高三数学复习知识与题型纲要.doc

1 目 录 复习建议2 假算的妙用4 函数的性质7 三次函数问题9 恒成立能成立问题12 恒成立及存在问题14 均值不等式16 绝对值问题18 类比推证20 三角函数23 等差数列的性质26 数列求通项公式28 数列求和31 两个圆的位置33 椭圆34 双曲线37 抛物线41 正四面体46 直角四面体47 组合体48 排列组合50 二项式定理51 高考数学盲点大焦点52 2 复习建议 一.注意的几点 各个复习阶段都要做到三个回归，即“回归教材，回归基础，回归近几年的高考题” 注重良好习惯的培养。 速度 计算的准度 表达完整与工整。 二.高考阅卷中遇到的问题 1是字迹潦草，让改卷老师如看天书。这种卷子，改卷老师因为看不懂，常常就不给 分，或者给很少的分数； 2是卷面不整洁、结构混乱。有的地方画横线，有的地方画个圈，有的地方又涂成黑 块，还有的考生是写一段画一段，随意删改，让老师视觉无比疲劳，万一老师找不到关 键点，没给分也是常有的事； 3是出现一些笔误，如字母或者下标写错等等。 原因分析：审题马虎；基础欠佳；运算能力差；放空炮；忽视新内容；发挥失常。 掌握选择题是选出来的，选择题要不择手段；掌握小题小做大题大做的规律。 三.现在怎么做 1、在平时当中一定要求学生选择填空一分钟一道题。用数学思想方法高速解答选择填 空题。注意不要傻算傻解，要学会巧算和巧解。选择填空和前 3 道解答题都是数学基础 分。后 3 题不是只做第一问的问题，而应该猜想评分标准，按步骤由前向后争取高分。 2、因为高考受时间的限制,因此拿到题后要迅速解决“从何处下手”, “向何方前进” 这两个基本问题,这与平时作业没有时间限制有很大的区别,高考有明显的速度要求。 3、由于高考题量大,且实行“分段评分”,所以要求学生必须作心理换位,从平时做作业 的“全做全对”要求,转到立足于完成部份题目的部份上来,并积极争取“分段得分” 。 即合理应用数学解题策略,使所掌握的知识能充分表示出来,并转化为得分点,比如:分解 分步的解题策略;引理或中途点的解题策略;以退求进 的解题策略;正难则反的解策略; 从特殊到一般的解题策略等解题技术,使得进可以全题解决,退可以分段得分。 4、 运用应对选拔的考试技术 （1）做到“四先四后”,考虑到满分卷极少数的,绝大多数考生都只能答部份题或题 目的部份,执行好“四先四后”的技术是明智的。即: a、先易后难:就是说先做简单题,后做困难题,跳过啃不动的题目,对于低分题不能耽误 时间过长,千万防止“前面难题久攻不下,后面易无暇顾及” 。 b、先熟后生:通览全卷,即可看到较多有利条件,也有较多不利因素,特别是后者,不要惊 慌失措,万一试题偏难,首先要学会暗示自己,安慰自己“我难、你难、他也难,大家都难 不算难,要镇定,不要紧张”,先做那些容易掌握比较到家,题目比较熟悉的题目,这样容 易产生精神亢奋,会使人情不自禁的进入境界。 c、先高后低:就是说要优先处理高分题,特别是在考试后半时间,更要注意解题的时间效 3 益,两道都会做的题,应先做高分题,后做低分题,尽可能减少时间不够而失分其次要注意 前面低分题久攻不下,后面高分容易题无时间光顾这种想象发生。 d、先同后异:就是说考虑将同学、同类型的题目集中处理,这些题目常常用到同样的数 学思想和类似的思考方法,甚至同一数学公式,把它们和起来,一齐处理,思考比较集中, 方法知识网络比较系统,避免兴奋中心的过快转移带来不利的影响。 （2）答题“一快一慢”:这就是说审题要慢,答题要快。 审题要慢:是说题目本身包含无数个信息,问题是你将如何将这无数个信息通过加工、整 理成你的有用的东西。这就是需要逐字逐句看清楚,力求从语法结构、逻辑关系、数学 含义、解答形式、数据要求等各方法弄懂这一步不要怕慢。 “成在审题,败在审题” 。 5、掌握高考解题的思维规律 研究表明:中学教材是高考试题的基本来源,每年平均有 50-80的试题是课本的类型、 变题。少量高难题找不到课本的原型,但实际也是按课本知识所能达到的范围来设计的, 因此解高考题与平时作业不同之处在于他在特殊环境下和特定的条件下完成的,其中最 显著的特点是严格受时间的限制,因此解高考题必须做到:迅速解决“从何处着手”; 迅速解决“向何方前进”; 立足中下题目,力争高水平;立足一次成功,避免重复 复查。 