第九章 滞后变量回归模型.doc

第九章 滞后变量回归模型回归分析经常遇到时间序列资料，如果在回归模型中不仅含有解释变量X的当前值而且含有X的滞后值，它就称为分布滞后模型(Distributed-Lag Model)，如（9.0.1）就是一个分布滞后模型。如果模型中包含一个或若干个因变量的滞后值，它就称为自回归模型(Autoregressive Model)，如（9.0.2）就是一个自回归模型。分布滞后模型与自回归模型都属于滞后变量回归模型，它在经济领域有广泛的应用。一个当前的经济指针，经常受到过去某些经济指针(包括自身的)影响，这是件很常见很容易理解的事情。我们在处理这一类问题时要考虑下列问题：1经济分析中滞后起什么作用?2滞后的原因是什么?3在实证分析中对滞后有没有什么理论判别方法?4自回归与分布滞后有什么关系?能否从一个导出另一个?5滞后变量模型中有哪一些统计问题?6变量之间的滞后是否意味着灾难?如果是，如何度量它?这些问题有些是不能给出精确定义或精确解答的，只可体会其意思。我们以下主要是从经济模型的数学形式来展开讨论。第一节 模型概念：消费滞后、通胀滞后与存款创生实际经济活动中，因变量Y经常是与经济自变量的过去值有关，而与当前值有关反而少一些。为了具体说明这种滞后关系，我们看一些实例。1消费滞后假如一个消费者从今年起每年工资增加2000元，并将持续一段时间。他的消费行为将受到怎样的影响呢?一般来说，他不会把当年增加的收入全部花光。很可能是，他把每增加的2000元当年花掉800元，第二年花掉600元，第三年花掉400元，余下的永久储蓄起来。这样到第三年，他的消费增加额将是1800元。这样的消费函数写下就是（9.1.1）这里Y是消费开支，C是常数，X是收入。一般地，有限分布滞后模型可以写作（9.1.2）这里分布滞后k个时段。系数0称作短期系数，因为它给出X对Y同期线性作用大小。如果X的改变维持不变，那么(0+1)给出Y在下一周期的改变，(0+1+2)给出再下一周期的改变，等等。这些部分和称作中期乘子。最后，经过k个周期，我们得到（9.1.3）称为长期分布滞后乘子。类似地，无限分布滞后模型可以写作（9.1.4）它不需要确定分布滞后长度，反而数学处理方便一些。如果定义（9.1.5）则表示一种标准化系数，。于是可以将分布滞后模型改写为（9.1.6）2通胀滞后经济理论认为通货膨胀是一种基本的金融现象，因为在持续的经济增长中货币供给量总会超过实际需求。当然，通货膨胀与货币供应量的改变之间的联系不是实时的，总会滞后一个时期。研究显示二者之间大致滞后3-20个季度。下表摘自Keith M.Carlson(1980)的研究报告：“货币供应对价格的滞后关系”。样本周期自1955年第一季度至1969年第四季度，共60个季度。滞后周期取作20(季度)。滞后方程是表9.1.1系数值t值系数值t值m00.0411.276m110.0654.673m10.0341.538m120.0694.795m20.0301.903m130.0724.694m30.0292.171m140.0734.468m40.0302.235m150.0724.202m50.0332.294m160.0693.943m60.0372.475m170.0623.712m70.0422.798m180.0533.511m80.0483.249m190.0393.388m90.0543.783m200.0223.191m100.0594.3051.0317.870方程中M是货币M1B供应量(现金+可开支票的储蓄)改变的百分数。P是物价上涨的百分数。从长期来看，=1.0311，它是统计显著的(t=7.870t0.01(20)=2.528)，意味着货币供应量每增加1%，价格也相应上涨了1%。从短期看，m0=0.041意味着货币供应量每增加1%，当年物价上涨0.041%。表1是美国五、六十年代的资料，对我们只有参考价值。不过懂得通胀滞后对宏观调控的掌握是很重要的。3存款创生假如央行给银行系统注入1000亿元，那么银行的储蓄总额最终可达多少呢?假如法律要求银行必须留下20%作保证金，那么银行第一次可以贷出800亿元。这800亿元在银行外流通一段时间后，必须又会被存回银行。