中考二轮复习专题汇编：《圆的综合》

中考二轮复习：圆的综合1如图，C，D是以AB为直径的O上的点，弦CD交AB于点E（1）当PB是O的切线时，求证：PBDDCB；（2）已知OA4，E是半径OA的中点，求线段DE的长（1）证明：AB是O的直径，ADB90，即BAD+ABD90，PB是O的切线，ABP90，即PBD+ABD90，BADPBD，又BADDCB，PBDDCB；（2）解：连接OC，如图：，AB是直径，AOCBOC90，OA4，E是半径OA的中点，AEOEOA2，CE2，BEOB+OE6，AC、AEDCEB，ADECBE，AEBECEDE即262DE，解得：DE2如图，已知BCAC，圆心O在AC上，点M与点C分别是AC与O的交点，点D是MB与O的交点，点P是AD延长线与BC的交点，且ADAOAMAP（1）连接OP，证明：ADMAPO；（2）证明：PD是O的切线；（3）若AD12，AMMC，求PB和DM的值（1）证明：连接OD、OP、CDADAOAMAP，AA，ADMAPO（2）证明：ADMAPO，ADMAPO，MDPO，DOPMDO，POCDMO，ODOM，DMOMDO，DOPPOC，OPOP，ODOC，ODPOCP（SAS），ODPOCP，BCAC，OCP90，ODAP，PD是O的切线（3）解：连接CD由（1）可知：PCPD，AMMC，AM2MO2R，在RtAOD中，OD2+AD2OA2，R2+1229R2，R3，OD3，MC6，AP18，DPAPAD18126，O是MC的中点，点P是BC的中点，PBCPDP6，MC是O的直径，BDCCDM90，在RtBCM中，BC2DP12，MC6，BM6，BCMCDM，即，DM23如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B（3，2），边CB上一点E（1，2），P是y轴正半轴上一动点，过O，P，E三点的M交x轴于点F（1）在点P的整个运动过程中，当M与边BC相切时，则P点的纵坐标为（0，）连结PE，EF，PF，tanPFE的值始终是（2）当矩形OABC恰好有2个顶点落在M上时，求P点坐标（3）若点O，H关于点M成中心对称，连结EH，BH当BEH是等腰三角形时，写出所有符合条件的P点坐标解：（1）如图1中，连接EM，OM，作MGOC于G设EMOMrBC是M的切线，MEC90，ECGMGC90，四边形EMGC是矩形，ECMG，EMCG，B（3，2），E（1，2），OC3，ECMG1，MGOP，OGOP，在RtOMG中，OM2MG2+OG2，r212+（2r）2，r，OGOCCG2，OP2OG故答案为（0，）如图2中，连接OEEFPEOP，OCE90，EC1，OC2，tanECO，tanEFPtanEOC，故答案为（2）如图21中，当M经过点C时，P（0，2）如图22中，当M经过点A时，PCEPEAB90，CEP+BEA90，BEA+BAE90，CEPEAB，PCEEBA，PC1，OP1，P（0，1）如图23中，当M经过点B时，作FGCB交CB的延长线于G，PCEEGF，根据对称性BGCG1，CG3，可得PC1.5，OP0.5，P（0，0.5），综上所述，满足条件的点P的坐标为（0，2）或（0，1）或（0，0.5）（3）如图31中，当HEHB时，连接FH，延长FH交BC于NOH是直径，OFH90，BCOA，FNC1809090，FNEB，HEBH，ENBN1，PCEFNE90，PECEFN，PCEENF，PC，OP，P（0，）如图32中，当BEBH时，连接PH由题意四边形OPHF，四边形PCNH都是矩形，根据对称性可知ECBN1，EN2+13，FN2，PCEENF，PC或0，OP，P（0，）如图33中，当EHBE时，PCEEQF，解得PC，OP2，P（0，2）如图34中，当EHBE时，同法可得P（0，2+）综上所述，满足条件的点P的坐标为（0，）或（0，）或（0，2）或（0，2+）4如图，已知直角ABC中，ABC90，BC为O的直径，D为O与斜边AC的交点，作ECB使得CA平分ECB，且CEDE；DE与AB交与点F（1）猜想并证明直线DE与O的位置关系；（2）若DE3，CE4，求O的半径；（3）记BCD的面积为S1，CDE的面积为S2，若S1：S23：2求sinAFD的值解：（1）直线DE与O相切，证明如下：连接OD，CA平分ECB，ECDOCD，ODOC，OCDODC