《离散数学》论文

小组成员：黄思博：20090822*秦翔 ：20090822*王鹏飞：2009082273付攀龙：2009082254荀子洲：2009082279李宁 ：2009082263韩艳青：2009082255张东京：2009082284小组学院：信工院信管系09级 离散数学论文一、函数的现代定义函数是数学中的一种对应关系。由映射定义：设A和B是两个非空集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A 中的任何一个元素a，在集合B中都存在唯一的一个元素b与之对应，那么，这样的对应（包括集合A，B，以及集合A到集合B的对应关系f）叫做集合A到集合B的映射记作f：AB。其中，b称为a在映射f下的象，记作：b=f(a); a称为b关于映射f的原象。集合A中多有元素的像的集合记作f(A)。则有定义在非空数集之间的映射称为函数由几何含义: 函数与不等式和方程存在联系。令函数值等于零，从几何角度看，对应的自变量是图像与X轴交点；从代数角度看，对应的自变量是方程的解。另外，把函数的表达式（无表达式的函数除外）中的“=”换成“”，再把“Y”换成其它代数式，函数就变成了不等式，可以求自变量的范围。 函数的集合论（关系）定义：如果X到Y的二元关系fÍXY，对于每个xX，都有唯一的yY，使得f，则称f为X到Y的函数，记做：f:XY。当X=X1Xn时，称f为n元函数。其特点：前域和定义域重合；单值性：ff y=y 。函数的现代定义与经典定义从形式上看虽然只相差几个字，但却是概念上的重大发展，是数学发展道路上的重大转折，近代的泛函分析可以作为这种转折的标志，它研究的是一般集合上的函数关系 函数概念的定义经过二百多年来的锤炼、变革，形成了函数的现代定义，应该说已经相当完善了不过数学的发展是无止境的，函数现代定义的形式并不意味着函数概念发展的历史终结，近二十年来，数学家们又把函数归结为一种更广泛的概念“关系” 二、函数概念的发展函数的概念最早产生于运动的研究如伽利略是用文字语言来表述这些函数关系的“从静止状态开始以定常加速度下降的物体，其经过的距离与所用时间的平方成正比”；“沿着同高度但不同坡度的倾斜平板下滑的物体，其下滑的时间与平板的长度成正比”；显然，只需引进适当的符号，上述的函数关系就可以明确的用数学形式表述： ； 以这些具体的函数为原型，17世纪的一些数学家通过弱抽象获得了如下的函数概念： “函数是这样一个量，它是从一些其它的量通过一系列代数运算而得到的” 上述定义显然过于狭窄了，因为它事实上仅适用于代数函数的范围因此，在其后的发展中，函数概念得到了进一步的扩展随着数学研究的深入，人们逐渐接触到了一些超越函数，如对数函数，指数函数三角函数等，尽管这些函数已经超出了代数函数的范围，但是在一些数学家看来，两者区别仅仅在于超越函数重复代数函数的那些运算无限多次，从而人们又通过弱抽象提出了如下的函数概念： “函数是指由一个变量与一些常量，通过任何方式（有限的或无限的）形成的解析表达式” 这一由欧拉给出的定义尽管仍然过于狭窄，在18世纪却曾长期占统治地位 19世纪初，函数概念再次得到了扩展，函数的概念开始摆脱“解析表达式”，另外狄里克雷更提出了如下的函数概念： “如果对于给定区间上的每一个x值有唯一的一个y值同它对应，那么，y就是x的一个函数” 最后，如果用任意的数学对象去取代具体的数量，并采用集合论的语言，则可以获得更为一般的“映射”概念：如果在两个集合的元素之间存在有确定的对应关系，就称为是一个映射。 函数这个数学名词是莱布尼兹在1694年开始使用的，以描述曲线的一个相关量，如曲线的斜率或者曲线上的某一点。莱布尼兹所指的函数现在被称作可导函数，数学家之外的普通人一般接触到的函数即属此类。对于可导函数可以讨论它的极限和导数。此两者描述了函数输出值的变化同输入值变化的关系，是微积分学的基础。 1718年，约翰贝努里（en:Johann Bernoulli）把函数定义为“一个变量的函数是指由这个变量和常量以任何一种方式组成的一种量。”1748年，约翰贝努里的学生欧拉（Leonhard Euler）在无穷分析引论一书中说：“一个变量的函数是由该变量和一些数或常量以任何一种方式构成的解析表达式”。例如f(x) = sin(x) + x3。1775年，欧拉在微分学原理一书中又提出了函数的一个定义：“如果某些量以如下方式依赖于另一些量，即当后者变化时，前者本身也发生变化，则称前一些量是后一些量的函数。” 19世纪的数学家开始对数学的各个分支作规范整理。