大学物理下典型题

（一）电磁学共23题（二）相对论共3题（三）量子物理共6题共共23题题1均匀带电圆环轴线上一点的场强。设半径为R的细圆环均匀带电，总电量为Q，P是轴线上一点，离圆心O的距离为X，求P点的场强。DQROXRXPERD/DERERD解34积分求解由于对称性1204DDRQE2将分解为ERDCOSDD/EESINDDEE0DEECOS4DD20/RQEEE在圆环上任意取一线元DL，其带电量为DQCOS4DD20/RQEEE在积分过程中，R和保持不变，可以提到积分号外，即COS20204COSD4COSRQQRE22,COSXRRRXQ232204XRQXEDQROXRXPERD/DERERD讨论1环心处，X0，E0；即远离环心处的电场相当于一个点电荷产生的电场。3当XR时，204XQE思考2当Q0时，沿轴线指向远离轴线的方向，当QR，取同样高斯面，00002DLQRLESES内RRRRERRRRRER,2,2020RR所以得电场分布的矢量表达LRROABR1R2RBRA3均匀带电球层，内半径为R1，外半径为R2，体电荷密度为。求图中A点和B点电势。解取薄球壳，半径为R，厚为DR，可视为均匀带电球面，其带电量为RRQD4D2RDR对A点，此带电球面产生的电势为RRRRRRQD4D44DD00202DD21220021RRRRRRA对B点，当球壳半径RRB时，其产生的电势为RRRRRRQD4D44DD00202DD2220022BRRBRRRRBBBBBBRRRR31222021236RROABR1R2RBRARDR4有一块大金属平板，面积为S，带有总电量Q，今在其近旁平行地放置第二块大金属平板，此板原来不带电。1求静电平衡时，金属板上的电荷分布及周围空间的电场分布。2如果把第二块金属板接地，最后情况又如何忽略金属板的边缘效应。解1由于静电平衡时导体内部无净电荷，所以电荷只能分布在两金属板的表面上。设四个表面上的面电荷密度分别为1、2、3和4。QS1234由电荷守恒定律可知闭曲面作为高斯面。由于板间电场与板面垂直，且板内的电场为零，所以通过此高斯面的电通量为零。选一个两底分别在两个金属板内而侧面垂直于板面的封金属板内任一点P的场强是4个带电平面的电场的叠加，并且为零，所以SPSQ2104312032302222040302014Q1234即04321联立求解可得SQSQSQSQ2,2,2,24321电场的分布为在区，在区，在区，方向向左方向向右方向向右SQ02EESQ02ESQ02IIIIERERER1234QS0E由有SQSQEE2222002112342如果把第二块金属板接地，其右表面上的电荷就会分散到地球表面上，所以04第一块金属板上的电荷守恒仍给出SQ21由高斯定律仍可得032金属板内P点的场强为零，所以0321联立求解可得004321，SQSQERIIII1234SP电场的分布为E0，ESQ0方向向右，EIII0O导线D导体板XO/解取导体板内很邻近O点的O/点，导线在O/点产生的电场DXXED020144D而在O/点产生的电场022E由总电场021EEEOD2得5如图，求O点处感应电荷密度。RLQER02解两极面间的电场在电场中取体积元RRLVD2D则在DV中的电场能量为VEWD2D2R06一圆柱形电容器，两个极面的半径分别为R1和R2，两极面间充满相对介电常数为R的电介质。求此电容器带有电量Q时所储存的电能。LQQRR1R221D221DR02RRRRLQWW12R02LN221RRLQCQ22112R0LN2RRLCS解根据电荷分布对壁的平分面的面对称性，可知电场分布也具有这种对称性。由此可选平分面与壁的平分面重合的长方盒子为高斯面，如图所示，高斯定理给出0INT2QSE2DD,2INTDSQ0DE,INTDSQ02DEDED曲线如图EDO02D02D2D2D8两个同心金属球壳，内球壳半径为R1，外球壳半径为R2，中间充满相对介电常数为R的均匀介质，构成一个球形电容器。1求该电容器的电容；2设内外球壳上分别带有电荷Q和Q，求电容器储存的能量。解1已知内球壳上带正电荷Q，则两球壳中间的场强大小为2R04RQE21D12RRRE两球壳间电势差UVV210R114RRQ21R0124RRRRQ电容41221R012RRRRUQC2电场能量21R0122282RRRRQCQWOR1R2R解1以Q1和Q2分别表示内外球所带电量，由电势叠加原理6041221101RQRQ联立可得C1076101可得Q2由CM102010311076910221RQQR9两个同心的均匀带电球面，半径分别为R150CM，R2200CM，已知内球面的电势为160V，外球面的电势为230V。1求内外球面所带电量；2两个球面之间何处电势为零。