，ODCECD，ODCE，ODDE，D为O与斜边AC的交点，直线DE与O相切；（2）如图2，连接BD，OD，在RtCED中，DE3，CE4，DC5，BD为直径，BDC90，CEDE，E90BDCE90，由（1）知ECDDCB，BDCDEC，即，BC，即O的半径为；（3）在四边形BODF中，FBOFDO90，BFD+BOD180BFD+AFD，BODAFD，sinBODsinAFD，BDCDEC，设BC2，CD2，BD2，过点D作DGBC于G，如图3，SEDCBCDGBDCD，2DG22DG，在RtODG中，sinGOD，sinAFD5如图，AB为半圆的直径，O为圆心，C为圆弧上一点，AD垂直于过C点的切线，垂足为D，AB的延长线交直线CD于点E（1）求证：AC平分DAB（2）若AB4，B为OE的中点，求tanE的值（3）在（2）的前提下，若CFAB，垂足为点F，求CF的长（1）证明：连结OC，如图，DE与O切于点C，OCDE，ADDE，OCAD，23，OAOC，13，12，即AC平分DAB；（2）解：B为OE的中点，OCOBOE，E30，tanE；（3）AB4，OC2，CFOCsin6026如图，以AB为直径作半圆O，点C是半圆上一点，ABC的平分线交O于E，D为BE延长线上一点，且DEFE（1）求证：AD为O切线；（2）若AB20，tanEBA，求BC的长（1）证明：BE平分ABC，12，AB为直径，AEBD，DEFE，34，13，42，AB为直径，AEB90，2+BAE904+BAE90，即BAD90，ADAB，AD为O切线；（2）解：AB为直径，ACB90，在RtABC中，tanEBA，设AE3k，BE4k，则AB5k20，AE12，BE16，连接OE交AC于点G，如图，12，OEAC，32，tanEBAtan3，设AG4x，EG3x，AE5x12，x，AG，OGBC，AC2AG，BC7如图，在RtABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC、AB相交于点D、E，连接AD，已知CADB（1）求证：AD是O的切线；（2）若B30，AC，求劣弧BD与弦BD所围图形的面积（3）若AC4，BD6，求AE的长（1）证明：连接OD，如图1所示：OBOD，3B，B1，13，在RtACD中，1+290，4180（2+3）90，ODAD，则AD为O的切线；（2）解：连接OD，作OFBD于F，如图2所示：OBOD，B30，ODBB30，DOB120，C90，CADB30，CDAC1，BCAC3，BDBCCD2，OFBD，DFBFBD1，OFBF，OB2OF，劣弧BD与弦BD所围图形的面积扇形ODB的面积ODB的面积2；（3）解：CADB，CC，ACDBCA，AC2CDBCCD（CD+BD），即42CD（CD+6），解得：CD2，或CD8（舍去），CD2，AD2，AB4，AD是O的切线，AD2AEAB，AE8如图，已知AB是O的直径，BE是O的弦，BC是ABE的平分线且交O于点C，连接AC，CE，过点C作CDBE，交BE的延长线于点D（1）DCECBE；（填“”“”或“”）（2）求证：DC是O的切线；（3）若O的直径为10，sinBAC，求BE的长（1）解：AB为O的直径，ACB90，CDBED90，ACBD，BC是ABE的平分线，ABCCBD，ABCCBD，BACBCD，四边形ABEC是圆内接四边形CEDBAC，DBC+BCD90，ECD+CED90DCECBE；故答案为；（2）证明：连接OC，OBOC，OBCOCB，ABCCBDOCBCBD，OCBD，CDBD，OCCD，CD是O的切线；（3）解：O的直径为10，sinBAC，sinBAC，BC8，AC6，ABCCBD，即，CD4.8，BD6.4，CDEACB90，CEDBAC，CEDBAC，即，DE3.6，BEBDDE6.43.62.89如图，四边形ABCD内接于O，对角线AC为O的直径，过点C作CEAC交AD的延长线于点E，F为CE的中点，连结DB，DF（1）求CDE的度数（2）求证：DF是O的切线（3）若tanABD3时，求的值解：（1）对角线AC为O的直径，ADC90，CDE1809090；（2）如图，连接OD，CDE90，F为CE的中点，DFCF，FDCFCD，ODOC，ODCOCD，FDC+ODCFCD+OCD，即ODFOCF，CEAC，ODFOCF90，即