维尔斯特拉斯（Karl Weierstrass）提出将微积分学建立在算术，而不是几何的基础上，因而更趋向于欧拉的定义。 通过扩展函数的定义，数学家能够对一些“奇怪”的数学对象进行研究，例如不可导的连续函数。这些函数曾经被认为只具有理论价值，迟至20世纪初时它们仍被视作“怪物”。稍后，人们发现这些函数在对如布朗运动之类的物理现象进行建模时有重要的作用。 到19世纪末，数学家开始尝试利用集合论来规范数学。他们试图将每一类数学对象定义为一个集合。狄利克雷（Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet）给出了现代正式的函数定义。狄利克雷的定义将函数视作数学关系的特例。然而对于实际应用的情况，现代定义和欧拉定义的区别可以忽略不计。 历史表明，重要数学概念对数学发展的作用是不可估量的，函数概念对数学发展的影响，可以说是贯穿古今、旷日持久、作用非凡，回顾函数概念的历史发展，看一看函数概念不断被精炼、深化、丰富的历史过程，是一件十分有益的事情，它不仅有助于我们提高对函数概念来龙去脉认识的清晰度，而且更能帮助我们领悟数学概念对数学发展，数学学习的巨大作用 马克思曾经认为，函数概念来源于代数学中不定方程的研究由于罗马时代的丢番图对不定方程已有相当研究，所以函数概念至少在那时已经萌芽 自哥白尼的天文学革命以后，运动就成了文艺复兴时期科学家共同感兴趣的问题，人们在思索：既然地球不是宇宙中心，它本身又有自转和公转，那么下降的物体为什么不发生偏斜而还要垂直下落到地球上?行星运行的轨道是椭圆，原理是什么?还有，研究在地球表面上抛射物体的路线、射程和所能达到的高度，以及炮弹速度对于高度和射程的影响等问题，既是科学家的力图解决的问题，也是军事家要求解决的问题，函数概念就是从运动的研究中引申出的一个数学概念，这是函数概念的力学来源 早在函数概念尚未明确提出以前，数学家已经接触并研究了不少具体的函数，比如对数函数、三角函数、双曲函数等等1673年前后笛卡儿在他的解析几何中，已经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系，但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分的时候，数学家还没有明确函数的一般意义 1673年，莱布尼兹首次使用函数一词表示“幂”，后来他用该词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量由此可以看出，函数一词最初的数学含义是相当广泛而较为模糊的，几乎与此同时，牛顿在微积分的讨论中，使用另一名词“流量”来表示变量间的关系，直到1689年，瑞士数学家约翰贝努里才在莱布尼兹函数概念的基础上，对函数概念进行了明确定义，贝努里把变量x和常量按任何方式构成的量叫“x的函数”，表示为yx. 当时，由于连接变数与常数的运算主要是算术运算、三角运算、指数运算和对数运算，所以后来欧拉就索性把用这些运算连接变数x和常数c而成的式子，取名为解析函数，还将它分成了“代数函数”与“超越函数” 18世纪中叶，由于研究弦振动问题，达朗贝尔与欧拉先后引出了“任意的函数”的说法在解释“任意的函数”概念的时候，达朗贝尔说是指“任意的解析式”，而欧拉则认为是“任意画出的一条曲线”现在看来这都是函数的表达方式，是函数概念的外延 三、函数所属的学科函数经过了漫长的发展和完善，如今已经发展为了一门完整的重要学科。函数所属的学科有：经典数学、 近代数学、 计算机数学、 随机数学、.经济数学。函数是数学的重要的基础概念之一，是数学分析研究的基本工具。数学意义上的函数包括常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数六种基本初等函数。由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合所构成并可用一个解析式表示的函数，都是初等函数，复变函数四、函数研究的内容五、函数研究的意义在实际生活中，函数将会在哪方面发挥它独特的作用，在学习中，深刻地了解函数，让我们对函数的认识更加全面更加透彻，能使我们更加好地学好数学中的函数，同时通过研究性学习，让我们有更好地解决实际问题的能力，提升说话探究的能力。函数有着不可估量的实际作用。在21世纪的今天，科学的发展为我们提供了莫大的便利，交通、科技、资讯等空前发达，在火星上拍点照片，在太平洋底游弋一番，这些都已不在话下，我们似乎已成了这个世界的主人，还有什么不能征服呢？