材料力学第8章-能量法1ppt课件

第八章能量法,一、杆件的应变能,二、应变能普遍表达式(克拉贝隆原理),三、卡氏定理,能量法,四、互等定理,五、虚功原理单位力法图乘法,六、超静定问题力法,七、冲击应力,求解弹性体系(如杆件)的变形可采用的方法：,1、分析法/解析法,平衡方程静力平衡关系几何方程变形几何关系物理方程应力应变关系,利用应变能的概念，解决与弹性体系变形有关的问题的方法。在求解组合变形、曲杆或杆系以及超静定问题时，能量法是一种非常有效的方法，是结构分析的基础。,能量法/基本概念,2、能量法,能量法有关的几个基本概念,3、能量守恒：忽略缓慢加载过程中动能和其它形式的能量损失，杆件能量守恒，即杆内所储存的应变能U在数值上与外力所作的功W相等。功能原理UW,1、外力功:线弹性体系在外力的作用下产生变形，每个外力在与它相对应的位移上所作的功W。,2、应变能:弹性体受外力作用下产生变形而储存了能量，这个被储存的能量即为应变能或变形能U。,能量法/基本概念,一、杆件产生基本变形时的应变能,1、轴向拉伸或压缩,F,L,L,O,B,L,F,A,能量法/杆件的应变能,式中轴力，A横截面面积,由拉压杆件组成的杆系的应变能：,能量法/杆件的应变能,取微段研究：,微段的应变能：,整个杆件的拉压应变能,受力复杂杆(轴力沿杆的轴线变化)的应变能,q,L,dx,x,能量法/杆件的应变能,2、圆截面杆的扭转,Mx,L,Mx,O,B,Mx,A,圆截面杆的应变能,式中T圆杆横截面上的扭矩；圆杆横截面对圆心的极惯性矩。,能量法/杆件的应变能,受力复杂的圆截面杆(扭矩沿杆的轴线为变量),整个杆的扭转应变能为,可取微段分析：,能量法/杆件的应变能,3、平面弯曲,纯弯曲梁的应变能：,式中M梁横截面上的弯矩；I梁横截面对中性轴的惯性矩,能量法/杆件的应变能,横力弯曲梁(弯矩沿梁的轴线为变量)的应变能,整梁的弯曲应变能,按微段分析：,和拉压、扭转应变能比较,能量法/杆件的应变能,4、剪切,纯剪切时微段梁的应变能：,FS,dx,FS,由于切应力在截面上并非均匀分布。引入系数k,因此微段梁的应变能为：,能量法/杆件的应变能,整个梁的剪切应变能：,式中,(b为截面的宽度，S为截面对中性轴的静矩),(2)一般实心截面的细长梁:剪切应变能远小于其弯曲应变能，通常忽略不计。,(1)k由截面的几何形状决定:矩形截面:k=1.2,圆截面:k=10/9,圆环形截面:k=2,能量法/杆件的应变能,例：矩形截面悬臂梁，长L，截面高h，宽b，k=1.2。,细长梁,整个梁的弯曲应变能：,细长梁的剪切应变能远小于弯曲应变能，可忽略不计！,整个梁的剪切应变能：,得,解：,二、应变能的普遍表达式(克拉贝隆原理),F,基本变形下应变能的一般表达式：,式中F广义力(力或力偶)；广义位移(线位移或角位移)且F=C(力与位移成线性关系),表明：弹性体的应变能是一个状态量，仅决定于外力和位移的最终值，与加载的过程无关。,能量法/克拉贝隆原理,应变能的普遍表达式(克拉贝隆原理)的导出,能量法/克拉贝隆原理,证明：,即外力增加的过程为：,材料是线弹性的，则对应的位移也以的比例增加，相应的位移为：,式中：01(从0线性增加到1),能量法/克拉贝隆原理,如果增加d，则位移的相应增量为：,则外力,在以上位移增量上所作的功为（略去高阶微量）：,积分得,此式称为克拉贝隆原理。,能量法/克拉贝隆原理,特别注意点：,广义力，可以是一个力，也可以是一个力偶，或者是一对力，或者是一对力偶。