ODDF，DF是O的切线（3）E90ECDDCAABD，tanEtanDCAtanABD3，设DEx，则CD3x，AD9x，AC，10如图，已知点C是以AB为直径的O上一点，CHAB于点H，过点B作O的切线交直线AC于点D，点E为CH的中点，连接AE并延长交BD于点F，连接CF（1）求证：FDFB；（2）求证：CF是O的切线；（3）若FBFE3，求O的半径（1）证明：连接OC，BC，BD切O于B，CHAB，CHADBA90，CHBD，AECAFD，AHEABF，又CEEH（E为CH中点），BFDF，AB为O的直径，ACBDCB90，BFDF，CFDFBF（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），即CFBF；（2）证明：BF切O于B，DBA90，DBC+CBA90，AB为直径，ACB90，CBA90，FBCCAB，OCOA，CFBF，FCBFBC，OCAOAC，FCBCAB，ACB90，ACO+BCO90，FCB+BCO90，即OCCG，CG是O切线；（3）解：BFCFDF（已证），EFBF3，EFFC3，FCEFEC，AHECHG90，FAH+AEH90，G+GCH90，AEHCEF，GFAG，AFFG，FBAG，ABBG，GBA是O割线，ABBG，FBFE3，由切割线定理得：（3+FG）2BGAG2BG2，在RtBFG中，由勾股定理得：BG2FG2BF2，FG26FG270，解得：FG9，FG3（舍去），AB611如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（3，4），P为线段OA上一动点，过O，P，B三点的圆交x轴正半轴于点C，连结AB，PC，BC，设OPm（1）求证：当P与A重合时，四边形POCB是矩形（2）连结PB，求tanBPC的值（3）记该圆的圆心为M，连结OM，BM，当四边形POMB中有一组对边平行时，求所有满足条件的m的值（4）作点O关于PC的对称点O，在点P的整个运动过程中，当点O落在APB的内部（含边界）时，请写出m的取值范围解：（1）COA90PC是直径，PBC90A（0，4）B（3，4）ABy轴当A与P重合时，OPB90四边形POCB是矩形（2）连结OB，（如图1）BPCBOCABOCABOBOCBPCBOCABOtanBPCtanABO（3）PC为直径M为PC中点如图2，当OPBM时，延长BM交x轴于点NOPBMBNOC于NONNC，四边形OABN是矩形NCONAB3，BNOA4设M半径为r，则BMCMPMrMNBNBM4rMN2+NC2CM2（4r）2+32r2解得：rMN4M、N分别为PC、OC中点mOP2MN如图3，当OMPB时，BOMPBOPBOPCO，PCOMOCOBMBOMMOCMCO在BOM与COM中BOMCOM（AAS）OCOB5AP4mBP2AP2+AB2（4m）2+32ABOBOCBPC，BAOPBC90ABOBPCPCPC2BP2（4m）2+32又PC2OP2+OC2m2+52（4m）2+32m2+52解得：m或m10（舍去）综上所述，m或m（4）点O与点O关于直线对称POCPOC90，即点O在圆上当O与O重合时，得m0当O落在AB上时，则m24+（4m）2，得m当O与点B重合时，得m0m或m12如图，AB是O的直径，点C、D在O上，且AD平分CAB，过点D作AC的垂线，与AC的延长线相交于E，与AB的延长线相交于点F，G为AB的下半圆弧的中点，DG交AB于H，连接DB、GB（1）证明EF是O的切线；（2）求证：DGBBDF；（3）已知圆的半径R5，BH3，求GH的长解：（1）证明：连接OD，OAOD，OADODA又AD平分BAC，OADCADODACAD，ODAE，又EFAE，ODEF，EF是O的切线（2）AB是O的直径，ADB90DAB+OBD90由（1）得，EF是O的切线，ODF90BDF+ODB90ODOB，ODBOBDDABBDF又DABDGBDGBBDF（3）连接OG，G是半圆弧中点，BOG90在RtOGH中，OG5，OHOBBH532GH13如图，O的直径AB26，P是AB上（不与点A、B重合）的任一点，点C、D为O上的两点，若APDBPC，则称CPD为直径AB的“回旋角”（1）若BPCDPC60，则CPD是直径AB的“回旋角”吗？