天津市2016届高三高考模拟数学试卷（三）含答案解析

天津市 2016 届高三高考模拟（三）数学 一、选择题：共 8题 1 设集合 ,则 A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】本题主要考查并集及其运算 ,熟练掌握并集的定义是解本题的关键 中不等式变形得 : 解得 即 由 中不等式变形得 : 解得 即 则 故选 A. 2 设变量 满足约束条件 ,且目标函数 的最大值是 ,则 等于 A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】本题主要考查简单的线性规划 ,考查了数形结合的解题思想方法 ,如果约束条件中含有参数 ,我们可以先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域 ,分析取得最优解是那两条直线的交点 ,然后得到一个含有参数的方程 ,代入另一条直线方程 ,消去 后 ,即可求出参数的值 . 由约束条件 作出可行域如图 ,因为直线 过定点 (3,0),所以只有目标函数 过 时取最大值 4,由 得到 此时 ,所以 故选 B. 3 某程序框图如图所示 ,其中 ,若程序运行后 ,输出 的结果是 A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】本题主要考查循环结构程序框图的应用 ,特值法是解决选择题常用的方法 ,根据流程图写程序的运行结果 ,是算法这一模块最重要的题型 不妨取 模拟程序的运行 ,可得 不满足条件 输出 的值为 比较各个选项 ,当 时 只有 故选 D. 4 函数 ( ,且 )有且仅有两个零点的充要条件是 A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】本题主要考查函数零点的定义 ,充分条件、必要条件、充要条件的定义 ,且 )有两个零点 ,即函数 的图像与直线 有两个交点 ,结合图像易知 ,此时 可以检验 ,当 时 ,函数 ( ,且 )有两个零点 ,所以 ( ,且 )有两个零点的充要条件是 故选 B. 5 如图 ,在半径为 的圆 中 , 为 的中点 , 的延长线交圆 于点 ,则线段 的长为 A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】本题主要考查直角三角形的勾股定理 ,以及圆中的相交弦定理 ,可得 延长 交圆于 则 ,由圆的相交弦定理可得 : 即有 故选 C. 6 已知离心率为 的双曲线 )的两条渐近线与抛物线 )的准线分别交于 两点 , 是坐标原点 的面积为 ,则抛物线的方程为 A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】本题主要考查圆锥曲线的共同特征 ,解题的关键是求出双曲线的渐近线方程 ,解出 A,列出三角形的面积与离心率的关系也是本题的解题关键 . 双曲线 双曲线的渐近线方程是 又抛物线 )的准线方程是 ,故 A, 又由双曲线的离心率为 2,所以 则 两点的纵坐标分别为 又 的面积为 轴是角 的角平分线 得 抛物线的方程为 故选 C. 7 已知 为 上的减函数 ,则满足 的实数 的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】本题主要考查函数的单调性的定义 ,根据减函数定义解不等式的方法 ,以及分式不等式的解法 . 为 上的减函数 , 由 得 解得 或 的取值范围是 故选 D. 8 已知函数 ,若 ,则 的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】本题主要考查分段函数的图像和运用 ,考查数形结合的思想方法 ,同时考查直线和抛物线相切的条件 ,判别式为 0,以及运算能力 . 