6、注意加强分段得分技术 高考试题的有一个明显特点是“进门容易、出门难”,因此,在解高考试题分段中又一个 技术是分段得分。 继续强调： 分解分步-缺步解答:解题中遇到一个很难的问题,实在啃不动,一个明智的策略是, 将他分解为一系列的子问题,先解决问题的一部分,把这种情况反映出来,说不定起到 “柳暗花明” 的效果,也就是说在高考解答中能做几步算几步,能解决什么程度就表达 到什么程度,最后虽不能拿满分,但部份分总是可以拿的。 以退求进-退步解答: “以退求进”是一个重要的解题策略,如果我们不能马上解决 的所面临的问题,那么可以从一般到特殊,从抽象到具体,从复杂到简单,从整体退到部分,从 较强的结论退到较弱的结论,总之退到一个能够解决的问题上来。这叫做“退一步,海阔 天空” 。 正难则反-倒步叫做“正难则反”也是一个重要的解题策略,顺推有困难时就逆推, 直接证明有困难时就从见解证明,从左推有困难时就从右推,从条件有困难时就从结论出 发,这种死亡方式叫逆向思维,效果很好。 扫清外围-辅助解答:一道题目的完整解答,即有主要的实质步骤,也要有辅助性的步 骤,实质性的步骤找不到,找辅助解答的步骤也是明智的,有时间甚至是必可少的。辅助 解答的内容十分广泛,如准确作图,条件翻译等。 大胆猜测认真作答:猜测是一种能力,最后就是在结实过程中实在没有办法,无从下 手,不妨就用猜想来“进可攻全对,退可分步得分” 。 4 假算的妙用透过数字看本质： 94 年全国高考的一道填空题， ，0 1 sincos 5 则.则tan_0, 2 sincos1,2 常规解法是用解方程组，运算量较大，但毕竟可解. 22 sincos1 北京的高考题： ，求；再用上面的方法就0 13 sincos 2 tan 让人头疼了.研究一下，分母“5” 怎么来的？联想到，因此干 1 5 sin,cos yx rr 脆令“5=r”及想到勾股数 3、4、5，所以，中一定有一负数，结合条件，不难想到 只有即，由此，.3,4xy 43 sin,cos 55 4 tan 3 至此，北京题中，不难想到， ，问题易解.至于 13 sin,cos 22 类的问题迎刃而解. 17 sincos,sincos 513 （12 山东理）若 4 2 ， 3 7 sin2 = 8 ，则 sin= （A） 3 5 （B） 4 5 C） 7 4 （D） 3 4 化为且可得答案（D） 3 737 sincos 1644 37 44 ，则角范围可能是（ ）sincostan （A） （B） （C） （D）0, 6 , 6 4 , 4 3 , 3 2 注意到：，可得答案（C） sincos2sin1,2 4 2已知为锐角，则为（ ）, 4 tan 3 1 tan 7 5 （A） （B） （C） （D） 3 4 6 4 注意到，均为有理数，结合的公式，不难得到 tantantan()tan() 的值仍为有理数，去（A） （C）,根据正切函数的单调性，可知 ，所以正确答案 为（B）. 3已知数列的前 n 项和=，则通项=_. n a n S 2 53nn n a 若按照=(n2)来计算，不仅计算量大，而且易出错，但由的特征 n a 1nn SS n S 可判断出必为等差数列，且,故 d=10；由此很快就可求出 n a 11 8,5 2 d aS .事实上，高考中出现的等差数列、等比数列都是较为简单的.102 n an （07 山东文）设是公比大于 1 的等比数列，为数列的前项和已知 n a n S n an ，且构成等差数列 3 7S 123 334aaa， 注意到：且 4,6,8 构成等差数列，列出方程组解得即可.7124 4.解析几何中，椭圆知道离心率推测方程. （12 山东文）如图，椭圆 M：1 2 2 2 2 b y a x )0( ba的离心率为 2 3 ，直线 ax和by所围成的矩形ABCD的面积为 8. 