 求函数f(x) 的单调区间; ( 2) 若不等式f(x)a x+1恒成立, 试求正实数a的取值范围. (二)选考题:共1 0分.请考生在第2 2,2 3题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分, 作答时请用2 B铅笔在答题卡上将所选题号的方框涂黑. 2 2. 选修4 - 4: 坐标系与参数方程 (1 0分) 在平面直角坐标系x O y中, 曲线C的参数方程为 x= 25 c o s, y=2 5+2 5 s i n ( 为参数).以原点O 为极点, x轴正半轴为极轴建立极坐标系, 直线l的极坐标方程为c o s +s i n - 5 - 25= 0 . ( 1) 求曲线C的极坐标方程和直线l的直角坐标方程; ( 2) 设曲线C与直线l交于A,B两点, 若点P的直角坐标为(5,2 5) , 求| P A|+| P B| 的值. 2 3. 选修4 - 5: 不等式选讲 (1 0分) 已知函数f( x)=| 2 x-m|. ( 1) 若不等式f(x)6的解集为x |-2x4 , 求实数m的值; ( 2) 在(1) 的条件下, 若不等式f(x) +f ( 2 1 x+3)a 4 +b 1对一切满足a+ b=1的正实数 a,b恒成立, 求x的取值范围. 2 0 1 9年全国高三统一联合考试 理科数学 参考答案及解析 2 0 1 9年全国高三统一联合考试理科数学 一、 选择题 1. A 【 解析】因为 1 +ai 2 - i= ( 1 +ai) (2 + i) 5 =( 2 -a)+(2a+ 1)i 5 为纯虚数, 所以a=2.故选A. 2.C 【 解析】因为1-2 x x+3 0, 所以 A=x x1 2或x 0时, f(x)= x 3 2 x+ 2-x 0, 排 除B; 由f(4)= 4 3 2 4+2-4 2 6 22 4=2,f( 8)= 8 3 2 8+2-8f(8) , 排除C.故选A. 4.C 【 解析】由题意得 a8 0, a9 0, 即 3 1 + 7d 0, 3 1 + 8d 0, 所以-3 1 7 d-3 1 8 .又d为整数, 所以d=-4.故选C. 5.D 【 解析】因为f(x)=e x-e-x+3, 所以 f ( x)=e x+ e -x, 所以 f (0)=2, f(0)=3, 所以曲线y=f(x) 在 x=0处的切线方程为y=2x+3.在方程y=2x+3中, 令x=0, 得y=3; 令y=0, 得x=- 3 2 .所以, 所求三角 形的面积S= 1 2 3 3 2 = 9 4 .故选D. 6.C 【 解析】根据抛物线的定义, 得p 6 = |N F| |M F| + |N F|= 1 2 6+1 2= 2 3 , 所以p=4.故选C. 7.D 【 解析】由题意得A O =1 3( A B +A C) =1 3 (-2B A + B C ) =- 2 3a+ 1 3b. 故选D. 8.D 【 解析】由三视图可知, 该几何体是一圆柱从上面挖 去四个半球, 半球的半径是1, 圆柱的高是1, 底面半径是 2+ 1 .该几何体的表面积=2 (2+1) 2-4 +24 + 2 (2+1)1=(1 2+6 2).故选D. 9.B 【 解析】由于两圆相 交 的充 要条 件为3r7, 故 选B. 1 0.C 【 解析】设C D= 1, 则D E=CH= s i n,C E=c o s, 所以S正方形A B C D=1,S正方形E F GH=(c o s-s i n) 2=1- s i n2, 所以P=S 正方形E F GH S正方形A B C D =1-s i n2.故选C. 1 1. A 【 解析】不 妨设 双曲 线C的渐 近线 方 程 为b x- a y = 0, 则点M(0,b) 到渐近线的距离为 | -a b| a 2+ b 2 =a b c = 3 a 2 , 即 c 2-a2 c 2 = 3 4 , 所以c=2a.又a 2+b2= c 2, 所以 b= 3a.由b a = 3知直线l与两条渐近线的交点A, B 分别在第一象限和第二象限, 且A O B=6 0 .由几何知 识, 得O A= c 2 ,O B=c, 所 以SO A B= 1 2 c 2 cs i n6 0 = 3 2 , 解得c=2, 所以a=1,b= 3. 