即为 ,作出函数 的图像和直线 ,直线恒过定点 (1,0),当 时 ,直线为即有 的图像 恒在直线的上方 ;当 时 ,由图像可知 ,不符合题意 ;当时 ,且直线和 的图像相切时 ,由 和 联立 可得 由 即 解得 由图像即可得到 综上可得 的范围是 故选 A. 二、填空题：共 6题 9 是虚数单位 ,复数 满足 ,则 . 【答案】 【解析】本题主要考查复数的代数形式混合运算 ,同时也考查了学生的计算能力 . 复数 满足 可得 故答案为 2+3i. 10 一个几何体的三视图如图所示 (单位 : ),则该几何体的体积为 . 【答案】 【解析】本题主要考空间几何体的体积的计算 ,根据三视图得到该几何体的结构特点是解决本题的关键 该几何体是大圆柱的四分之一去掉小圆柱的四分之一 ,其中大圆柱的半径为 4,高为 4,小圆柱的半径为 2,高为 4,则大圆柱体积的四分之一为小圆柱体积的四分之一为 则几何体的体积为故答案为 11 由曲线 ,直线 和 及 轴围成的封闭图形的面积等于 . 【答案】 【解析】本题主要考查利用定积分求面积 ,同时考查了定积分的等价转化 ,直线 和 及 轴围成的封闭图形的面积 故答案为 . 12 在 的展开式中 , 的系数为 . 【答案】 【解析】本题主要考查二项式系数的性质 ,关键是熟记二项展开式的通项 ( ) ( ) 令 解得 的系数为 故答案为 560. 13 在 中 ,内角 的对边分别为 ,若 ,则角 的值为 . 【答案】 【解析】本题主要考查三角形的解法 ,考查正弦定理的应用 ,关键是注意三角形中的大边对大角 . 得 ( ) ( ) ,则 即 由正弦定理可得 故答案为14 如图 ,在三角形 中 , 为 边上的点 ,且 ,则 . 【答案】 【解析】本题主要考查向量的数乘运算 ,以及向量加法和减法的几何意义 ,向量数量积的运算及其计算公式 ( ) ( ), ( ) ; ( ) ; ( ) ( ) 故答案为 三、解答题：共 6题 15 已知函数 . (I)求函数 的最小正周期 ; (函数 在区间 上的最大值和最小值 . 【答案】 (I)因为 . 所以 的最小正周期 . (为 ,所以 . 于是 ,当 ,即 时 , 为最大值 ; 当 ,即 时 , 为最小值 , 所以 在区间 上的最大值为 ,最小值为 . 【解析】本题主要考查三角函数的化简求值 ,注意基本函数的基本性质是解题的关键 . (I)利用两角和与差的余弦公式展开 ,将函数的表达式化为一个三角函数的形式 ,直接求出函数的最小正周期 ;(过 ,求出 ,即可求出函数的最大值和最小值 . 16 某单位举行联欢活动 ,每名职工均有一次抽奖机会 ,每次抽奖都是从甲箱和乙箱中各随机摸取 个球 ,已知甲箱中装有 个红球 , 个绿球 ,乙箱中装有 个红球 , 个绿球 , 个黄球 个球中 ,若都是红球 ,则获得一等奖 ;若都是绿球 ,则获得二等奖 ;若只有 个红球 ,则获得三等奖 ;若 个绿球和 个黄球 ,则不获奖 . (I)求每名职工获奖的概率 ; ( 为前 名职工抽奖中获得一等奖和二等奖的次数之和 ,求 的分布列和数学期望 . 【答案】 (I)设 表示 “从甲箱中摸出 个绿球 ”, 表示 “从乙箱中摸出 个黄球 ”, 依题意 ,没获奖的事件为 ,其概率 , 每名职工获奖为其对立事件 ,其概率 , (名职工获得一等奖或二等奖的概率为 . 随机变量 的所有可能取值为 . 则 . 所以 ,随机变量 的分布列为 随机变量 的数学期望 【解析】本题主要考查概率的求法 ,考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法 ,解题时要认真审题 ,注意 次独立重复试验中事件 恰好发生 次的概率计算公式的合理运用 .