解 2 3 3 2 21 a c c a abb （13 山东理）椭圆 C：（ab0）的左、右焦点分别是 F1、F2,离心率为 22 22 1 xy ab ，过 F1且垂直于 x 轴的直线被椭圆 C 截得的线段长为 l. 3 2 6 解 2 3 2 2 3 2 11 c a a c b b a （13 年天津数学理）设椭圆的左焦点为 F, 离心率为, 过点 F 22 22 1(0) xy ab ab 3 3 且与 x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为. 4 3 3 解 2 31 3 33 1 24 34 2 33 c a a c b b a 另外，已知双曲线的渐近线方程，如何求离心率？2yx 我们可以设想，高考题中的数列题、圆锥曲线题是怎么编制的？ 5.空间向量中，怎么求法向量？ 以上的计算，并没有按常规的步骤进行，而是由数字特征进行分析，甚至跳步，迅 速得到正确结果，我们称之为“假算” ，其实在解答题中也可利用，只不过步骤得写的 严谨些罢了. 可见，研究数字背后的故事，数字不再冰冷；当你看到题目给出的数据，会看到一 个个生动鲜活的精灵；对数字有了感情，你才能小题小做，小题巧做，大题大做. 7 函数的性质 1.函数的对称性 （1）如果函数对于一切，都有 或 xfy Rxxafxaf f(x)f(2ax)，那么函数的图像关于直线对称 是偶函 xfy ax yf xa 数； （2）若都有，那么函数的图像关于直线对称；xbfxaf xfy 2 ba x 特例:函数与函数的图像关于直线对称.xafyxafy0x （3）如果函数对于一切，都有，那么函 xfy Rxbxafxaf2）（）（ 数的图像关于点（）对称. xfy ba， （4）函数与函数的图像关于直线对称；函数与函 xfy xfy0x xfy 数的图像关于直线对称；函数与函数的图像关 xfy0y xfy xfy 于坐标原点对称； 2.函数的周期性，主要有几种情况： （1）如果函数对于一切，都有，那么函数 xfy Rxaxfaxf 是周期函数，T=2a； xfy （2）函数值之和等于零型，即函数)(0)()(baxbfxaf 对于定义域中任意x满足)(0)()(baxbfxaf，则有 )()22(xfabxf，故函数)(xf的周期是)(2abT （3）函数图像有ax ，)(babx两条对称轴型 函数图像有ax ，)(babx两条对称轴，即)()(xafxaf， )()(xbfxbf，从而得)()22(xfabxf， 故函数)(xf的周期是)(2abT （4）两个函数值之积等于，即函数值互为倒数型k 若，则函数)(xf的周期是 0f xf xak k2Ta 3.函数的奇偶性 8 在公共定义域内， （1）两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； （2）两个偶函数的和、积都是偶函数； （3）一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数（符号法则） （4）.若奇函数在区间上是增函数，则在区间上也是 xfy , 0 xfy 0 , 增函数； （5）.若偶函数在区间上是增函数，则在区间上是减 xfy , 0 xfy 0 , 函数； 4.图像变换 （1）函数的图像是把的图像沿 x 轴向左平移 a 个单位axfy)0(a xfy 得到的；函数(的图像是把的图像沿 x 轴向右平移个单axfy)0( a xfy a 位得到的； （2）函数+a的图像是把的图像沿 y 轴向上平移 a 个单位得 xfy )0(a xfy 到的；函数+a的图像是把助图像沿 y 轴向下平移个单位 xfy )0( a xfy a 得到的。 （3）函数的图像是把函数的图像沿 x 轴伸缩为原来的得 axfy )0(a xfy a 1 到的； （4）函数的图像是把函数的图像沿 y 轴伸缩为原来的 a 倍 xafy )0(a xfy 得到的. 5.函数的最值的求法 （1）若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数，常用配方法，后讨论。 （2）利用函数的单调性求最值：先判断函数在给定区间上的单调性，然后利用函数的 单调性求最值。 （3）基本不等式法：当函数是分式形式且分子分母不同次时常用此法 （4）导数法：当函数比较复杂（不认识）时，一般采用此法 （5）数形结合法：线性规划模型。 6. 几个常见的函数方程 (1)正比例函数,.( )f xcx()( )( ),(1)f xyf xf yfc (2)指数函数,.