第4章 车身数模基础

.,第4章车身曲线曲面的数学模型基础,对于汽车、飞机及其他一些具有复杂外形的产品，计算机辅助设计与制造的一个关键性环节，就是用数学方法来描述它们的外形，并在此基础上建立它们的几何模型。在形状信息的计算机表示中，曲线和曲面的表示方法既要适合计算机处理，又要能有效地满足形状表示与几何设计的要求，同时便于形状信息传递和数据交换，因此，选择合适的表示方法很重要。本章首先介绍曲线和曲面的矢量方程和参数方程，然后分别讲授定义汽车车身曲线和曲面的一些常用的、基本的数学方法。,.,4.1曲线曲面的矢量方程与参数方程,4.1.1矢量1.矢量的基本概念矢量：既有大小又有方向的量叫作矢量，又称向量，如力、力矩、速度、加速度等。如图4-1所示，从M点向P点连线，就表示一个矢量，用小写黑体字母a或表示。i、j、k分别表示沿三个坐标轴正向的单位矢量，则矢量a可表示为：坐标形式：（4-1）数组形式：图4-1矢量其中为矢量a在三个坐标轴的投影。矢量的模：矢量的大小叫作模，如矢量a的模。单位矢量：模等于1的矢量，设表示与非零矢量a同方向的单位矢量，则零矢量：模等于零的矢量叫作零矢量，记作，零矢量的方向可以看作是任意的。,.,2.数量积已知两个矢量，两矢量的夹角为，则这两个矢量的数量积为一个数量，有（4-2）当时，。性质：1）。2）设为一个常数，则有。3）。,.,3.矢量积已知两个矢量，两矢量的夹角为，则这两个矢量的矢量积仍为一个矢量，有。用行列式的形式来表示矢量积有（4-3）c的方向垂直于a和b所决定的平面，c的指向按右手法则从a转向b来决定。并且有，即以a和b为边的平行四边形的面积。当，即，且a和b都为非零矢量时，有ab=0。性质：1）。2）。3）设为一个常数，则有。,.,4.混合积三个矢量的混合积，即两个矢量的矢量积，与第三个矢量的数量积，记作，已知，则有（4-4）它的绝对值为以矢量a，b，c为棱边的平行六面体的体积。,.,4.1.2直线的矢量方程如图4-2所示，已知直线上一点径矢为，u为平行于直线的任意固定不为零的矢量，若为直线上任意一点的径矢，为常数，则直线的矢量方程可写成：（4-5）图4-2直线,.,4.1.3平面的矢量方程设已给平面上任意一个定点的径矢和与平面垂直的任意不为零固定的矢量。若为平面上任意一点的径矢，则与垂直，如图4-3所示，则有，这就是平面的方程。,.,例1-1已知一平面不在同一直线上的三个点，它们的径矢为求此平面的矢量方程。解：如下图所示，设在平面上且不在同一直线上，矢量，也在平面上，则此平面的法矢为。设点为平面上任意一点，径矢为，则此平面的矢量方程为：化简后得所求的平面矢量方程为：,.,4.1.4曲线的矢量方程和参数方程1.曲线的参数化表示空间曲线上的每一点P的坐标均被表示为某个参数的函数，如参数用u表示，则曲线上每一点的笛卡儿坐标的参数式为：（4-6）三个坐标分量组成了曲线上该点的位置矢量，曲线的矢量方程（即参数u的矢函数）可写成：(4-7)曲线对参数u求导等于其各分量对参数u求导，其结果为一个矢量，称为导矢。一阶导矢称为切矢。则参数曲线的切矢量或导函数可表示为（4-8）,.,2.法矢量对于空间参数曲线任意一点，所有垂直于单位切矢量的矢量有一束，且位于同一平面上，该平面称为法平面。若不为0，则称方向上的单位矢量为曲线在点P处的主法矢量，记为；称为曲线在点P处的副法矢量，记为。显然，矢量，两两垂直，构成了曲线在点P处的Frenet活动标架。