《矩阵分析》(第3版)史荣昌,魏丰.第一章课后习题答案

第1章 线性空间和线性变换（详解）1-1 证：用表示n阶矩阵中除第行，第列的元素为1外，其余元素全为0的矩阵.用表示n阶矩阵中除第行，第列元素与第行第列元素为1外，其余元素全为0的矩阵. 显然，都是对称矩阵，有个.不难证明，是线性无关的，且任何一个对称矩阵都可用这n+=个矩阵线性表示，此即对称矩阵组成维线性空间.同样可证所有n阶反对称矩阵组成的线性空间的维数为.评注:欲证一个集合在加法与数乘两种运算下是一个维线性空间，只需找出个向量线性无关，并且集合中任何一个向量都可以用这个向量线性表示即可.1-2解: 解出即可.1-3 解：方法一 设即 故 于是解之得即在下的坐标为.方法二 应用同构的概念，是一个四维空间，并且可将矩阵看做，可看做.于是有因此在下的坐标为.1-4 解：证：设即于是解之得故线性无关.设于是解之得即为所求坐标.1-5 解：方法一 （用线性空间理论计算）又由于于是在基下的坐标为方法二 将根据幂级数公式按展开可得因此在基下的坐标为.评注：按照向量坐标定义计算，第二种方法比第一种方法更简单一些.1-6 解：设将与代入上式得故过渡矩阵设将坐标代入上式后整理得评注：只需将代入过渡矩阵的定义计算出.1-7 解：因为由于秩，且是向量的一个极大线性无关组，所以和空间的维数是3，基为.方法一 设，于是由交空间定义可知解之得为任意数于是很显然所以交空间的维数为1，基为.方法二 不难知其中.又也是线性方程组的解空间.是线性方程组的解空间，所以所求的交空间就是线性方程组的解空间，容易求出其基础解系为，所以交空间的维数为1，基为.评注：本题有几个知识点是很重要的.的基底就是的极大线性无关组.维数等于秩.方法一的思路，求交就是求向量，既可由线性表示，又可由线性表示的那部分向量.方法二是借用“两个齐次线性方程组解空间的交空间就是联立方程组的解空间”，将本题已知条件改造为齐次线性方程组来求解.1-8解:(1):解出方程组的基础解系,即是的基,解出方程组的基础解系,即是的基;(2): 解出方程组的基础解系,即为的基;(3):设,则的极大无关组即是的基.1-9解:仿上题解.1-10解: 仿上题解.1-11 证：设 用从左侧成式两端，由可得因为，所以，代入可得 用从左侧乘式两端，由可得，继续下去，可得，于是线性无关.1-12 解：由1-11可知，个向量线性无关，它是的一个基.又由所以在下矩阵表示为阶矩阵评注：维线性空间中任何一组个线性无关的向量组都可以构成的一个基，因此是的一个基.1-13证: 设设则可以证明1-14 解：由题意知设在基下的矩阵表示是，则由于，故只有零解，所以的核是零空间.由维数定理可知的值域是线性空间.1-15解:已知(1) 求得式中的过渡矩阵,则即为所求;(2)仿教材例1.5.1.(见史荣昌编著.北京理工大学出版社.)1-16解:设,则就是齐次方程组的解空间.1-17证:由矩阵的乘法定义知的主对角线上元素相等,故知的迹相等;再由1-18题可证.1-18证:对k用数学归纳法证。1-19证：设。1-20证：设。1-21解：设。1-22证：设。1-23解：仿线性代数教材例题。1-24 证：若即 所以 因此满足的只能全为零，于是线性无关.1-25 证：容易验证等式所以线性相关.1-26 证：先证：中的元素是线性无关的.设由于中是变量，所以欲使上式对于任何都成立的充分必要条件是于是线性无关. 对于中任何一个向量（多项式）均可由线性表出，这表明：是的基，于是是n维的. 不难验证：也是的一组基.因为 故在这组基下的坐标为1-27 解：的核空间就是的解空间，所以的基础解系就是核空间的基.对 作初等行变换后得因此的解为其中为自由变量.不难知的基础解系可以取为 或 它们都可以作为的核空间的基，核空间是二维的.1-28 解：设在所给基下的坐标为，故即于是有解之得所以在所给基下的坐标为.1-29 解：设于是有解之得所以在已给基下的坐标为.1-30 解：因为故由到的过渡矩阵为1-31 解：将矩阵作初等行变换得上式表明由基到基的关系为（为什么？）所以由到的过渡矩阵为设在下的坐标为，即其中则于是1-32 解：由定理知 是向量组的极大无关组，故它是的基，.设，即且，于是 将的坐标代入上式，解之得 于是 所以的基为，维数为1.又解交空间的向量实质上就是求在中向量也能由线性表示的这部分向量，即确定使得秩秩此即于是 代入 所以的基为，. 1-33 解：方程组与的交空间就是这两个方程组的所有公共解所构成的空间，此即方程组的解空间.容易求得该方程组的基础解系为，它就是所求的基，.1-34 解：不难看出是线性齐次方程组 的基础解系，方程组的解空间为.而是线性齐次方程组 的基础解系，方程组的解空间为.交空间实质上是与公共解的空间，即方程组 的解空间.不难求得方程组的基础解系为，此即的基，维数为1. 所以，基为.1-35 解：于是所求矩阵为1-36 解： ， ， ， ，于是所求矩阵为 注 对于线性映射： 在基与基下的矩阵表示为1-37 解：于是所求矩阵为1-38 解：核子空间就是求满足，由于.故 于是 所以所求的坐标应是齐次方程组 的解空间，求的它的基础解系为 因此核子空间的基是 . 注：的基不是.而是.为什么？的基是 . 的值域 1-39 解：不难求得 因此在