304122102RQQC103192Q04122101RQRQOR1R210在均匀磁场中放置一半径为R的半圆形导线，电流强度为I，导线两端连线与磁感应强度方向夹角30O，求此段圆弧电流受的磁力。BVILIRDAB解在电流上任取电流元LIRDBABLIFRRRDBLIBAVVDBIABRSINBABIFO30SIN2BRIIBR方向11如图所示，在均匀磁场中，半径为R的薄圆盘以角速度绕中心轴转动，圆盘电荷面密度为。求它的磁矩、所受的磁力矩以及磁矩的势能。解取半径为R的环状面元，圆盘转动时，它相当于一个载流圆环。RRRRIDD22D磁矩RRIRMDDD32RRDRSBR受的力矩圆盘磁矩4DD403RRRMMR4SIN4BRMBMBM方向向上MRBRMR磁矩的势能为0MBMWRR其电流12一半径为R的无限长半圆柱面导体，其上电流与其轴线上一无限长直导线的电流等值反向。电流I在半圆柱面上均匀分布。1求轴线上导线单位长度所受的力；2若将另一无限长直导线通有大小、方向与半圆柱面相同的电流I代替圆柱面，产生同样的作用力，该导线应放在何处解1在半圆柱面上沿母线取宽为DL的窄条，其电流IIRDDDILRII它在轴线上一点产生的磁感应强度RIRIB2002D2DD方向如图DIDLDXYBRD0YBSINDDBBBBXXRIBIF220由电流分布的对称性可知02020DSIN2RIRI方向沿X轴方向沿Y轴，是斥力2另一无限长直导线应平行放置于Y轴负半轴上，以D表示两直导线间的距离，则DIRI2202202RDDIDLDXYBRD13将一均匀分布着电流的无限大载流平面放入均匀磁场中，电流方向与此磁场垂直。已知平面两侧的磁感应强度分别为B1和B2，如图所示，求该载流平面单位面积所受的磁场力的大小和方向。解载流平面自身在其两侧产生的磁场为方向相反。均匀外磁场B0在平面两侧方向相同。由图，载流平面产生磁场与外磁场在左侧方向相反，在右侧方向相同。载流平面单位面积所受的磁场力考虑长DL，宽DS的电流元，其在外磁场中受的磁场力1BV2BVJV2021JBB21BBR3202XIRB16求无限长均匀载流圆柱体I，R的磁场。I柱外RRLLLBLBDDVVRB2RIB20外柱内R0，则回路中电动势方向为逆时针，B端高。由于OA和OB两段沿径向，涡旋电场垂直于段元，这两段不产生电动势。该电动势就是金属棒上的电动势。X19导体CD以恒定速率在一个三角形的导体框架MON上运动，它的速度的方向垂直于CD向右，磁场的方向如图，BKXCOST，求CD运动到X处时，框架COD内感应电动势的大小、方向。设T0，X0解选定回路正向，顺时针方向HDXSBRRDDMXHTXKDCOSXXTXKDTGCOSXTXKDCOSTG2MXTXKX02DCOSTGTKXCOSTG313TDDMTVKXTXKCOSTGSINTG3123XVVCDMONBVXBHSBDDVVCDXOMNBVHDXX解二感动IIIDCIDLBVVVV动DCDLVBTGVBXTVKXCOSTG2TDDM感TKXTCOSTG31DD3TXKSINTG313TVKXTXKCOSTGSINTG3123I20矩形螺绕环共有N匝，尺寸如图，求LD2D1HIL解设电流为I，取回路LNILBL0DVVRNIB20SBNNVVD22012D2DDRHRNIN2120LN2DDIHNIL2120LN2DDHN若矩形螺绕环中充满磁导率为的介质，LDSHR21一边长为L和B的矩形线框。在其平面内有一根平行于AD边的长直导线OO，导线半径为A。求该系统的互感系数OOL32BLI12RIB20解212121DDSSSBSBVVVVDSRBRIRBRILALAD2D230320ALALIB31LN32LN202LN20IBIM2LN20BABCD22传输线由两个同轴圆筒组成，内、外半径分别为R1，R2，其间介质的磁导率为，电流由内筒一端流入，由外筒的另一端流回，当电流强度为I时，求L长度传输线内储存的磁能。I解ILHAVVDRIH2RIB2BHW21MRIRI22212228RIVVWWDMM21D28222RRRRLRI122LN4RRLIA2M21LIW12LN2RRLL单位长度12LN2RRLLLIABTIVRTDDMI解求任意时刻T在矩形线框内的感应电动势，并讨论的方向I23如图，真空中一长直导线通有电流TEITI0有一带滑动边的矩形导线框与其平行共面，二者相距A。滑动边长为B，以匀速滑动。若忽略线框中的自感电动势，并设开始时滑动边与对边重合。