其中，将主法矢和副法矢构成的平面称为法平面，主法矢和切矢构成的平面称为密切平面，副法矢和切矢构成的平面称为副法平面。由法平面、密切平面和副法平面构成的三面形，称为曲线在P点的基本三棱形。,.,3.导矢在几何上的应用,设已：知曲线方程，如图4-7所示，求曲线上任一点处的切线方程和法平面方程。其中：为切线上任一点的径矢，为切线上的参数。过点切线的参数方程可写为：或,因为曲线方程为：,故曲线在点的切矢为,则曲线在的切线方程为,过,.,4.1.5曲线的自然参数方程在一般的坐标系中讨论曲线时，由于人们选取坐标的不同而使曲线具有人为的性质。曲线自然参数是自身的弧长，因为它是曲线的不变量，它不依赖于坐标系的选取，即不管坐标系如何选取，只要在其上取一初始点，确定一个方向，取一个单位长度，则曲线的弧长和参数增长方向便完全确定了。取曲线本身的弧长作为参数，研究曲线的一些性质，对实际应用和理论分析，都会带来很多方便。1.自然参数方程设有一条空间曲线在其上任取一点作为计算弧长的初始点，如图4-8所示。曲线上其他点到之间的弧长是可以计算的（用弧长积分或累计弦长公式）。曲线上每一点的位置与它弧长之间有一一对应的关系。,到,.,以曲线弧长作为曲线方程的参数，这样的方程称为曲线的自然参数方程，弧长则称为自然参数。这就说曲线上点的坐标都是以弧长为参数的函数，它的矢量方程为：设曲线的参数方程为：因为：所以：把代入到曲线方程中，得自然参数方程的导矢用来表示，而代表一般参数方程的导矢。则有其切矢为单位矢量,.,曲率平均曲率的极限叫做曲线在点P处的曲率，记作，即实际计算曲率的公式：,直线上任意点P处的曲率都等于零，这与我们直觉认识的“直线不弯曲”一致。,.,我们把这个圆叫做曲线在点P处的曲率圆，把曲率圆的圆心D叫做曲线在点P处的曲率中心，把曲率圆的半径叫做曲线在点P处的曲率半径。按上述规定可知，曲率圆与曲线在点有相同的切线和曲率，且在点邻近有相同的凹向。因此，在实际问题中，常常用曲率圆在点附近的一段圆弧来近似代替曲线弧，以使问题简化。曲率的应用：1）在曲线、曲面拼接中和曲线光顺处理时，使用曲率连续作为判别的准则；2）在刀位计算中，为了防止在实际加工中产生过切，需要计算曲面在刀具切触点处的曲率半径，并要求所选择的曲率半径应不大于该点的曲率半径；3)已知曲率值和初始条件，求解曲线方程,曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数,.,3.挠率如图4-12所示，设曲线上的点处的单位副法矢量，点处的单位副法矢量为，他们的夹角为，则曲线上点处的挠率为某点的挠率可以平衡曲线在此点处的扭曲程度。挠率大于0、等于0和小于0分别表示曲线为右旋空间曲线、平面曲线和左旋空间曲线。例如，对于平面曲线来说，挠率处处为0,.,1.1.6曲面的参数方程和矢量方程1.曲面的表示在空间解析几何中，我们已经讨论过三维空间平面、二次曲面的性质。一般二次曲线生成的旋转面方程是二次的，而一般曲面方程的次数往往更高，通常是三次或三次以上。，曲面可表示为参数的矢函数（曲面的矢量方程）：常表示为参数平面上的一个矩形区域：,它的参数方程为,图4-13曲面参数化中的对应关系,.,所有参数曲线构成参数曲线网如图曲面上任一点处总有一个u向切矢（u线关于u的偏导矢）和一个v向切矢（v线关于v的偏导矢）曲面上任意点的法矢可以根据该点的偏导矢计算：,图4-14曲面上的曲线及其切矢和曲面上的法矢,。