(I)设 表示 “从甲箱中摸出 个绿球 ”, 表示 “从乙箱中摸出 个黄球 ”,依题意 ,没有获奖的事件为 ,先求出没有获奖的概率 ,由此利用对立事件概率计算公式能求出每名职工获奖的概率 ;(名职工获得一等奖或二等奖的概率为 ,随机变量 的可能取值为 0,1, 2,3,则 的分布列及数学期望 17 如图 ,在四棱锥 中 , 平面 ,且底面 为直角梯形 , 已知 . (I)求证 :平面 平面 ; ( 为 上的点 ,且 ,求证 : 平面 ; ( (条件下 ,求二面角 的余弦值 . 【答案】如图 ,以 为原点 ,分别以 所在直线为 轴 , 轴 , 轴建立空间直角坐标系 , 依题意可得 (I)证明 : , . . 又 , 平面 而 平面 , 平面 平面 (明 : , 点的坐标为 . . 设平面 的法向量为 , 则有 ,令 ,可得 , , ,即 . 平面 , 平面 . (平面 的法向量为 , , 则有 ,令 ,可得 . 由 (知平面 的法向量为 , . 即二面角 的余弦值为 . 【解析】本题主要考查面面垂直的证明 ,考查线面平行的证明 ,考查二面角的余弦值的求法 ,解题时要认真审题 ,注意向量法的合理运用 .(I)以 为原点 ,分别以 所在直线为 轴 , 轴 , 轴建立空间直角坐标系 ,利用向量法能证明平面 平面 (出平面 的法向量和 ,由此利用向量法能证明 平面 . (出平面的法向量和平面 的法向量 ,利用向量法能求出二面角 的余弦值 . 18 在数列 中 , ,其前 项和 满足 . (I)求 的通项公式 ; ( ,求 . 【答案】 (I)由 , 得 , 由 ,可知 ,故 . 当 时 , ; 当 时 , ,符合上式 ,则数列 的通项公式 ( ). (题意 , , 则 . 设 , 故 , 而 . 两式相减 ,得 , 故 . 【解析】本题主要考查数列的通项公式和前 项和的求法 ,解题时要认真审题 ,注意错位相减法的合理运用 . (I)由 ,得 的通项公式 ;( (I)知 : 由此利用错位相减法能求出 19 已知椭圆 )的离心率 为椭圆 上的点 . (I)求椭圆 的方程 ; (直线 )与椭圆 交于不同的两点 ,且线段 的垂直平分线过定点 ,求实数 的取值范围 . 【答案】 (I)依题意 ,得 ,解得 , 故椭圆 的方程为 . ( , 由 ,消去 , 得 . 依题意 , 即 . 而 ,则 , 所以线段 的中点坐标为 . 因为线段 的垂直平分线经过定点 , 所以线段 的垂直平分线的方程为 , 所以 在直线 上 , 即 . 故 ,则有 , 所以 . 故 或 . 所以实数 的取值范围是 ( ) ( ). 【解析】本题主要考查椭圆方程的求法 ,注意运用离心率公式和点满足椭圆方程 ,考查直线的斜率的取值范围 ,注意运用直线方程和椭圆方程联立 ,运用判别式大于 0和韦达定理 ,以及中点坐标公式 ,两直线垂直的条件 :斜率之积为 .(I)运用椭圆的离心率公式和 的坐标满足椭圆方程 ,以及 的关系 ,解方程可得 ,进而得到椭圆方程 ;(,将直线方程代入椭圆方程 ,消去 ,运用韦达定理和判别式大于 0,求得线段 的中点坐标 ,求得 的垂直平分线方程 ,代入中点坐标 ,化简整理 ,可得 的不等式 ,解不等式即可得到所求 的范围 . 20 设函数 . (I)当 时 ,求 的最大值 ; ( ,其图像上任 意一点 处的切线的斜率 恒成立 ,求实数 的取值范围 ; ( 时 ,方程 有唯一实数解 ,求正实数 的值 . 【答案】 (I)依题意 ,可知函数 的定义域为 . 当 时 , , 令 ,解得 或 (舍去 ). 当 时 , 单调递增 ; 当 时 , 单调递减 . 所以 即为 的最大值 . (题意 , , 则有 在 上恒成立 , 所以 . 当 时 , 取得最大值 ,所以 ( 时 , , 因为方程 有唯一实数解 ,即 有唯一实数解 , 设 ,则 . 令 ,得 . 因为 ,所以 (舍去 ), . 当 时 , 单调递减 ; 当 时 , 单调递增 ; 当 时 , 取得最小值 , 因为 有唯一解 ,所以 . 则 ,即 ,所以 . 因为 ,所以 . 令 ,则 , 因为当 时 , 是