,在所有力共同作用下(因与全部作用力有关)，与广义力相对应的沿着力的方向的广义位移。力沿力矢方向的线位移力偶力偶转向的角位移一对力该对力两作用点沿力矢方向的相对线位移一对力偶该对力偶两作用截面间沿力偶转向的相对角位移,能量法/克拉贝隆原理,力：F，位移：,力：m，位移：,例子,力：F，位移：,力：m，位移：,能量法/克拉贝隆原理,关于应变能计算的讨论,以上计算公式仅适用于线弹性材料在小变形下的应变形能的计算。,应变能可以通过外力功计算，也可以通过杆件微段上的内力功等于微段的应变能，然后积分求得整个杆件上的应变能。,3应变能为内力（或外力）的二次函数，故叠加原理在应变能计算中不能使用。只有当杆件上任一载荷在其他载荷引起的位移上不做功时，才可应用。例如：,能量法/克拉贝隆原理,4应变能是恒为正的标量，与坐标轴的选择无关，在杆系结构中，各杆可独立选取坐标系。,能量法/克拉贝隆原理,M(x)只产生弯曲转角,FN(x)只产生轴向线位移,T(x)只产生扭转角,不计FS产生的应变能,例1试计算图示吊车架的应变能，并应用它求节点A的竖直位移。已知E=200GPa,F=57.6kN。斜杆AB由两根50505mm等边角钢组成，每根角钢的横截面面积，横杆AC由两根No.10槽钢组成，每根槽钢的横截面面积。设各杆自重可以不计。,能量法/克拉贝隆原理,解:,由节点A的平衡条件求得AB杆的内力：,AC杆的内力为：,杆系的应变能：,设节点A的竖直位移为，则由得：,能量法/克拉贝隆原理,例2图示等截面悬臂梁，E,A,I已知。在自由端受集中力F和集中力偶m作用。设材料是线弹性的，试计算梁的应变能。考虑两种不同的加载次序，略去剪力的影响。,解：(1)集中力F和集中力偶m同时由零开始按比例逐渐增加至最终值。,梁自由端的转角为：,(方向与m一致),自由端的垂直位移为：,梁的应变能,能量法/克拉贝隆原理,(2)先作用F,加载时做功为：,再加力偶矩m，外力所作的功为：,梁的总应变能：,从这两种不同的加载次序来看，梁的应变能仅与载荷的始态和终态有关，而与加载次序无关。,能量法/克拉贝隆原理,(3)AB梁的应变能也可通过截面上的内力来计算。,代入应变能的内力表达式：,弯矩方程：,能量法/克拉贝隆原理,从结果中可以看到：第一、三项分别为F和m单独作用时的应变能，故F、m同时作用在杆内所引起的应变能不等于各载荷单独作用时所引起的应变能之和。其原因是这两个载荷都使梁产生了同一种弯曲变形，彼此都在对方引起的位移上做了功（结果中的第二项即代表F和m共同作用时在相互影响下所做的功）。,能量法/克拉贝隆原理,三、卡氏定理,卡氏第二定理,卡氏第一定理,线弹性结构的应变能，对于作用其上的某一广义外力的变化率(偏导数)，等于与该广义外力相应的广义位移。,结构的应变能，对于结构上与某一广义外力相应的广义位移的变化率，等于该广义外力的值。,能量法/卡氏定理,卡氏定理的特殊形式,(1)横力弯曲的梁：,(2)小曲率的平面曲杆：,式中s沿曲杆轴线的曲线长度。,能量法/卡氏定理,(3)桁架,(4)产生拉(压)、扭转与弯曲的组合变形的圆截面等直杆,应用卡氏定理求出为正时，表示该广义位移与其相应的广义力作用的方向一致；若为负值，则表示方向相反。,能量法/卡氏定理,在所求位移处沿所求位移的方向上加上一个虚设的集中力或集中力偶；或一对力或一对力偶，此时应变能为：,或,若所得位移为正，则表示与附加力的方向一致；若为负值，则表示与虚加力的方向相反。,附加载荷法,由卡氏定理得：,能量法/卡氏定理,例5图示刚架的EI为常量，不计轴力和剪力影响，求B、D。