( ) x f xa()( ) ( ),(1)0f xyf x f yfa 9 (3)对数函数,.( )logaf xx()( )( ),( )1(0,1)f xyf xf yf aaa (4)幂函数,.( )f xx ()( ) ( ),(1)f xyf x f yf (5)余弦函数,正弦函数，( )cosf xx( )sing xx()( ) ( )( ) ( )f xyf x f yg x g y 三次函数问题 三次函数图像 32 ( )(0)f xaxbxcxd a a0a0000 图 象 2函数单调性、极值点个数情况。= 32 ( )(0)f xaxbxcxd a ( ) fx ， 2 32axbxc 记=，（其中x1,x2是方程=0的根，且x10a0000 单 调 性 在 上 12 (,),( ,)xx 是增函数；在 上是减函数； 12 ( ,)x x 在R上是增函 数 在上是增函 12 ( ,)x x 数； 上 12 (,),(,)xx 是减函数； 在R上是减函 数 极值 点个 数 2020 例 1.已知 f(x)ax3bx2cxd 为奇函数，且在点(2，f(2)处的切线方程为 9xy160. （1）求 f(x)的解析式； （2）求 f(x)的单调区间及极值； （3）求在上的最值。. f x0,3 x x1x2x0 x x1x2 x x0 x 10 （4）在上，实数为何值时，方程有一个、二个解？0,3m f xm （5）实数为何值时，方程有一个、二个、三个解？m f xm （6）当时，恒成立，求实数的取值范围。0,3x 2 3f xkkk （7）为何值时，函数有一个零点？两个零点？三个零点？a 3 ( )3h xxxa （8）证明：对任意，不等式恒成立。 1 x 2 1,1x 12 4f xf x （9）对任意，不等式恒成立，求的取值 1 x 2 1,1x 2 12 3f xf xmmm 范围. （10）若，如果过点可作曲线的三条切线，求的取值范围。0a ,2A a yf xa 例 2.函数 f（x）= （） 32 1 2 32 a xxaxaR （1）若处取得极值，求常数 a 的值； 3)(xxf在 （2）在(-,+)上为单调增函数，求实数 a 的取值范围。 f x （3）在上为单调增函数，求实数 a 的取值范围。 f x1, （4）在(-,+)上有两个极值点，求实数 a 的取值范围。 f x （5）在(-,+)上不是单调函数（有三个单调区间） ，求实数 a 的取值范围。 f x （6）在(-,+)上有一正一负两个极值点，求实数 a 的取值范围。 f x 欣赏 1.（05 山东理 19 文 19)已知是函数的一个1x 32 ( )3(1)1f xmxmxnx 极值点，其中。,0m nR m （I）求与的关系式；mn36nm （II）求的单调区间；( )f x （III）(理科做)当时，函数的图像上任意一点的切线斜率恒大于 31,1x ( )yf x ，求的取值范围.mm 11 2.求函数的单调区间。 1 lnf xaxaxaR x 3.求函数的单调区间。 1 1 lnf xaxaxaR x 求导后的分类讨论策略 设分子 2 h xaxbxc 1.是否为二次？讨论；a 2.是否有根？讨论（时，恒成立）0 0h x 3.是否有等根？（时，恒成立）0 0h x 4.两个不等根是否在定义域内？结合图像可得结论。若只有一个跟，用双曲函数模型； 若两个不等根，用三次函数模型。 特例：1. ；2. ；3. ；4. h xxa 1h xax 2 h xaxb 2 h xaxbx 12 恒成立、能成立问题 1.若对恒成立，求实数 a 的取值范围。,xR 2 20 xxa 2.若函数的定义域为，求实数 a 的取值范围。 2 lg1yaxaxR 3.若函数的定义域为，求实数 a 的取值范围。 2 1yaxaxR 4. 若对恒成立，求实数 a 的取值范围。2,3 ,x 2 20 xxa 5. 若对恒成立，求实数 a 的取值范围。2,3 ,x 2 20 xxa 6.若对，恒成立，求实数 a 的取值范围。xR 4 ax x 7.若对恒成立，求实数 a 的取值范围。2,3 ,x 4 ax x 8.若对恒成立，求实数 a 的取值范围。 1,3 ,x 4 ax x 9. 若成立，求实数 a 的取值范围。