银行对这800亿元新到的存款除留下20%作保证金外，可将其余的640亿元再贷出去，这贷出去的存款又会被别人存回银行，如此等等，最终，根据著名的乘数法则，银行储蓄总额会达到：（亿元）用滞后模型描述就是： 这里Xt=1000(亿元)，=0.8。当然这个5000亿不是一夜之间变出来的，它要经过一段时间。这几个例子只是经济指针之间关系滞后的很少一部分代表。为什么会发生滞后呢?当然主要是技术上的原因。生产过程是一环套一环的，只有等上一工序完成，才能进行下一工序。资本、技术、新产品的扩散，都需要时间。除此之外，人们的心理因素与社会习惯势力也起着滞后作用，新事物、新方法、新产品都需要示范使人信服才能普遍被接受。经济制度包括财政税收制度也使滞后现象成为必然。第二节 有限分布滞后模型一、滞后长度已知时模型的估计若要估计分布滞后模型这里N已知，称作滞后长度，可以使用标准记法这里注意矩阵X里包含前定样本值，假定这N个观察也是可供利用的。如果也满足标准假设，即，Xt被看作固定的，非随机的，那么基于样本信息Y与X，的最小二乘估计为，它是的无偏估计。这样估计在分布滞后模型里存在一些问题。首先，在实际问题中滞后长度N很少已知。如果将某个上界M代替N(MN)，则M的LSE将不是有效估计，因为它忽略了限制。这个问题我们放到下段解决。第二个问题是X的某些列向量可能线性相关。这是一个典型的复共线问题。如果分布滞后长度N较短，比如是3或4，那么复共线问题可能不严重。然而实际问题N=10并不少见， 如果Xt改变量不大，或者移动有规则，就会产生严重的复共线。复共线下的LSE预测精度很差，如何处理这一问题我们也放到以后解决。二、分布滞后长度的确定如果真实滞后长度N未知，但它有上界M，那么如何选择N是一个基本的问题。我们先谈一个简易法则，它称为分布滞后模型的特定估计(Ad Hoc Estimation)。因为假定Xt是非随机的，至少是与不相关的，等等也是如此，所以可以应用普通最小二乘(OLS)。我们可以作一个回归序列：（1）Yt对Xt回归；（2）Yt对Xt，Xt-1回归；（3）Yt对Xt，Xt-1，Xt-2回归；这个过程一直进行到下列情况发生就停止：最后的滞后变量统计不显著；或者最后的滞后变量符号与上一个回归方程相比发生改变。Alt和Tinbergen将美国1930-1939年石油消费量Y对新订货量X作回归，以季度为滞后单位，采用Ad Hoc方法：=8.37+0.171Xt=8.27+0.111Xt+0.064Xt-1=8.27+0.109Xt+0.071Xt-1-0.055Xt-2=8.32+0.108Xt+0.063Xt-1+0.022Xt-2-0.020Xt-3结果他们认为第二个回归方程是最好的。因为第三、第四个方程里Xt-2的系数是不稳定的，此外系数为负对经济现象不好作出解释。于是滞后长度就取1为合适。这就是Ad Hoc估计与Ad Hoc方法。下面的统计检验方法思想与上面的差不多，不过顺序正好相反。因为分布滞后回归变量Xt，Xt-1有自然顺序，我们就顺其自然建立一系列假设检验：这里每一个零假设检验都是在上一个零假设被接受的条件下进行的。当某一零假设被拒绝，检验过程就停止。假设，则可以用F检验或t检验。下面我们构造统计量。记（9.2.4）（9.2.5）（9.2.6）则检验第i个零假设的似然比统计量可写作（9.2.7）如果假设为真，则这个统计量服从自由度为的F分布。注意正是滞后长度为的模型的参数个数。除了F检验以外，对模型（9.2.8）中的最后系数的显著性也可以用t检验。如果使用上述假设检验过程，则滞后长度N依赖于检验水平，更准确地说是依赖于控制犯第一类错误的概率。所谓第一类错误是指零假设正确而被拒绝的错误。然而，在一系列检验中，全部拒绝的概率并不是恰在第i次检验中单个的显著性水平。例如，当为真时拒绝它的概率应该是拒绝或的概率。如果，为真，那么统计量将有相应的F分布，而可以被证明与都独立。应用基本的概率多除少补公式可算得第i次检验时犯第一类错误的概率为这里是第i次个别检验的显著性水平，p0=0。全部概率是在，为真的条件下计算的，如果我们对每一个别检验使用同样的显著性水平，那么犯第一类错误的概率将会迅速增加。例如，如果对所有k取则，等等。