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,余弦定理,1、向量的数量积：,2、勾股定理：,证明：,相关知识复习：,当时，,当时，,当时，,AB边的大小与BC、AC边的大小和角C的大小有什么关系呢？怎样用它们表示AB呢？,新课导入：,在ABC中,解：,余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。,余弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。,D,（1）当角C为锐角时,过A作ADCB交CB于D,在Rt中,在中,证法2：,（2）当角C为钝角时,过A作ADCB交BC的延长线于D,在Rt中,在中,D,（3）当角C为钝角时，,由勾股定理知仍然成立。,证法3：以CB所在的直线为X轴，过C点垂直于CB的直线为Y轴，建立如图所示的坐标系，则A、B、C三点的坐标分别为：,利用余弦定理，可以解决：（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边及夹角，求第三边和其他两个角.,A,B,C,a,b,c,c2=a2b22abcosC.,例1：在ABC中，已知a7，b10，c6，求A、B和C.,解：,A44,B180(AC)100.,例2：在ABC中，已知a2.730，b3.696，C8228，解这个三角形.,解：,由余弦定理c2=a2b22abcosC,=2.7302+3.6962-22.7303.696cos8228,得c4.297.,B180(AC)5830.,例3：ABC三个顶点坐标为(6，5)、(2，8)、(4，1)，求A.,解法一：,A84.,例3：ABC三个顶点坐标为(6，5)、(2，8)、(4，1)，求A.,解法二：,A84.,例3：ABC三个顶点坐标为(6，5)、(2，8)、(4，1)，求A.,分析三：A=+,tan=?,tan=?,tan(+)=,解：,在AOB中，|ab|2|a|2|b|22|a|b|cos12061,例4：已知向量a、b夹角为120且|a|5，|b|4，求|ab|、|ab|及ab与a的夹角.,在OAC中，|a+b|2|a|2|b|22|a|b|cos6021,COA即ab与a的夹角约为49.,例5已知四边形ABCD的四边长为AB=2.4,BC=CD=DA=1,A=30,求C.,解:BD2=AB2+AD22ABADcosA2.60,C107.5.,思考：若A=,怎样用表示四边形ABCD的面积？,练习：ABC中,（1）a4，b3，C60，则c_；,14.6,（2）a=2,b=3,c=4,则C=_.,104.5,（3）a2，b4，C135，则A_.,研究题总结解三角形的方法：已知三角形边角中哪三个量，有唯一解或多解或无解？分别用什么方法？,课堂小结：,1、余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。,2、余弦定理可以解决以下两类
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