2,3 ,x 2 20 xxa 10. 若成立，求实数 a 的取值范围。2,3 ,x 2 20 xxa 11. 若方程有解，求实数 a 的取值范围。,xR 2 20 xxa 12. 若方程有解，求实数 a 的取值范围。2,3 ,x 2 20 xxa 13. 若方程有解，求实数 a 的取值范围。,xR 9310 xx a 14. 若方程有解，求实数 a 的取值范围。,xR 2 cos2sin0 xxa 15. 若方程有解，求实数 a 的取值范围。 2 , 63 x 2 cos2sin0 xxa 16. 若对，不等式恒成立，求实数的取值范围。1,1 ,a 2 4420 xaxax 小结： 13 一、恒成立问题：全称命题 1.一次函数型 给定一次函数 y=f(x)=ax+b(a0),若 y=f(x)在m,n内恒有 f(x)0，则根据函数的图像 （直线）可得上述结论等价于 或亦可合并成 0 0 a f m 0 0 a f n 0 0 f m f n 同理，若在m,n内恒有 f(x)0，y0，且 3x+4y=12，求 lgx+lgy 的最大值及此时 x、y 的值 例 3. 求函数的最小值。 4 0yxx x 求函数的最大值。) 10)(23(xxxy 一般化：双曲函数的最小值0,0 k yxxk x 为，2 k 当且仅当时，取等号。且函数在单减，xk 0,k 在单增。 ,k 求函数的最小值。 2 4 0 x yx x 求函数的最大值。 2 4 0 xx yx x 求函数的最小值。 4 1 1 yxx x 若对任意，求实数的取值范围。0 x 2 31 x a xx a y O x k k 17 求函数的最小值。 2 25 1 1 xx yx x 一批救灾物资随 17 列火车以 v 千米/小时的速度匀速直达 400 千米处的灾区，为了安 全起见，两辆火车的间距不得小于千米，问这批物资全部运到灾区最少需要几小 2 ) 20 ( v 时？ 经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量（千辆/小时）与y 汽车的平均速度（千米/小时）之间的函数关系为：.在v 2 920 31600 v y vv (0)v 1 该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（精确到v 千辆/小时）若要求在该时段内车流量超过千辆/小时，则汽车的平均速度应1 . 0 210 在什么范围内？ 类型三：已知和为常数，求和的最值。 例 4. 已知正数 x、y 满足，求的最小值.21xy 12 xy 已知0,0 xy且满足 28 1 xy ,求xy的最小值. 函数的图象恒过定点 A, 若点 A 在直线 mx+ny+1=0log (3) 1(0,1) a yxaa 上, 其中 mn0, 求 + 的最小值。 1 m 2 n 已知0,0 xy且满足,求xy的最小值.82xyxy 已知正数 x、y 满足，求的最小值. 22xy 12 xy 已知0,0 xy且满足,若恒成立，求的取值范围 21 1 xy 2 22xymmm 已知不等式对任意正实数恒成立,求正实数的最小值。 1a xy xy 9, x ya 类型四：已知和、积的关系式，求和（积）的最值。 例 5.若正数 a，b 满足 ab=a+b+3，求 ab 的取值范围； 的取值范围； ab 18 绝对值问题 一绝对值方程： 类型一.0axbc c 类型二.axbcxd 二绝对值不等式： 类型一.1.0 xa aaxa 2.或0 xa axa xa 3.或0axbabbxa axb 类型二。移项、平方可解。0axbcxd 练习：(09 山东理)不等式的解集为 .0212xx 类型三.xaxbm 例 1 解不等式：413xx 解法一： 分类讨论 解法二：几何意义 函数的图像与性质如右：yxaxb 1.最小值为，无最大值；2.对称轴方程为ab 2 ab x 解法技巧。1.王冠状；2.左右对称的錯一半； 1.(11 山东理)不等式|x-5|+|x+3|10 的解集是 （A）-5,7 (B)-4,6 (C)(-,-57，+) （D）(-，-46,+) 2.（08 山东理）设函数 f(x)x+1+x-a的图像关于直线 x1 对称，则 a 的值 为 (A)3 (B)2 (C)1 (D)-1 19 3.