实际上，如果最大的滞后长度M很大，那么合适的检验策略应该是在开始检验时取很小的显著性水平。也就是说，犯第一类错误的概率应该被控制在一个合理的水平，即使滞后长度相当大的话。算例9.2.2有限分布滞后模型原始数据共100个观察，自变数为1元，如下表。表9.2.2序号YX序号YX序号YX1-.0985.0739351.3980.2019692.7891.569622.5138.8967364.2310.9423704.8810.87353-.8275.0203373.8855.8388713.0440.756241.1821.0684384.4633.9368722.0428.56365.9262.3585391.9477.321373.7279.153362.4641.5556402.2425.6748741.7162.763972.2399.7245411.6532.1058752.8040.788983.6225.4150423.0682.6750762.7111.499191.3987.0888431.8767.6057771.3276.1758102.6762.9597441.1603.4230781.2481.4498112.4671.326845.2905.0128792.2675.5261121.4037.071346.8379.7789802.4530.0359132.2836.850647.9048.2617813.0846.7595143.0689.9018481.9855.9705822.5924.5914151.2260.7672494.3127.8766832.6237.9440161.4753.8805501.6077.5075843.2225.9434171.8868.6952512.3510.300285-.1255.3479182.7819.764452.7831.6348863.5974.8374192.3368.4866534.0621.4658871.9880.1989202.3845.783954.9515.4570881.2730.5806212.5771.3054553.9985.7689893.6314.9075222.5453.476856.6632.2040903.3495.6540231.8029.338357.3977.0567912.0034.743424-.1072.6053582.9906.8021922.5205.6939253.5259.9940591.5791.2238931.0241.3734262.5074.3538601.3804.6952942.4878.952427.8473.4566613.1039.7836953.8875.380828-.2218.0036623.4001.9079962.1767.4961293.4271.8622632.8314.8137972.5551.9264301.5897.392464-.8988.3535983.8721.8940311.0131.4099651.4643.0211991.7053.4167323.3436.7080663.8145.93521002.1483.0838333.5517.5868672.7535.8799342.7500.959068.7671.3099-有限分布滞后回归模型计算程序, 例 9.2.2 依据书中第 9 章, 第 2 节, 用Ad Hoc方法, 确定分布滞后长度, 同时计算回归模型。数据文件准备, 第一列是因变量 Y, 第二列是自变量 X, 滞后过程由程序自动完成。例922.D 数据文件中, n=100, M=1要显示原始资料吗? 0=不显示, 1=显示现在进行第 1 次回归, Y 对 X(t), 样本数 N=n 现在作线性回归显著性检验, 计算t,F,R 统计量请输入显著性水平a, 通常取a=0.01, 0.05, 0.10, a=? (0.05)-线 性 回 归 分 析 计 算 结 果 样本总数 100 自变量个数 1- 回归方程 Y = b0+b1*X1+.