并说明理由；（2）若的长为，求“回旋角”CPD的度数；（3）若直径AB的“回旋角”为120，且PCD的周长为24+13，直接写出AP的长解：CPD是直径AB的“回旋角”，理由：CPDBPC60，APD180CPDBPC180606060，BPCAPD，CPD是直径AB的“回旋角”；（2）如图1，AB26，OCODOA13，设CODn，的长为，n45，COD45，作CEAB交O于E，连接PE，BPCOPE，CPD为直径AB的“回旋角”，APDBPC，OPEAPD，APD+CPD+BPC180，OPE+CPD+BPC180，点D，P，E三点共线，CEDCOD22.5，OPE9022.567.5，APDBPC67.5，CPD45，即：“回旋角”CPD的度数为45，（3）当点P在半径OA上时，如图2，过点C作CFAB交O于F，连接PF，PFPC，同（2）的方法得，点D，P，F在同一条直线上，直径AB的“回旋角”为120，APDBPC30，CPF60，PCF是等边三角形，CFD60，连接OC，OD，COD120，过点O作OGCD于G，CD2DG，DOGCOD60，DGODsinDOG13sin60，CD13，PCD的周长为24+13，PD+PC24，PCPF，PD+PFDF24，过O作OHDF于H，DHDF12，在RtOHD中，OH5，在RtOHP中，OPH30，OP10，APOAOP3；当点P在半径OB上时，同的方法得，BP3，APABBP23，即：满足条件的AP的长为3或2314如图1，将长为10的线段OA绕点O旋转90得到OB，点A的运动轨迹为，P是半径OB上一动点，Q是上的一动点，连接PQ（1）当POQ90时，PQ有最大值，最大值为10；（2）如图2，若P是OB中点，且QPOB于点P，求的长；（3）如图3，将扇形AOB沿折痕AP折叠，使点B的对应点B恰好落在AO的延长线上，求阴影部分面积解：（1）P是半径OB上一动点，Q是上的一动点，当PQ取最大时，点Q与点A重合，点P与点B重合，此时，POQ90，PQ10，故答案为：90，10；（2）解：如图，连接OQ，点P是OB的中点，OPOBOQQPOB，OPQ90在RtOPQ中，cosQOP，QOP60，lBQ10；（3）由折叠的性质可得，在RtBOP中，OP2+（10OP）2解得OP，S阴影S扇形AOB2SAOP15如图，在ABC中，ACB90，O是边AC上一点，以O为圆心，以OA为半径的圆分别交AB、AC于点E、D，在BC的延长线上取点F，使得BFEF（1）判断直线EF与O的位置关系，并说明理由；（2）若A30，求证：DGDA；（3）若A30，且图中阴影部分的面积等于2，求O的半径的长解：（1）连接OE，OAOE，AAEO，BFEF，BBEF，ACB90，A+B90，AEO+BEF90，OEG90，EF是O的切线；（2）AED90，A30，EDAD，A+B90，BBEF60，BEF+DEG90，DEG30，ADE+A90，ADE60，ADEEGD+DEG，DGE30，DEGDGE，DGDE，DGDA；（3）AD是O的直径，AED90，A30，EOD60，EGO30，阴影部分的面积rr2解得：r24，即r2，即O的半径的长为216如图，在ABC中，C90，AC6，BC8，点O在AC上，OA2，以OA为半径的O交AB于点D，AC于G，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE（1）求证：直线DE是O的切线；（2）求线段DE的长；（3）求线段AD的长（1）证明：连接OD，EF垂直平分BD，EBED，BEDB，OAOD，ODAA，C90，A+B90，EDB+ODA90，ODE90，ODDE于D，DE是O的切线（2）解：连接OE，设DEBEx，CE8x，OE2DE2+OD2EC2+OC2，42+（8x）222+x2，解得x4.75，DE4.75（3）连结BG，DGAG是直径，GDAB，由SABGAGBCABGD可得：4810GD，GD3.2，AD2.4，17如图，已知在ABP中，C是BP边上一点，PACPBA，O是ABC的外接圆，AD是O的直径，且交BP于点E（1）求证：PA是O的切线；（2）过点C作CFAD，垂足为点F，延长CF交AB于点G，若AGAB48，求AC的长；（3）在满足（2）的条件下，若AF：FD1：2，GF2，求O的半径及sinACE的值解：（1）证明：连接CD，AD是O的直径，ACD90，CAD+ADC90