若关于的不等式|x-5|+|x+3|对都成立，则实数的取值范围是x21axRa _ 变式：不等式|x-5|+|x+3|的解集是 . 12 类型四.xaxbcc 函数的图像与性质如下：yxaxb 1.最大值为，最小值为；2.对称中心坐标为abab,0 2 ab M 画图与解法技巧。1.先做出并连接；2.左端点左去，右端点右 ,A a f aB b f b 去；3.成比例求解。 （13 山东理）在区间-3,3上随机取一个数 x，使得 |x+1 |- |x-2 |1 成立的概率为 20 类比推理 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有 这些特征的推理称为类比推理（简称类比） 简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理. 类比推理的基本模式：A：具有属性 a，b，c，d；B：具有属性 a，b，c； 结论：B 具有属性 d. 一.立体几何中的类比 平面空间 三角形两边之和大于第三边 三棱锥任意三个面的面积之和大于第四个面 的面积 三角形的面积等于任意一边的长 度与这边上高的乘积的一半 三棱锥的体积等于任意一个表面的面积与该 表面上的高的乘积的三分之一 三角形的面积等于其内切圆半径 与三角形周长的乘积的一半 1.如图所示，在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个 直角三角形，按图形所标的边长，有 c2a2b2. 设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂 直的三棱锥 OLMN.如果用 S1，S2，S3 表示三个侧面的面积，S4 表示底面积，试类 比得到一个相应的命题 . 2.在平面几何里，有勾股定理：“设的两边 AB、AC 互相垂直，则ABC 。 ”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，可以得出的正确结论是： 222 ABACBC “设三棱锥的三个侧面 ABC、ACD、ADB 两两相互垂直，则ABCD 。 ” 2222 ABCACDADBBCD SSSS 21 3.在平面中，如果一个凸多边形有内切圆，那么凸多边形的面积 S、周长 c 与内切圆半 径 r 之间的关系为。类比这个结论，在空间中，果已知一个凸多面体有内切球，crS 2 1 且内切球半径为 R，那么凸多面体的体积 V、表面积 S与内切球半径 R 之间的关系是 4.在平面上，若两个正三角形的边长比为 12，则它们的面积比为 14.类似地，在空 间中，若两个正四面体的棱长比为 12，则它们的体积比为_ 5.在平面内，直线 a、b、c，若 ab，bc，则 ac；在空间内，三个平面 、， 若 ，但 与 之间可能平行，也可能相交 二数列中的类比 等差数列与等比数列有下列相似的性质： 等差数列的定义：从第二项起每一项与它前一项的差等于同一个常数； 等比数列的定义：从第二项起每一项与它前一项的比等于同一个常数。 等差数列的通项公式是：前 n 项和：； 1 1; n aand 1 1 2 n n n Snad 等比数列的通项公式是：前 n 项和：。 1 1 . n n aa q 1 1 1 n n aq S q 若 a、b、c 成等差数列，则 b 叫做 a、c 的等差中项，且；2bac 若 A、G、B 成等比数列，则 G 叫做 A、B 的等比中项，且。 2 GAB GAB 通过与等差数列性质的类比，可以推测等比数列的有关性质： 等差数列等比数列 若且则, , ,m n l kN,mnkl mnkl aaaa 若且则, , ,m n l kN,mnkl mnkl aaaa 从等差数列中抽去项数成等差数列的 项（顺序不变） ，仍构成等差数列。 从等比数列中抽去项数成等差数列的 项（顺序不变） ，仍构成等比数列。 对于有穷等差数列，与首尾两项等距 离的两项之和相等。 对于有穷等比数列，与首尾两项等距 离的两项之积相等。 等差数列中， 仍成等差数列。 232 , nnnnn SSSSS 等比数列中， 仍成等比数列。 