+b1*X1 Y = .7366 + 2.5605 X1 回归系数 b0, b1, b2, ., b1 .7366 2.5605- 残差平方和: 86.50 回归平方和: 55.87 误差方差的估计 : .8650 标准差 = .9301-线 性 回 归 显 着 性 检 验 显著性水平 : .050- 回归方程整体显著性F检验, H0:b0=b1=.=b1=0 F统计量: 63.2940 F临界值F(1, 98) 3.938 全相关系数 R : .6264- 回归系数逐一显著性t检验, H0:bi=0, i=1,.,1 t 临界值 t( 98) 1.6606 回归系数b1-b 1的t值: 9.8995-要作回归预测吗? 键入 0=不预测, 1=要预测 (0)要打印拟合数据吗? 0=不打印, 1=打印 (0)现在进行第 2 次回归, Y 对 X(t), X(t-1),.X(t- 1), 样本数 N=n- 1要作滞后回归, 需要决定自变量是往前移动还是往后移动第 1 列是 X(1) 到 X(N), 第 2 列是 X(2) 到 X(N+1), 第 3 列是X(3) 到 X(N+2), 等等, 称往前移动。第 1 列是 X(1) 到 X(N), 第 2 列是 X(0) 到 X(N-1), 第 3 列是X(-1) 到 X(N-2), 等等, 称往后移动。请键入: 1=往前移动, -1=往后移动 现在作线性回归显著性检验, 计算t,F,R 统计量请输入显著性水平a, 通常取a=0.01, 0.05, 0.10, a=? （0.05）-线 性 回 归 分 析 计 算 结 果 样本总数 99 自变量个数 2- 回归方程 Y = b0+b1*X1+.+b2*X2 Y = .7094 + 2.6262 X1 + -.0389 X2 回归系数 b0, b1, b2, ., b2 .7094 2.6262 -.0389- 残差平方和: 85.00 回归平方和: 57.37 误差方差的估计 : .8586 标准差 = .9266-线 性 回 归 显 着 性 检 验 显著性水平 : .050- 回归方程整体显著性F检验, H0:b0=b1=.=b2=0 F统计量: 32.3949 F临界值F(2, 96) 3.091 全相关系数 R : .6348- 回归系数逐一显著性t检验, H0:bi=0, i=1,.,2 t 临界值 t( 96) 1.6609 回归系数b1-b 2的t值: 9.7473 .1444-要作回归预测吗? 键入 0=不预测, 1=要预测 (0)要打印拟合数据吗? 0=不打印, 1=打印 (0)对回归结果满意吗? 还要继续作滞后回归吗? (0) 1=继续滞后回归, 0=停止 (最多滞后回归14次)滞后回归结束现在有效原始资料与拟合数据个数都是 N= 99计算结束。 -下面是第1次回归的拟合效果图，其全相关系数是0.6264。第2次滞后回归的全相关系数是0.6348，拟合效果应该还有所改进。三、有限多项式滞后为了消除复共线的影响，Almon(1965)提出利用多项式来减少参数空间。对于有限个点，比如说n+1个，可以用一个不超过n的多项式来通过这些点。如果降低多项式的阶数，保持曲线平滑，那么这个低阶多项式可以近似通过这些点。为了说明Almon的多项式滞后方法，我们假定有4个滞后权系数0，1，2，3。有一个多项式（9.2.9）使得如果用矩阵形式记法就是（9.2.10）或（9.2.11）这里、W、定义已很明显。此时多项式系数的数目等于滞后权系数的数目，没有什么约束关系强加于i。对于任何向量，存在向量，使成立。因为W非奇异，故。要使多项式的阶数减1，可使，即（9.2.12）类似地，要使多项式阶数再减1，可取（9.2.13）一般地，如果滞后权系数0，1，2，N下降到Q阶多项式，即（9.2.14）则方程组可写为（9.2.15）或写成（9.2.16）因为仅含Q+1个系数，我们已将参数空间从N+1维减至Q+1维。换句话说，我们已经对参数作了个约束。将上式代进滞后模型（9.2.17）中，得（9.2.18）这里Z=XHQ。使用这个模型，的最小二乘估计是（9.2.19）而的限制最小二乘(Restricted Least Squares,RLS)估计是（9.2.20）因此，如果我们假定模型被正确的指定，则（9.2.21）因为。