,.,2.曲面上任意曲线及其切矢设已知曲面的矢量方程为,其中双参数,又是另一参数,的函数,，求曲面上的曲线方程及其切矢。将代入矢量方程，得,当参数变动时，就得到一条曲线，这正是曲面上的曲线方程，曲面上曲线的切矢为,其中,为坐标曲线的切矢。,.,3.曲面上的切平面和法线方程,已知曲面上一点,，位置矢量为,，求过,点的切平面和法线方程。先求过的两个偏导矢，把它看作附着,于该点的两个矢量。如果这两个偏导矢不平行，则,，于是我们唯一地得到曲面在点,处的切平面的单位法矢,因此过,点的切平面方程为,，其中,为切平面上任意一点位置矢量。,过点的法线方程为,其中,为法线上任一点的位置矢量。,.,4.常用面的参数表示1)在xy平面上，一张矩形域的平面片如右图所示，其参数表示为：(4-25)2)球面。设一个球的球心坐标（），半径为r，分别用表示参数变量，则其参数表示为：(4-26)式中，。3）简单旋转面。若一条由定义的曲线绕z轴旋转，将得到一张旋转面，其参数表示为：(4-27),.,4.2参数样条曲线及孔斯曲面4.2.1三次样条曲线许多工程技术中提出的计算问题对插值函数的光滑性有较高的要求，如汽车车身、飞机的机翼外形、内燃机的进排气门的凸轮曲线，都要求具有较高的光滑程度，不仅要连续，而且要有连续的曲率，即二阶导数连续，这就导致了样条插值的产生。1.三次样条函数的力学背景如果我们把样条看成弹性细梁，压铁看成作用在这个梁的某些点上的集中载荷，那就可把上述画模线的过程在力学上抽象为：求弹性细梁在放置压铁点的集中载荷作用下产生的弯曲变形。,数学上的三次样条函数是在生产实践的基础上产生和发展起来的。在采用CAD/CAM技术之前，传统的汽车、飞机和船舶的模线都是借助于样条用手工绘制的。样条（Spline），即富有弹性的匀质细木条、金属条或有机玻璃条。它围绕着按选定位置放置的重物或压铁作弹性弯曲，以获得所需要的曲线，如图所示,.,切出两相邻压铁之间的一段梁来看，只在该段梁的两端有集中支撑反力作用，因此在这段梁内的弯矩是梁长度方向的线性函数。由欧拉公式有：对于“小挠度”曲线，即的曲线，上述方程近似于,，,其中是弯矩是梁的曲率半径，它们都随点的位置而变化。E和J是与梁的材料和形状有关的常数。由于平面曲线的曲率为,因此有,由于在两个压铁之间,是线性函数，由式（4-29）可知，每小段上函数,是x的三次多项式。从整个梁上看，它具有直到二阶的连续导数（因为从整个梁来说弯矩是连续的折线函数），就是分段三次函数。,三次样条函数概念的建立就是在这一力学背景下产生。,.,2三次样条插值函数设有型值点序列Pi（xi,yi），i=0,1,n，如图4-17所示。下面来构造通过型值点序列的三次样条插值函数，由样条函数描述的曲线称为样条曲线。现记三次样条函数S(x)在x=xi处的函数值、一阶导数、二阶导数分别为：S(xi)=yi，S(xi)=mi，S“(xi)=Mi，如图4-18所示，在每个小区间上，S()的二阶导数是线性的。,从图4-18的比例关系得:,(4-30),.,将S(xi)积分：再积分一次以小区间首末两端的座标x=xi-1,S(x)=yi-1和x=xi,S(x)=yi分别代入式(4-32)，得此式即为三次样条曲线表达式,将这两式联立解得K和B代入(4-31)、(4-32)得,(4-33),(4-34),.,三次样条函数S(x)的本质是：一致通过型值点、二阶连续可导的分段三次多项式函数。