奇偶性与单调性例题讲解.doc

奇偶性与单调性例题讲解例1下列函数中，与函数有相同的奇偶性的是( )(A) y = | x+1 | + | x1 |(B) (C) (D) 分析：设 ，则函数f ( x )的定义域为（1，1），并且此定义域内任意x，又 f () = lg3， f () = lg，故 f ()f () f ( x ) 是奇函数而不是偶函数而（A）中函数是偶函数（不是奇函数），（B）中函数是偶函数（也是奇函数），（C）中函数既不是奇函数，也不是偶函数，只有（D）中函数是奇函数而不是偶函数因此，本题应选（D）本例可看到函数按奇偶性分类的情况还可看到，要证明f ( x )（xF）不是偶函数，只要对F中某个x0，证明 f (x0 ) f ( x0 )即可例2若函数 为定义在闭区间1，1上的奇函数，试确定函数f ( x )的解析式分析：确定函数f ( x )的解析式，这里即确定a、b的值依据方程的思想，只要找出二个关于a、b的制约条件，而这里的条件又只能从“f ( x )是1，1上的奇函数”而来解： 在1，1上是奇函数， f (x ) = f ( x ) 对任意x1，1成立 f (1 ) = f ( 1 )，f (0 ) =0，即 解得 a = 0，b = 0 函数f ( x )的解析式是 这里运用奇函数定义时，还涉及到一般与特殊的关系还应注意，一般情况下，f (0 ) =0是f ( x )为奇函数的既非充分条件，又非必要条件若x = 0时，f ( x )有意义，则f (0 ) =0是f ( x )为奇函数的必要非充分条件例3利用函数单调性定义，证明函数f ( x ) = x + 在区间 上是减函数证明：任取x1，x2，使0 x1x21，则： 0 x1 1，0 x2 1，x1 0，x1x2 0，0 x1x2 1 f ( x2 )f ( x1 ) 0，即f ( x2 ) 0，得已知函数的定义域为（，2）（4，+）又已知函数是由 u = x26x+8（x 4）与 （u 0）复合而成的复合函数 由于函数 在（0，+）上是减函数；函数u = x26x+8（x 4）在（，2）上是减函数，在（4，+）上是增函数， 已知函数的单调递增区间（，2），单调递减区间是（4，+）复合函数 y = f g ( x ) 的单调区间只能是其定义域的子区间其单调性与u = g ( x )，y = f ( u )的单调性相关，其规律可列成下表：单 调 性u = g ( x )y = f ( u )y = f g ( x ) 例5已知f ( x )是定义在（，+）上的奇函数，且f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) 对任意x，yR都成立如果当x 0时，f ( x ) 0试判断函数f ( x )在区间（，+）上的单调性，并证明你的结论分析：由于本题未给出具体的函数解析式，探索其单调性只能依单调性定义进行解：任取实数x1，x2，使x1 0 f ( x )是奇函数，故 f ( x1 ) = f (x1)又 f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) 对任意x，yR都成立， f ( x2 )f ( x1 ) = f ( x2 ) + f (x1 )= f x2 + (x1) = f ( x2x1 ) 0 ，即 f ( x2 ) 0，b 0，且 a + 2b + ab = 30，那么ab的最大值为_，此时a =_，b =_分析：本题是附条件的最值问题，关键在恰当使用条件这里条件可用作消元，也可把条件中ab表示出来，再作变换（1） a + 2b + ab = 30， ( a + 2 ) b = 30a a + 2 0，故 b 0，故 0，又 a 0， 0 a 30 ab = a = 32a3428 = 18 当且仅当 a + 2 = （0 a 0，b 0 ， ab = 30(a + 2b) 30 0 0 这20天中，销售收入最高的约是第17天和第3天，这一天每件商品定价为7元把函数解析式