进一步有 （9.2.22）因此（9.2.23）如果我们知道了实际多项式阶数Q或者实际滞后长度N，那么多项式估计是直观的。比较困难的是当Q未知时如何估计它。下面我们来讨论多项式阶数的估计。要确定多项式阶数Q，就要选择向量的维数。对于固定的已知的滞后长度N，我们也来构造一个序列检验过程来确定Q。开始时可令Q=N，然后将多项式阶数逐步减少，并对参数约束作似然比检验或t检验。待检验的零假设是，在被接受的条件下，在，被接受的条件下，在，被接受的条件下而合适的检验统计量是（9.2.24）这里（9.2.25）是误差平方和，而残差估计为（9.2.26）如果统计量,，为真，则统计量服从自由度为的F分布。应该说，关于多项式滞后模型的目的、方法、检验等基本上是清楚了。实际应用可能还会产生一些新的问题，比如自相关、异方差、犯第一类错误概率控制等。这些需要结合以前的知识处理。算例9.2.3 有限多项式滞后回归原始数据表如下：表9.3.2YXYXYXYX1-.0985.073962.4641.5556112.4671.3268161.4753.880522.5138.896772.2399.7245121.4037.0713171.8868.69523-.8275.020383.6225.4150132.2836.8506182.7819.764441.1821.068491.3987.0888143.0689.9018192.3368.48665.9262.3585102.6762.9597151.2260.7672202.3845.7839-有限多项式滞后回归模型计算程序, 例 9.2.3 本项程序依据书中第 9 章, 第 2 节, 第 3 段, 用降低多项式次数的方法, 降低参数空间维数, 减少复共线的可能性, 确定分布滞后长度, 同时计算好回归模型。本项计算最好与例9.2.2配合进行。本项计算先要指定滞后长度 k(书中记为 N), 然后要指定多项式阶数 Q, Qk, 从而既能保证滞后长度, 又能降低参数个数。数据文件准备是一元的, 第一列是因变量 Y, 第二列是自变量 X, 滞后过程由程序自动完成。请键入要读入的数据文件名代号: 1=C21.D, 2=C22.D, 3=C23.D, 4=C24.D, 5=C25.D 6=C11.D, 7=C12.D, 8=C13.D, 9=C14.D, 10=C15.D, 0=例932.D例923.D 数据文件中, n=20, M=1要显示原始资料吗? 0=不显示, 1=显示请指定滞后回归次数 k(书中为 N), 即Y对X(t), X(t-1),.,X(t-k) 回归。(K10) (4)再指定多项式滞后回归的多项式阶数 Q (Qk): (3)要作滞后回归, 需要决定自变量是往前移动还是往后移动: (1)请键入: 1=往前移动, -1=往后移动第 1 列是 X(1) 到 X(N), 第 2 列是 X(2) 到 X(N+1), 第 3 列是X(3) 到 X(N+2), 等等, 称往前移动；第 1 列是 X(1) 到 X(N), 第 2 列是 X(0) 到 X(N-1), 第 3 列是X(-1) 到 X(N-2), 等等, 称往后移动。先作一般滞后回归:现在作线性回归显著性检验, 计算t,F,R 统计量请输入显著性水平a, 通常取a=0.01, 0.05, 0.10, a=? (0.05)-线 性 回 归 分 析 计 算 结 果 样本总数 18 自变量个数 3- 回归方程 Y = b0+b1*X1+.+b3*X3Y= .8270 + 1.7466 X1 + -.3590 X2 + .2810 X3 回归系数 b0, b1, b2, ., b3 .8270 1.7466 -.3590 .2810- 残差平方和: 13.42 回归平方和: 7.47 误差方差的估计 : .7458 标准差 = .8636-线 性 回 归 显 着 性 检 验 显著性水平 : .050- 回归方程整体显著性F检验, H0:b0=b1=.=b3=0 F统计量: 2.5975 F临界值F(3, 14) 3.344 全相关系数 R : .5980- 回归系数逐一显著性t检验, H0:bi=0, i=1,.,3 t 临界值 t( 14) 1.7613 回归系数b1-b 3的t值: 3.6014 .5042 .4556-要作回归预测吗? 