难道这些不就是都用到函数？小到我们生活中的随便抛一个物体，大到我们发射火箭卫星航天飞机，无处不是蕴含着函数那条奇妙的线。自17世纪近代数学产生以来，函数的概念一直处于数学的核心位置，数学和科学的绝大部分都与函数内容有关，在数学和科学的绝大部分学科中，函数关系随处可见，例如，圆柱体的体积和表面积是其半径的函数，流体膨胀的体积是温度的函数，运动物体的路程是时间的函数，抛出的物体在空中的位置可以在坐标轴中用一个一个点的位置来表示，相乘的两个数的关系是反比例等等。在数学领域函数是一种关系，这种关系是一个集合里的每一个元素对应在另一个集合里的唯一元素，这也是用函数表示。函数包括：三角函数、二次函数、对数函数、指数函数、一次函数、反函数、幂函数、虚函数等等。十七世纪伽俐略在两门新科学一书中，几乎全部都包含函数，用文学和比例的语言表达函数的关系，1914年在集合纪纲要中用弧的概念，1930年的现代函数定义为若对集合M的任意元素X，总在集合N确定的关系与之对应，则称为集合M上定义函数记为y=f(x)。在中国清代数学家李善兰（18111882）翻译的代数学一书中首次用中文把“function”翻译为“函数”，此译名沿用至今。对为什么这样翻译这个概念，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”；这里的“函”是包含的意思。） 总之，函数的出现，使交通、设计、建设、航天、等方面有了巨大进步，在军事方面也有突出贡献。有了函数，可以计算出导弹的着落点、轨迹使导弹有了准确的目标，增加了准确度。不知有着多少作用不被我们知道。从中，我们觉得深入了解函数，会有非常大的意义。六、函数的应用领域函数现在被广泛应用在很多领域。 函数的应用的领域包括天文学、物理学、经济学、生物学、其他数学分支物理学与数学紧密联系，物理学中函数图像以解析几何中的坐标法为基础，借助数形结合，表现相关物理量间的依存关系，直观、形象地表达各种现象的过程和规律。它是物理规律和理论的表达形式之一，它不仅是定量分析和计算的工具，而且还可以运用数学的抽象和研究方法形成物理概念，认识物理规律和解决物理问题。笛卡尔几何学理论以两个观点为基础，即坐标和用坐标法与把带有两个未知数的任意代数方程视为平面上的一条曲线，描述运动的函数关系与解析几何中曲线问题相结合，他的基本思想就是几何方法与代数方程沟通。而后，伽利略应用数理结合的方法，以准确的数学证明寻求物理规律，用函数图像形式代替文字表达物理定律。牛顿的著作中也多次使用坐标并正确地运用纵横轴，他利用欧氏几何做工具，建立了力学体系，奠定了动力学基础。函数图像理论在物理学中的确立，推动了物理学的进一步发展。物理与数学相结合，用函数图像表示物理定律，寻求物理规律的方法得到了广泛应用。物理学研究不能仅埋首于公式的推演，应询问其实质，构想出鲜明的物理图像。一副简洁的函数图像所表达的物理过程和规律可蕴涵许许多多语言才能阐明的深刻含义。一些抽象的物理概念和规律若从数形结合思想出发，恰当地引入物理函数图像则可变抽象为形象。如：简谐波的表达式Y=ACOSw（t -x/y），单就公式看，波的概念是模糊的，将其函数图像画出后却能形象、直观地将波的运动情况表示出来（图2.1）。质点能够达到的最大位移为振幅A，两相邻波峰之间的距离为波长，由图还可看出此时刻各质点的位移，若波向右传，C为波速，则振动状态传播到x处的时间为t=x/c。函数图像形象、直观地描述物理概念和规律，有助于我们更好地认识物理规律，理解物理概念。物理学是实验科学，将实验数据在函数图像上描绘出来，能形象、直观地表现两个物理量的变化关系和趋势。因此，函数图像是实验结果的载体，在分析、探索、验证物理规律时起到了巨大作用。如：黑体辐射问题的探索中，实验得出了平衡时辐射能量密度分布曲线。许多人企图用经典物理说明这种规律，维恩及瑞利和金斯分别推导出了维恩公式、瑞利金斯公式，然而理论结果和实验结果的函数图像比较时却发现两个公式不能同实验结果很好符合；普朗克打破传统观念，假设黑体以h的能量单位不连续地发射和吸收频率为的辐射，提出了“能量子”的概念，得到普朗克黑体辐射公式，他的公式函数曲线与实验曲线能很好的符合。人们用实验所得的函数图像进行比较，雄辩地证明了经典理论不能解释黑体辐射的实验事实。经典物理在解释光电效应规律时也遇到了困难。为解释光电效应规律，爱因斯坦发展了普朗克的能量子假说，认为光具有波动性外和粒子性，提出了爱因斯坦方程（1/2mv =h-W）。光量子理论是否正确，原有的理论知识是不能证明的。