第二章 三类典型的偏微分方程

.,三类典型的偏微分方程,.,一根紧拉着的均匀柔软弦，长为l，两端固定在X轴上O、L两点，当它在平衡位置附近做垂直于OL方向的微小横向振动时，求这根弦上各点的运动规律。,2.1波动方程,一维波动方程,最典型的一维波动问题是均匀弦的横向振动问题。,.,讨论如何将这一物理问题转化为数学上的定解问题。要确定弦的运动方程，需要明确：,确定弦的运动方程,（2）被研究的物理量遵循哪些物理定理？牛顿第二定律.,（3）按物理定理写出数学物理方程（即建立泛定方程）,要研究的物理量是什么？弦沿垂直方向的位移,条件：均匀柔软的细弦，在平衡位置附近产生振幅极小的横振动。不受外力影响。,.,简化假设：,由于弦是柔软的，弦上的任意一点的张力沿弦的切线方向。,在弦上任取一小段它的弧长为：,由于假定弦在平衡位置附近做微小振动，很小，从而,可以认为这段弦在振动中没有伸长，由胡克定律可知，弦上每一点所受张力在运动过程中保持不变，与时间无关。即点处的张力记为。,由于振幅极小，张力与水平方向的夹角很小。,.,横向：,其中：,作用在这段弦上的力有张力和惯性力，下面根据牛顿运动定律，写出它们的表达式和平衡条件。,也就是说，张力是一个常数。,横向：,.,由中值定理：,纵向：,.,一维波动方程,令：,-非齐次方程,自由项,-齐次方程,忽略重力作用：,a就是弦的振动传播速度,.,假设外力在处外力密度为：方向垂直于轴。,等号两边用中值定理：并令,为单位质量在点处所受外力。,当存在外力作用时：,等号两边除以,.,弦振动方程中只含有两个自变量：。由于它描写的是弦的振动，因而它又称为一维波动方程。类似可以导出二维波动方程（如膜振动）和三维波动方程，它们的形式分别为：,二维波动方程：,三维波动方程：,.,建立数学物理方程是一个辩证分析的过程。由于客观事物的复杂性，要求对所研究的对象能够抓住事物发展的主要因素，摈弃次要因素，使问题得到适度的简化。,总结：,.,均匀杆的纵振动,考虑一均匀细杆，沿杆长方向作微小振动。假设在垂直杆长方向的任一截面上各点的振动情况(即偏移平衡位置位移)完全相同。试写出杆的振动方程。,在任一时刻t，此截面相对于平衡位置的位移为u(x,t)。在杆中隔离出一小段(x,x+dx)，分析受力：,.,通过截面x，受到弹性力P(x,t)S的作用通过截面x+dx受到弹性力P(x+dx,t)S的作用P(x,t)为单位面积所受的弹性力(应力)，沿x方向为正,根据Newton第二定律，就得到：,根据胡克定律,.,静止空气中一维微小压力波的传播,设为空气的密度，u为压力诱导的速度，由一维欧拉方程：,动力学方程,连续性方程,物态方程,考虑到微小压力波，u是一阶小量，是二阶小量,.,代入,得,对t求导，得,利用,得,一维声波方程。,.,静止空气中三维声波方程,微幅水波动方程,式中：,水面波高为,为声波速度,水波速度为,.,2.2扩散方程,问题：一根长为l的均匀导热细杆，截面为一个单位面积。侧面绝热，内部无热源。其热传导系数为k，比热为c，线密度为。求杆内温度变化的规律。,一维热传导方程的推导,热传导现象：当导热介质中各点的温度分布不均匀时，有热量从高温处流向低温处。,.,所要研究的物理量：,分析：设杆长方向为x轴，考虑杆上从,到,的一段(代表)，,设杆中温度分布为,满足的物理规律：,各向同性：,物体的比热和热传导系数均为常数,假设条件：,.,利用Fourier热力学定律和能量守恒定律来建立热传导方程。,由Fourier热力学定律，单位时间内通过A端面的热量为：,单位时间内通过B端面的热量为：,.,在dt时段内通过微元的两端流入的热量,在任意时段,内，,同时在此时段内,微元内各点的温度由,流入微元的热量,升高为,.,为此所需的热量为,由能量守恒定律可得：,由,和,的任意性可得,.,即：,其中,内部有热源的情况：,其中,分析：设热源强度(单位时间在单位长度中产生的热量)为F(x,t)，代表段的吸热为Fdxdt。,.,根据热学中的傅立叶定律,在dt时间内从dS流入V的热量为：,从时刻t1到t2通过S流入V的热量为,高斯公式（矢量散度的体积分等于该矢量的沿着该体积的面积分）,三维热传导方程的推导,.,流入的热量导致V内的温度发生变化,流入的热量：,温度发生变化需要的热量为：,三维热传导方程,有热源三维热传导方程,.,一维浓度扩散方程,动量输运方程,C为物质浓度，为扩散系数。,u为速度，fx为流体体积力，为流体粘性系数。,显然，热传导、物质扩散、动量输运这些过程属于同一类物理现象，可用同一类型方程来描述。,.,2.3稳态方程(调和方程),稳态问题也是自然界中普遍存在的一类物理现象，表征物理过程达到平衡状态的情况，因此物理量不随时间变化，但随空间发生变化。因此，稳态问题描述物理量的空间分布状态或场的空间分布。,热传导问题，控制方程为：,设场内热源为稳态的，即为f(x,y,z)流场温度不随时间变化，即T=T(x,y,z)则有,.,这就是稳态方程，称为泊松方程。,如果场内无热源，g(x,y,z,t)=0，则有：,这个方程又称为拉普拉斯方程。,其中：,.,又如在理想势流场中，存在速度势(x,y,z)，速度与(x,y,z)的关系为：,带入连续方程