VRTIVRAOXYABDS建立坐标XOY，SBSBDDDM取DS，其内的磁通量RRL顺时针LYIB20YXSDD在T时刻，矩形线框内的磁通量TMSSSBTRRDDMMABAXIYXYIBAALN2D200TXIXTIABATDDDDLN2DD0MIVTIABAT1ELN200TEITI0VTX其中ABATIVTLN1E200II的方向1TI为顺时针方向左图I为逆时针方向1右图TVVABTIOXYVVABTIOXY共共3题题例1一发射台向东西两侧距离均为L0的两个接收站E与W发射讯号，如图，今有一飞机以匀速度V沿发射台与两接收站的连线由西向东飞行，求在飞机上测得两接收站收到发射台同一讯号的时间间隔是多少WE0L0L解设东西接收到讯号为两个事件，时空坐标为地面为S系XE，TE，XW，TW飞机为S系XE，TE，XW，TW000WECLCLTTT22WE2WE1CVXXCVTTTT负号表示东先接收到讯号。222012CVCVL由洛仑兹时空变换得例2两只宇宙飞船，彼此以098C的相对速率相对飞过对方；宇宙飞船1中的观察者测得另一只宇宙飞船2的长度为自己宇宙飞船长度的2/5。求1宇宙飞船2与1中的静止长度之比2飞船2中的观察者测得飞船1的长度与自己飞船长度之比解1设飞船1为S，飞船2为S，静长分别为L10，L20飞船1测飞船2的长度为L2，飞船2测飞船1的长度为L1由题意52102LL由长度收缩22021CULL2152121020CULL21098012121210210201CCLCULLL例3已知二质点A、B，静止质量均为M0，若质点A静止，质点B以6M0C2的动能向A运动，碰撞后合成一粒子，无能量释放。求合成粒子的静止质量M0解二粒子的能量分别为202020B20A76CMCMCMECME，由能量守恒，合成后粒子的总能量为20BA8CMEEE由质能关系EMC208MM由质速关系220220181CVMCVMM关键求复合粒子的速度V由动量守恒BBAPPPPRRRRMPVMVPBB，对B应用能量与动量关系，即MPVMVPBB，对B应用能量与动量关系，即42022B2BCMCPE2202B48CMP22022022B2436448CMCMMPV02200418MCVMM共共6题题例1在光电效应实验中，测得某金属的截止电压UC和入射光频率的对应数据如下6501630360985888566408780800071406370541VCUHZ1014试用作图法求1该金属光电效应的红限频率；2普朗克常量。图UC和的关系曲线405060000510UCV1014HZ解以频率为横轴，以截止电压UC为纵轴，画出曲线如图所示注意。0CU1曲线与横轴的交点就是该金属的红限频率，由图上读出的红限频率HZ102741402由图求得直线的斜率为SV109135KAHMV2M21对比上式与SJ1026634EKHSJ1063634有H精确值为0C2M21EUEKEUMV图UC和的关系曲线405060000510UCV1014HZ例2一维无限深势阱中的粒子的定态物质波相当于两端固定的弦中的驻波，因而势阱宽度A必须等于德布罗意波的半波长的整数倍。1试由此求出粒子能量的本征值为22222NMAENH2在核线度101014M内的质子和中子可以当成是处于无限深的势阱中而不能逸出，它们在核中的运动是自由的。按一维无限深方势阱估算，质子从第一激发态到基态转变时，放出的能量是多少MEV解在势阱中粒子德布罗意波长为L3212，NNA粒子的动量为ANAHNHPNNH22222222NMAMPENNH粒子的能量为J10331001106712100512132142723422P221AMEH2由上式，质子的基态能量为N1第一激发态的能量为J1021341312EEN1，2，3从第一激发态转变到基态所放出的能量为MEV26J1099J10331021313131312EE讨论实验中观察到的核的两定态之间的能量差一般就是几MEV，上述估算和此事实大致相符。N1N2N3解首先把给定的波函数归一化做积分12DCOSD222222AAXAXAXXAA得AA21D2XX例3设粒子处于由下面波函数描述的状态，0COSAXAX当2AX22AXAX，当A是正的常数。求粒子在X轴上分布的概率密度；粒子在何处出现的概率最大因此，归一化的波函数为归一化之后，就代表概率密度了，即2X，0COS222AXAXXW概率最大处02SIN2SINCOS22DD2AXAAAXAXAXW即X02AX，0COS2AXAX当2AX22AXAX，当当2AX22AXAX，当讨论波函数本身无物理意义，“测不到，看不见”，是一个很抽象的概念，但是它的模的平方给我们展示了粒子在空间各处出现的概率密度分布的图像。EOA/2XA/2E1N14E1N29E1N3ENN|N|2无限深方势阱内粒子的能级、波函数和概率密度例4氢原子的直径约1010M，求原子中电子速度的不确定量。按照经典力学，认为电子围绕原子核做圆周运动，它的速度是多少结果说明什么问题SM106010101921005126103134XMVH解由不确定关系估计，有2HXVMXP速度与其不确定度同数量级。可见，对原子内的电子，谈论其速度没有意义，描述其运动必须抛弃轨道概念，代之以电子云图象。按经典力学计算222REKRVMSM1022105