若以为横坐标，光电子动能为纵坐标，将实验结果在函数图像上作出动能与的线性关系。可见函数图像在物理研究中，在新理论的建立过程中起到了重要作用。它使我们的研究和新理论的建立不脱离实际，促进了物理学的发展和创新。物理学研究中，根据现有理论进行逻辑推理和数学演算的过程中往往会遇到一些烦琐的方程。若单从数的方面分析推导，则相对繁杂甚至求不出结果，若巧妙利用函数图像将数和形结合起来解释物理方程，可以弃繁从简，化难为易，显得巧妙直观。函数图像是通过实验获取相互关联的各物理量的实验数据，依据数据绘制而成或通过理论研究得出相关联各物理量间的函数关系，然后依据函数关系绘制而形成。从函数图像的形成过程来看，它是实验结果或理论研究结果的载体，它的形成要依赖于实验和理论研究。因此函数图像应用于物理学中研究时，并不是单独作用的，也不是凭空产生的，一个错误的实验或理论推导所得出的函数图像在物理学研究中是没有用的。七、函数研究的若干难点与热点函数的热点以及难点问题主要体现在以下几个方面：重点：利用二次函数的知识对现实问题进行数学地分析，即用数学的方式表示问题以及用数学的方法解决问题。难点：将现实问题数学化，情景比较复杂。热点1 函数的奇偶性定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(x)=f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数。需要注意的地方有1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。函数奇偶性有2个简单性质：图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称；设 ， 的定义域分别是 ，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇 奇=偶，偶+偶=偶，偶 偶=偶，奇 偶=奇热点2： 函数的单调性定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)），那么就说f(x)在区间D上是增函数（减函数）；需要注意的地方有1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；2 必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1x2时，总有f(x1)f(x2)函数的单调性有2个简单性质：奇函数在其对称区间上的单调性相同；偶函数在其对称区间上的单调性相反；热点3： 最值最大值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0) = M。那么，称M是函数y=f(x)的最大值。最小值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0) = M。那么，称M是函数y=f(x)的最小值。考点4： 周期性定义：如果存在一个非零常数T，使得对于函数定义域内的任意x，都有f(x+T)= f(x)，则称f(x)为周期函数。一些其它问题：以复数作为自变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论。复变函数论的发展简况复变函数论产生于十八世纪。1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。而比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们。因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔-欧拉方程”。到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯西-黎曼条件”。复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱。后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯。二十世纪初，复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生，瑞典数学家列夫勒、法国数学家彭加勒（也译作 庞加莱）、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了贡献。