232 , nnnnn SSSSS 22 等差数列中，若项数为 2n，nN 则；若项数为 21nnn Sn aa ，则。21nnN 21 21 nn Sna 等差数列中，若项数为 2n，nN 则；若项数为 21 n nnn Saa ，则。21nnN 21 21 n nn Sa 其中前四个类比得到的结论是正确的，最后一个则是错误的。由此可见，类比的结论只 具有或然性，即可能真，也可能假。 1.定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数， 那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和 已知数列是等和数列，且，公和为 5，那么的值为_，这ana12a18 个数列的前 n 项和的计算公式为_故当 n 为偶数时，；当 n 为奇数SnSn n 5 2 时，Sn n 5 2 1 2 2.在等差数列中，若，则等式 n a0 10 a 成立，类比上述性质，相应地：),19( 192121 Nnnaaaaaa nn 在等比数列中，若，则有等式成立。 n b1 9 b),17( 172121 Nnnbbbbbb nn 3.若数列an(nN*)是等差数列，则有数列 bn( nN*)也是等差数列， 12 2 n aaa 类比上述性质，相应地：若数列cn是等比数列，且 cn0(nN*)，则有 dn_( nN*)也是等比数列 12 n n ccc 4.设 f(x)，利用课本推导等差数列前 n 项和的公式的方法，可求得 f(5) 1 22 x f(4)f(0)f(5)f(6)的值为_ 三解析几何 1.圆在点处的切线方程为，类似地，可以求得椭 222 ryx 00, y x 2 00 ryyxx 23 圆在处的切线方程为_ 1 832 22 yx 2 , 4 2.已知椭圆 C：具有性质：若 M、N 是椭圆 C 上关于原点对称的两点，点 P1 2 2 2 2 b y a x 是椭圆 C 上任意一点，当直线 PM、PN 的斜率都存在，那么是与点 2 2 PMPN b KK a P 位置无关的定值。则对双曲线，有1 2 2 2 2 b y a x 2 2 PMPN b KK a 三角函数 一将下列函数解析式化为形如+b的标准式。sin()yAx0 1.函数xxxxxf 44 sincossin2cos)( 2.函数( )2sin2cos , 6 f xxx 3. 函数 2 sin 3 sinxxy 4.函数( )2cos (sincos ) 1f xxxx ， 5. 函数sin 2cos 2 63 yxx 6.函数 2 ( )2sin3cos2 4 f xxx 7.函数 2 ( )cos 12 f xx 1 sin21 2 x 8.函数 22 ( )sin3sin cos2cosf xxxxx 9.函数 2 ( )1 2sin2sincos 888 f xxxx 24 10.函数 2 ( )sinsin2cos 662 x f xxx 11.函数xxxxxxfcossinsin3) 3 sin(cos2)( 2 二三角函数图像与性质 已知函数图像上的一个最高点的坐标为， sin0,0f xAxA,2 2 由此点到相邻最低点间的曲线与 x 轴交于点若，解答以下问题。 3 ,0 , 2 , 2 2 1.求这条曲线的函数解析式; 周期性：（）；（2）；（3）sincosyxxsinyx 2 sinyx 2.说出由函数的图像，经过怎样的变换才能得到函数的图像？sin ()yx xR( )yf x 3.说出由函数的图像，经过怎样的变换才能得到？( )yf x2sin 2 x y 4.求函数的对称中心坐标与对称轴方程。 5.求函数的值域，并求出函数取最小值时相应的 x 的集合。 6.当时，求函数的值域。(, ) 2 x 7.方程有两个不同的解，求实数 a 的取值范围。)( )0,f xa x 8.写出函数的单调递减区间，并求出在上的递减区间。0, 9.求函数的单调递减区间。()yfx 10.函数的图像向左平移个单位，所得图像对应的函数为偶函数，求( )yf x0n n 的最小值。n 11.函数的图像向左平移个单位，所得图像对应的函数为奇函数，求( )yf x0n n 25 的最小值。n 12.求满足的的集合。