新教材高中数学第二章等式与不等式2.2.1不等式及其性质课件新人教B必修1

2.2不等式2.2.1不等式及其性质,1.不等式与不等关系不等式的定义所含的两个要点.(1)不等符号，或.(2)所表示的关系是不等关系.,【思考】(1)不等号“，”的读法分别是什么？提示：“”读作小于或者等于，“”读作大于或者等于.,(2)不等式“ab”的含义是什么？只有当“ab”与“a=b”同时成立时，该不等式才成立，是吗？提示：不等式ab应读作：“a小于或等于b”，其含义是指“或者aa.,3.不等式的性质性质1aba+cb+c性质2ab，c0acbc性质3ab，cb，bcac性质5abbcac-b推论2ab，cda+cb+d推论3ab0，cd0acbd推论4ab0anbn(nN，n1)推论5ab0_,【思考】(1)性质2，3可以概括为在不等式的两边同乘以一个不为零的数，不改变不等号的方向，对吗？为什么？提示：不对.要看两边同乘以的数的符号，同乘以正数，不改变不等号的方向，但是同乘以负数时，要改变不等号的方向.,(2)推论1类似于解方程中的什么法则？提示：移项法则.(3)使用推论3，4，5时，要注意什么条件？提示：各个数均为正数.,5.证明问题的常用方法(1)综合法：从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法.(2)分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止.,(3)反证法：首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立.反证法是一种间接证明的方法.,【思考】(1)综合法与分析法有什么区别？提示：综合法是从已知条件出发，逐步寻找的是必要条件，即由因导果；分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因.,(2)反证法的实质是什么？提示：反证法的实质就是否定结论，推出矛盾，从而证明原结论是正确的.,【素养小测】1.思维辨析(对的打“”，错的打“”)(1)不等式x2的含义是指x不小于2.()(2)两个实数a，b之间，有且只有ab，a=b，ab，则ac2bc2.(),(4)若a+cb+d，则ab，cd.(),提示：(1).不等式x2表示x2或x=2，即x不小于2.(2).任意两数之间，有且只有ab，a=b，abc2ab；反之，c=0时，abac2bc2.,(4).取a=4，c=5，b=6，d=2，满足a+cb+d，但不满足ab，故此说法错误.,2.设bb-dB.acbdC.a+cb+dD.a+db+c【解析】选C.因为ba，d3x,类型一作差法比较大小【典例】比较下列各式的大小：(1)当x1时，比较3x3与3x2-x+1的大小.(2)当x，y，zR时，比较5x2+y2+z2与2xy+4x+2z-2的大小.,【思维引】利用作差法比较，先作差、化简，再判断差的符号.,【解析】(1)3x3-(3x2-x+1)=(3x3-3x2)+(x-1)=3x2(x-1)+(x-1)=(3x2+1)(x-1).因为x1，所以x-10，而3x2+10.所以(3x2+1)(x-1)0，所以3x33x2-x+1.,(2)因为5x2+y2+z2-(2xy+4x+2z-2)=4x2-4x+1+x2-2xy+y2+z2-2z+1=(2x-1)2+(x-y)2+(z-1)20，所以5x2+y2+z22xy+4x+2z-2，当且仅当x=y=且z=1时取到等号.,【素养探】本例考查作差法比较大小，突出考查了逻辑推理与数学运算的核心素养.本例(1)中，若把条件“x1”去掉，试比较所给两式的大小.,【解析】去掉条件“x1”后需对差的符号进行讨论.显然3x2+10，所以当x1时，(3x2+1)(x-1)0，所以3x33x2-x+1.,【类题通】作差法比较大小的步骤,【习练破】已知x，yR，P=2x2-xy+1，Q=2x-，试比较P，Q的大小.【解析】因为P-Q=2x2-xy+1-=x2-xy+x2-2x+1=+(x-1)20，所以PQ.,【加练固】比较下列各组中两个代数式的大小：(1)x2+3与2x；(2)已知a，b为正数，且ab，比较a3+b3与a2b+ab2的大小.,【解析】(1)(x2+3)-2x=x2-2x+3=(x-1)2+220，所以x2+32x.,(2)(a3+b3)-(a2b+ab2)=a3+b3-a2b-ab2=a2(a-b)-b2(a-b)=(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b)，因为a0，b0，且ab，所以(a-b)20，a+b0.所以(a3+b3)-(a2b+ab2)0，即a3+b3a2b+ab2.,类型二利用不等式的性质判断命题真假【典例】下列命题中一定正确的是()世纪金榜导学号A.若ab且，则a0，bb，b0，则1,C.若ab，且a+cb+d，则cdD.若ab且acbd，则以cd,【思维引】利用不等式的性质和特殊值检验求解.,【解析】选A.对于A项，因为，所以0，即0，又ab，所以b-a0，b0，b3+2，但1(-2)7，但-1b，则ac2bc2B.若ab0，则C.若a|b|，则a2b2,【解析】选D.当c=0时，有ac2=bc2，故A为假命题；当ab0，有，故B为假命题；a-b0，故C为假命题；若a|b|0，则a2b2，故D为真命题.,【类题通】1.运用不等式的性质判断命题真假的技巧(1)运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能随意捏造性质.,(2)解有关不等式选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算.,2.倒数性质：(1)若ab0，则.(2)若0ab，则.即ab，ab0.,【习练破】若abc，则下列不等式成立的是()A.B.C.acbcD.acbc，所以a-cb-c0.所以.,【加练固】设a1b-1，则下列不等式中恒成立的是()A.B.C.a22bD.ab2,【解析】选D.A错，例如a=2，b=-时，=-2，此时，；B错，例如a=2，b=时，=2，此时，；C错，例如时，此时a21，b2b2.,类型三利用不等式的性质证明不等式角度1综合法【典例】已知ab0，cdb0，所以a-cb-d0，所以0b0，c-d0，所以a-c0，b-d0，,b-a0，所以.,【素养探】本题主要考查不等式的基本性质，同时考查了逻辑推理的核心素养.本例条件不变，结论改为求证，请证明.,【证明】因为c-d0，因为ab0，所以a-cb-d0，所以(a-c)2(b-d)20，所以0，又e0，且x+y2.求证：中至少有一个小于2.,【证明】假设都不小于2，即2，2.因为x，y0，所以1+x2y，1+y2x.所以2+x+y2(x+y)，即x+y2与已知x+y2矛盾.所以中至少有一个小于2.,类型四比较大小在实际问题中的应用【实际情境】某单位组织职工去某地参观学习需包车前往.甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠”，乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠.”这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位的人数，比较两车队的收费哪家更优惠.,【转化模板】1.由题意可得甲、乙两车队收费与乘车人数的表达式，要比较哪个车队收费更优惠，可依据作差法模型解决.2.设该