复变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的。比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。复变函数论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方面的内容。如果当函数的变量取某一定值的时候，函数就有一个唯一确定的值，那么这个函数解就叫做单值解析函数，多项式就是这样的函数。数学分支中的应用：复变函数也研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做黎曼曲面。利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和说明。对于某一个多值函数，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函数在离曼曲面上就变成单值函数。黎曼曲面理论是复变函数域和几何间的一座桥梁，能够使我们把比较深奥的函数的解析性质和几何联系起来。近来，关于黎曼曲面的研究还对另一门数学分支拓扑学有比较大的影响，逐渐地趋向于讨论它的拓扑性质。复变函数论中用几何方法来说明、解决问题的内容，一般叫做几何函数论，复变函数可以通过共形映象理论为它的性质提供几何说明。导数处处不是零的解析函数所实现的映像就都是共形映象，共形映像也叫做保角变换。共形映象在流体力学、空气动力学、弹性理论、静电场理论等方面都得到了广泛的应用。留数理论是复变函数论中一个重要的理论。留数也叫做残数，它的定义比较复杂。应用留数理论对于复变函数积分的计算比起线积分计算方便。计算实变函数定积分，可以化为复变函数沿闭回路曲线的积分后，再用留数基本定理化为被积分函数在闭合回路曲线内部孤立奇点上求留数的计算，当奇点是极点的时候，计算更加简洁。把单值解析函数的一些条件适当地改变和补充，以满足实际研究工作的需要，这种经过改变的解析函数叫做广义解析函数。广义解析函数所代表的几何图形的变化叫做拟保角变换。解析函数的一些基本性质，只要稍加改变后，同样适用于广义解析函数。广义解析函数的应用范围很广泛，不但应用在流体力学的研究方面，而且象薄壳理论这样的固体力学部门也在应用。因此，近年来这方面的理论发展十分迅速。从柯西算起，复变函数论已有170多年的历史了。它以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个重要组成部分。它曾经推动过一些学科的发展，并且常常作为一个有力的工具被应用在实际问题中，它的基础内容已成为理工科很多专业的必修课程。现在，复变函数论中仍然有不少尚待研究的课题，所以它将继续向前发展，并将取得更多应用八 自己的认识与理解对有关函数概念的认识与理解 函数的定义是建立在两个非空数集上的一种对应，包括一对一、多对一两种情形。其中有几点需要注意： 一是必须是两个非空的数集A和B，而不是其他的集合； 二是对A中的任意一个元素x,在对应关系f的作用之下，在B中必有一个元素f(x)与它对应； 三是f:AB中A、B是有顺序的，有主次之分的； 四是明白A是所有x的集合，叫做函数的定义域，所有对应元素f(x)的集合f(x)|xA叫做函数的值域，特别要清楚，一般情况下值域f(x)|xA是集合B的子集，言下之意B中可以有元素不是A中元素的对应元素。 对于函数概念一定要把握其三要素：定义域、对应关系和值域，还要坚持一个原则：定义域优先。 对集合观点下的函数定义如果能抓住这样几点，就说对函数概念的理解上升了一个层次。 在学习了函数定义、基本性质之后，从一般概念的讨论进入到具体函数的学习。指数函数、对数函数和幂函数的概念及其性质都是一般函数概念及性质的具体化。以一类具体函数为载体，在一般函数概念的指导下对其性质进行研究，体现了“具体抽象具体”的过程，是函数概念理解的深化。对函数研究内容的认识与理解函数的内容包括：函数概念及其性质，基本初等函数，函数与方程，函数模型及其应用。以理解函数概念本质为线索，可以将这些内容有机地组织为一个整体，逐步深入地理解函数。我们不仅需要掌握函数的基本表示方法，还要明确什么样的函数用什么样的方法表示是适当的，要学会在具体问题中选择恰当的方法来表示函数关系，另外还要掌握常见函数的三种表示方法之间的相互转化，尤其是提高我们的读图能力，能充分利用函数图像提供的信息，解决相关问题，强化数形结合意识。 既然函数是描述事物运动变化规律的