键入 0=不预测, 1=要预测 (0)要打印拟合数据吗? 0=不打印, 1=打印 (0)再作多项式滞后回归:打印多项式回归系数变换矩阵 HQ: 1.0 .0 .0 1.0 1.0 1.0 1.0 2.0 4.0 1.0 3.0 9.0现在作线性回归显著性检验, 计算t,F,R 统计量请输入显著性水平a, 通常取a=0.01, 0.05, 0.10, a=? (0.05)-线 性 回 归 分 析 计 算 结 果 样本总数 18 自变量个数 2- 回归方程 Y = b0+b1*X1+.+b2*X2 Y = 1.2110 + .1214 X1 + .0396 X2 回归系数 b0, b1, b2, ., b2 1.2110 .1214 .0396- 残差平方和: 18.38 回归平方和: 2.52 误差方差的估计 : 1.0209 标准差 = 1.0104-线 性 回 归 显 着 性 检 验 显著性水平 : .050- 回归方程整体显著性F检验, H0:b0=b1=.=b2=0 F统计量: 1.0281 F临界值F(2, 15) 3.682全相关系数 R : .3472 - 回归系数逐一显著性t检验, H0:bi=0, i=1,.,2 t 临界值 t( 15) 1.7531回归系数b1-b 2的t值: 3.7314 1.1865-要作回归预测吗? 键入 0=不预测, 1=要预测 (0)要打印拟合数据吗? 0=不打印, 1=打印 (0)滞后回归结束。现在有效原始资料与拟合数据个数都是 N= 18计算结束。 -下图显示的是多项式滞后回归拟合图象，可见有限多项式滞后不一定拟合效果好。第三节 无限分布滞后模型无限分布滞后模型的一般形式为经过有限项滞后以后将无限分布滞后关系截断是合理的，但是这需要确定截断点。滞后权参数化问题，无限长度滞后问题，都需要从理论上加以考虑。这一节我们先讨论两个具体的动态经济模型，将它们化成无限滞后的几何滞后模型，再使用Koyck变换化成有限的一阶自回归模型，最后讨论它们的估计问题。一、自适应期望模型与部分调整模型我们先看自适应期望模型(Adaptive Expectations Model)。假定商品供应量Y与市场期望价格X*有关，关系模型如下（9.3.1）这里、是常数，是随机分量。进一步假定期望价格是与前一时段期望价格与实际价格之差有关系，准确表示是（9.3.2）这里是第t-1时段的实际价格。这个情况在商品生产时间较长时是会发生的，尤其是农业产品往往如此。为了将本段原始模型(9.3.1)中不可观测的X*替换成可观测的变量，我们从上式中解出Xt-1：（9.3.3）引进滞后操作数L，定义作（9.3.4）则（9.3.5）由于操作数的逆操作数为（9.3.6）所以（9.3.7）这样自适应期望模型就成了无限分布滞后模型（9.3.8）这样的模型也称作几何滞后模型。自适应期望模型也可以转化为一阶自回归模型，我们放到下一段谈。我们再看部分调整模型(Partial Adjustment Model)。部分调整假设也导致无限分布滞后模型。模型的基本思想是，独立变量X的当前价值决定独立变量Y的期望价值。（9.3.9）而价值的期望值与实际值之差将对价值的增减进行部分调整：（9.3.10）这里，称作调整系数。例如，一个公司期望的投资可能取决于对它产品的需求。因为客观条件限制和主观考虑，最好逐步进行调整。将上面两个式子结合起来就得到一阶自回归模型：（9.3.11）引进滞后操作数与逆操作数，就是（9.3.12）我们再一次得到几何滞后模型，不过构造复杂。我们再对部分调整关系式作一些解释。将Y理解为股本，YtYt-1反映股本的变化，它来自于投资。投资多少呢?不要指望一口吃个胖子，办事留有余地，这些名训很好地体现在部分调整关系式中：（9.3.13）我们在时刻t期望有那么多，可实际只有Yt-1那么多，差距是。但我们并不一下子投资(It)整个差距，而在t时刻只补足差距的一部分。其余的到下一时段再看，那时也许会变，Yt-1当然已经变了。就这样走一步，看一步，调一步，慢慢向好的目标调整。最后我们看这两个模型的结合。