故选A. 1 2.B 【 解析】 取D C,D1C1的中 点 分别 为P,Q, 连 接 P Q,PN,QN, 易证得平面P QN平面B B1D1D, 故 当点M在线段P Q上运动时,MN平面B B1D1D.因 为A1D1B C, 所以直线B C与直线MN所成的角即 为直线A1D1与直线MN所成的角, 所以MN C=. 连接MC, 显然NCMC.令正方体的棱长为2,PM= x,x0,2 , 则M C=x 2+ 1, 又C N= 1, 所以t a n = x 2+1, 所以t a n 1,5.故选B. 1 理科数学 参考答案及解析 二、 填空题 1 3. 9 4 【 解析】画出可行域 如图 中 的 阴 影 部 分 所 示. 目标函数z=3x+y在点 A 1 2 , 3 4 () 处取得最小值, 即zm i n= 3 1 2+ 3 4 = 9 4 . 1 4. -3 n-1 【 解析】令n=1, 则2 S1=3a1+1, 又S1=a1, 所以a1=-1. 当n2时,an=Sn-Sn-1= 1 2 ( 3an-3an-1) , 整理得 an=3an-1, 即 an an-1=3 ( n2). 因此, an 是首项为a1=-1, 公比为q=3的等比数 列, 即an=-3 n-1. 1 5.5 4 0 【 解析】分情况讨论: 第一类,4个人去4个地方, 有A 4 5=1 2 0( 种) 安排方式; 第二类,4个人去2个地区, 有1 2C 2 4A 2 5=6 0( 种) 安排方式; 第三类,4个人去3个地 区, 有C 2 4A 3 5=3 6 0( 种) 安排方式. 因此, 符合题意的安排 方式共有1 2 0+6 0+3 6 0=5 4 0( 种). 1 6. 2-1 【 解析】由题意, 作函数y=f(x) 与y=a的 图像如下图所示. 结合图像, 设函数g(x)=f(x)-a(00, 所以a 2+ c 22 a c, 所以a 2+ c 2+2 3a c2 a c+ 2 3a c= 8 3a c, 当且仅当a=c时取“=”. 8分 所以 8 3a c b 2=1 6, 即a c6. 9分 因为B(0,) ,c o sB=-1 3 , 所以s i nB= 1 - c o s 2B=2 2 3 .1 0分 所以SA B C= 1 2a c s i nB 1 2 62 2 3 =2 2, 即SA B C的最大值为2 2. 1 2分 1 8. ( 1) 证明: 连接A C. 因为四边形A B C D为菱形, 所以A CB D. 因为P D平面A B C D,A C平面A B C D, 所以P DA C.又B DP D=D, 所以A C平面P B D. 2分 因为PN=NA,PM=MC, 所以MNA C, 所以MN平面P B D. 4分 ( 2) 解: 设A C与B D相交于点O, 以O为坐标原点, A C,D B所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的空 间直角坐标系. 2 2 0 1 9年全国高三统一联合考试 理科数学 因为A B=2,P D=a, 所以A(3,0,0) ,B(0,1,0) ,C(- 3,0,0) ,D(0,-1, 0) ,P(0,-1,a).6分 因为PM=MC, 所以M(- 3 2 ,-1 2 , a 2) , 即BM =( - 3 2 ,-3 2 , a 2) .7分 因为D P =( 0,0,a) ,DA =(3, 1,0) , 所以平面P DA的一个法向量n=(1,- 3,0). 9分 设直线BM与平面P AD所成的角为, 则s i n= |B M n| |B M |n| = 3 3 4+ 9 4+ a 2 4 1 + 3 = 3 1 2 +a 2. 由c o s= 1 3 4 得s i n= 3 4 , 所以 1 2+a 2= 4, 解得a=2. 1 2分 1 9.解: (1) 因 为4 2 50. 0 0 18+4 7 50. 0 0 34+5 2 5 0.0 0 8+5 7 50.0 0 64+6 2 50.0 0 02+6 7 50.0 0 02= 1 0.5 2, 所以用样本估计总体可以得到该高中考生的总体平均 分数为1 0. 5 25 0=5 2 6.2分 因为全市考生高考分数服从正态分布N(4 5 0,25 0