,.,在各中间点一阶导数连续，由S(xi-0)=S(xi+0)，即得：上式经整理后得如下的“三次样条曲线的M关系式”：当i取值1,2,到n-1时，可得到n-1个形如(4-35)的方程。但未知数二阶导数Mi却有n+1个，即M0,M1,Mn。要唯一定解，必须再附加两个方程。通常按实际问题的具体情况，在样条两端，即P0和Pn处给出约束条件，常用的边界条件有：（1）给定两端的斜率m0=y0和mn=yn以x=x0,i=1代入式(4-33)，得：以x=xn,i=n代入式(4-33)，得：,iMi-1+2Mi+iMi+1=di(i=1,2,n-1)(4-35),.,式(4-35)和附加的两个方程合在一起得到有确定解的线性方程组。写成矩阵形式为：,（4-38),式中,可用“追赶法”求解方程组(4-38)，求出Mi(i=0,n)，全部未知数求解完毕。关于“追赶法”求解方程的原理和程序参见本书附录A。,.,（2）给定两端的二阶导数M0=y0,Mn=yn这可以写成:2M0+0M1=2y00Mn-1+2Mn=2yn此时式(4-38)中的0=0,d0=2y0，n=0,dn=2yn。如果y0=yn=0,则称为自然插值三次样条函数。(3)如果取0=-2,d0=0，n=-2,dn=0则M0=M1,Mn-1=Mn。从式(4-34)可以看出，在此情况下样条的第一段和最末一段是抛物线。这就是抛物端边界条件。,.,4.2.2三次参数样条曲线以上所述三次样条曲线在工程应用上有一个限制，即曲线小挠度。在大挠度情况下，三次样条函数的光顺性可能变坏，甚至不能使用。有时，大挠度经过旋转座标轴可变成小挠度。如图,点列Qi在oxy座标系中斜率绝对值远大于1。其中t为参数。在曲线的参数表达式中，常取曲线内在的量弧长作为参数，它与坐标系无关。若将t取作弧长s，则x和y作为分量，dxds和dyds都不会大于1。,在座标系中就满足小挠度条件，由此可见，用三次样条函数表示的插值曲线，依赖于座标系的选择，不具有几何不变性。有时旋转座标轴也不可能满足小挠度条件，例如封闭曲线就是如此。在这些情况下，最常用的处理办法之一是将曲线参数化，即将曲线上点的座标分别用某种参数表示:,.,在(x,s),(y,s)平面上各构造一个三次样条函数：,曲线上的点比较密时，弦长之和近似于弧长，如果取弦长作为参数，也能满足小挠度条件。因此取累加弦长作为三次参数样条曲线的参数。设给定个点Pi（xi,yi）,i=0,1,n,两相邻点之间的弦长为：,这里si的几何意义是累加弦长，它近似等于弧长参数。在每一个节点pi都有一个确定的si与之对应。当然pi的每一个坐标xi或yi也与si一一对应。这就相当于给定了两组点（xi,si）和（yi,si）,i=0n。对于每一组点，都可按4.2.1节所述方法构造一个三次样条函数。这种曲线称为累加弦长三次参数样条曲线。在平面（或空间）曲线的情况下，构造三次参数样条曲线相当于构造两（或三）遍三次样条曲线。累加弦长三次参数样条计算简单可靠，插值效果好，因此目前应用较多。,.,下面说明累加弦长参数样条为什么能够解决“大挠度”的问题。因为参数s是曲线的近似弧长，可以近似地认为,即,因此下列不等式对一切s均成立,也就是当以累加弦长为参数时，对于各个坐标函数来说，坐标增量总是小于弦长，即各个坐标增量与弦长的比值为,其绝对值不会大于1，因此不会出现“大挠度”的问题。