我们考虑下面的模型（9.3.14）这个是期望的股本，是期望的产出水平。困难在于模型中因变量与自变量都是不可观测的期望值，我们要设法将它们都转化为可观测的变量。我们可以使用自适应期望模型中的关系（9.3.15）和部分调整模型中的关系（9.3.16）都代入到(9.3.14)中得（9.3.17）这样模型中已没有不可观察的变量。但是这个模型形式未必令人满意。我们可以把它化为都仅仅对X滞后的无限滞后模型，或者把它化为都对Y作一阶自回归的模型。这一点我们在下段继续讨论。二、几何滞后模型的Koyck变换及估计无限分布滞后的回归模型直接计算存在困难，解决办法要么适当截断变为有限分布滞后回归，要么使用Koyck变换将它化为一阶自回归。这样还有统计上的优点，参数减少，复共线的可能性减少。考虑一般的几何滞后回归模型（9.3.18）Koyck的想法是先将它滞后一个时段：（9.3.19）将后一式两边同乘以，再与前一式相减得（9.3.20）令，将上式重排得（9.3.21）这就成了一阶自回归模型，它不大可能产生自变量的复共线问题，但会产生Y的自相关问题，需要应用第三章讲过的办法处理。下面我们将上段自适应期望模型作Koyck变换。对自适应的基本关系式（9.3.2）解得（9.3.22）代入原模型得（9.3.23）将原模型滞后一个时段得（9.3.24）解出（9.3.25）代入（9.3.23）得： （9.3.26）这里。这就是自适应期望模型的一阶自回归形式。我们再将自适应期望与部分调整的结合模型(9.3.14)化成一阶自回归模型。将（9.3.16）与（9.3.25）的提前一个时段形式都代入(9.3.14)得：（9.3.27）整理成： （9.3.28）虽然这种形式对Y是线性的，但对原始参数就不是线性的。下面我们对几何滞后模型的一阶自回归形式（9.3.29）作出参数估计。如果误差满足标准条件即，则可以对参数作出最小二乘估计。然而，由于Xt是随机的，Yt-1又与Yt相关，因此LSE将不是最佳线性无偏估计。形式上：（9.3.30）这里（9.3.31）不过，这个LSE 是相合估计。这可以证明如下。因为，所以，于是（9.3.32）假定非奇异。下面分析第二因子：（9.3.33）分别考虑这三个分量的极限。第一个，由于，故（9.3.34）第二个，由于假定Xt与独立，故也有（9.3.35）第三个，由于是的一致估计，如果假定Yt-1与不相关，则也有（9.3.36）因此，即，故是的相合估计。当然如果这些假定不满足，那就不是相合估计了。但这时我们可以使用下面的工具变量法。算例9.3.2 几何滞后模型与Koyck变换按本节思想针对一般的自适应期望模型与部分调整模型编制了计算程序，资料例子如下。表9.3.2YXYXYXYX1-.0985.0739262.5074.3538512.3510.3002762.7111.499122.5138.896727.8473.456652.7831.6348771.3276.17583-.8275.020328-.2218.0036534.0621.4658781.2481.449841.1821.0684293.4271.862254.9515.4570792.2675.52615.9262.3585301.5897.3924553.9985.7689802.4530.035962.4641.5556311.0131.409956.6632.2040813.0846.759572.2399.7245323.3436.708057.3977.0567822.5924.591483.6225.4150333.5517.5868582.9906.8021832.6237.944091.3987.0888342.7500.9590591.5791.2238843.2225.9434102.6762.9597351.3980.2019601.3804.695285-.1255.3479112.4671.3268364.2310.9423613.1039.7836863.5974.8374121.4037.0713373.8855.8388623.4001.9079871.9880.1989132.2836.8506384.4633.9368632.8314.8137881