,解：,1.求B,(1)列弯矩方程，并求导,DC段：,CB段：,BA段：,能量法/卡氏定理,(2)求B,例5图示刚架的EI为常量，不计轴力和剪力影响，求B、D。,能量法/卡氏定理,例5图示刚架的EI为常量，不计轴力和剪力影响，求B、D。,解：,2.求D,(1)加附加力,DC：,CB：,BA：,(2)列弯矩方程,能量法/卡氏定理,例5图示刚架的EI为常量，不计轴力和剪力影响，求B、D。,(3)求D,能量法/卡氏定理,例6图示弯曲刚度为EI的等截面开口圆环受一对集中力F作用。环的材料为线弹性的，不计圆环内剪力和轴力对位移的影响。试用卡氏第二定理求圆环的张开位移。,解：,将一对力F视为广义力，即为相应的广义位移,能量法/卡氏定理,例7图示梁的材料为线弹性体，弯曲刚度为EI。用卡氏第二定理求中间铰B两侧截面的相对转角。不计剪力对位移的影响。,分析：在中间铰B两侧截面处各加一个外力偶矩MB。,解：,能量法/卡氏定理,梁的弯矩方程及其对MB的偏导数分别为,（0xl）,AB段,BC段,能量法/卡氏定理,中间铰B两侧截面的相对转角为,结果为正，表示广义位移的转向和MB的转向一致。,能量法/卡氏定理,例8悬臂梁受力如图所示，在两力F共同作用下，1,2两截面的挠度分别为y1和y2。试证明：,证明：设作用在1,2两截面的外力分别为F1和F2，且F1=F,F2F，则梁的应变能为U=U(F1,F2)。根据复合函数求导法则，,有,能量法/卡氏定理,注意：若结构上有几个相同的外力时，在利用卡氏第二定理求其中某一力的作用点沿该力方向的位移时，应将该力与其它力区分开。,能量法/卡氏定理,能量法/卡氏定理,例9试用卡氏第二定理求图a所示刚架的支反力。已知两杆的弯曲刚度均为EI，不计剪力和轴力的影响。,解：这是一个一次超静定刚架。,取B处的支反力X为多余未知力。静定基如图(b)。,能量法/卡氏定理,BD段,各段弯矩及其对X的偏导如下,DC段,CA段,注意到B处的变形协调条件By=0及卡氏第二定理,解得,进一步对图(b)列平衡方程，可得A处的支反力,能量法/卡氏定理,第八章能量法,四、功的互等定理位移互等定理,在Fj作用下引起的Fi方向上的位移,四、功的互等定理位移互等定理,功的互等定理位移互等定理是材料力学中的普遍定理，它说明材料服从胡克定律且在小变形的条件下，作用在杆件上的不同点的力和位移间相互关系。,以图示梁为例证明如下：,能量法/互等定理,1.先在1点作用F1,再在2点作用F2,外力功：,外力功：,应变能：,能量法/互等定理,1.先作用F1再作用F2,2.先在2点作用F2,再在1点作用F1,外力功：,外力功：,应变能：,能量法/互等定理,1.先作用F1再作用F2,2.先作用F2再作用F1,变形能只取决于力与位移的最终值，,与加载次序无关,即：,功的互等定理,能量法/互等定理,功的互等定理,结构的第一力系在第二力系所引起的弹性位移上所做的功，等于第二力系在第一力系所引起的弹性位移上所做的功。,能量法/互等定理,由功的互等定理,位移互等定理,注意：,1.上述互等定理对于所有的线性结构都适用。,2.力和位移应理解为广义力和广义位移。,当F1=F2=F时,（力与位移成线性关系的结构）,能量法/互等定理,例10试求图示梁在Me的跨中挠度yC,解：,1.当Me作用时(第一力系),设想在C点作用F(第二力系),2.由功的互等定理,3.查表(附录C),能量法/互等定理,讨论：若应用位移互等定理任何求解？,例11已知简支梁在均布载荷q作用下