这就是累加弦长参数样条对于“大挠度”曲线也具有较好的拟合效果的原因。,.,4.2.3弗格森曲线,下面讨论参数样条曲线中的某一段，并用端点及端点的导数来表达出这段曲线的方程。设参数为u，第i段曲线对应的参数范围为，在0,1区间上对应于两个端点型值点的函数值及一阶导数值分别为r(0),r(1),r(0),r(1)。则插值函数为那么将四个已知条件代入以上两式，可解得四个系数a0,a1,a2,a3,再将求得的系数代回上式则得曲线段的方程为：(4-41)式中我们称F0(u),F1(u),G0(u),G1(u)为埃尔米特(Hermite)基函数。,.,由式(4-41)可见，F0与F1专门控制端点的函数值对曲线形态,的影响，G0和G1专门控制端点的一阶导数对曲线形态的影响。或者说，F0和G0控制左端的影响，F1和G1控制右端的影响。由式(4-41)确定的曲线可以进一步整理为矩阵形式：（4-42）该曲线也叫弗格森曲线。由（4-42）式可知，三次弗格森曲线满足：其中，、分别为三次弗格森曲线段两个端点的位置矢量和切矢量。三次Ferguson曲线，如图4-20所示。,图4-20Fersugon参数曲线,.,4.2.4孔斯曲面孔斯（S.A.Coons)是美国波音公司搞实际设计的专家。1964年他提出了一种适用于CAGD的构作自由型曲面的方法。他应用曲面片拼合技术构造飞行器外形，发表了论文并撰写讲稿。孔斯曲面方法的基本思想是：把所要描述的曲面看作是由若干个曲面片光滑拼接而成，每个曲面片一般用四条边界曲线来定义，并且尽量用简缩符号来表达。在设计曲面时，设计人员从单个的曲面或很少的曲面片开始，如果得到的这张原始曲面不符合自己的愿望，设计者可以修改原始的输入信息，同时添加一些新的用来控制曲面形状的曲线，于是就可以用这些曲线作为边界，划分出更小的曲面片，让计算机重新生成一张曲面。在曲面片之间相邻接的边界上，可以使得位置、斜率、曲率连续，实际上是所期望的任何高阶偏导矢互相匹配，这就在很大程度上保证了整张曲面具有足够的光滑性。参数化方法为曲面造型带来许多优点，而分片技术则可将按给定边界约束构造的若干曲面片拼合成一张完整的曲面。Coons对自由曲面造型作出了杰出的贡献，其方法理论严密、描述能力强，对自由曲面造型技术的发展具有深远的意义。,.,埃尔米特基函数F0,F1,G0,G1在孔斯曲面的生成和表示中起着重要的作用，它们的功能是将给定的四个端点向量加权平均而产生一条曲线段，或者把四条给定的边界曲线“混合”起来生成一张曲面。因此埃尔米特基函数也有权函数、调配函数或混合函的称呼。空间曲面可以用定义在单位正方形区域上的双参数向量函数予以表示：,r(u,0)，r(u,1)，r(0,w)，r(1,w)表示曲面的四条边界。r(0,0)，r(1,1)，r(0,1)，r(1,0)为曲面上四个角点。在孔斯曲面的表示式中，大量使用着由孔斯创造的一套表示参数曲线和参数曲面的简缩符号，见图4-21,掌握了它，一些运算就显得简单明了，不致于发生混乱。,它们主要是：(1)参数u和w之间的逗号及向量各分量之间的逗号都省略，只讨论一张曲面时，向量函数r(u，w)前面字母r省略，如用uw=x(uw),y(uw),z(uw)表示一张曲面；(2)u0，u1，0w，1w表示曲面的四条边界；(3)00，01，10，11示曲面的四个角点；,.,续矩阵C的元素排列非常对称整齐，可以分成四组。左上角代表四个角点的位置向量，左下角和右上角代表边界曲线在四个