( )1f x x 三解三角形问题 正弦定理、余弦定理 （）正弦定理：在中，（是外接圆半ABC2 sinsinsin abc R ABC RABC 径） 常用的变形公式： ；: :sin:sin:sina b cABC ；2 sin2 sin2 sinaRAbRBcRC， 三角形面积公式： 底高 111 sinsinsin 2224 abc SabCbcAacB R 1 2 （）余弦定理：在中，ABC 222 2cosabcbcA ， 222 2cosbcacaB 222 2coscababC 变形： 222222222 coscoscos 222 bcacababc ABC bccaab ， 须知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。 为钝角，为直角，A 222 abcA 222 abc 为锐角A 222 abc 三角形的射影定理 coscoscoscoscoscosabCcBbcAaCcaBbA， 3.解三角形的类型 1.已知型：由余弦定理和内角和定理求角，在有解时只有一解；, ,a b c 26 2.已知型：先由余弦定理求第三边，再由正弦定理与内角和定理求角，必有一, ,b c A 解 3.已知型：先由内角和定理求第三角，再用正弦定理，有解时只有一解, ,A B c 4.已知型:利用正弦定理可以求角，讨论解的个数；, ,a b A 利用余弦定理，解一元二次方程，可以求边。c 注意，此类型的题求解三角形内角时，容易丢解或产生增解 等差数列的性质 ：通项公式的一般形式为 性质：是等差数列an() nm aanm d 特别地，若 mnpq mnpqaaaa1. 若，则；2 , 2 mnp mnpaaa则 212nnn aakab 2. 数列，仍为等差数列； 数列为等比数列； 01 n a cc 3.SSSSS nnnnn ，仍为等差数列； 232 4.adaad若三个数成等差数列，可设为，； 21 21 5. mm nnnn mm aS abSTn bT 若，是等差数列，为前项和，则； 6.项数为的等差数列中，；2n n a 21nnn Sn aa -SSnd 偶奇 1 = n n Sa Sa 奇 偶 项数为的等差数列中，；21n n a 211 21 nn Sna 1 1 n Sna 奇1n Sna 偶 27 ； 1 - n SSa 奇偶 1 = Sn Sn 奇 偶 2 7. nn aSanbn abn为等差数列（，为常数，是关于的常数项为 0 的二次函数） ；。且。 11 , 2 d a aS 1 1 2 n Sd an n SSanbna nnn 的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、负分界 2 项，即： 当，解不等式组可得达到最大值时的 值。ad a a Sn n n n1 1 00 0 0 当，由可得达到最小值时的 值。ad a a Sn n n n1 1 00 0 0 8. ，若，且，则有 n a为等差数列 pq SSpq0d 为偶数时，最大；为奇数时，最大pq 2 p q S pq 11 22 p qp q SS 9.构造数列：若有正项等比数列，则有： , nn ab ，均为等比数列；为等差数列。 2 1 , n n a a , nnn aa blg n a 10. 等比数列中， n a0 n nn Skarrrqkr 28 数列求通项公式 类型一：已知，可利用 )2( ) 1 1 1 nSS nS a nn n （ n Sf n 例 1. 2 23 n Snn 21 n n S 21 n n S 类型二：已知，可利用累加法求。 1nn aaf n n a 例 2.，求数列的通项。 11 1,21 nn aaan n a n a ，求数列的通项 1 11 1,3n nn aaa n a n a 如果数列an满足 a1，a2a1，a3a2，anan1，是首项为 1，公比为 3 的等比 数列，求 an 数列an满足 a13a232a33n1an ，nN*.求数列an的通项； n 3 数列an满足，求。 11 1 1, 1 nn aaa n n n a 29 类型三：已知 1 1 0,1 nn ab cc acad 例 3数列中，求。 n a 1 1 1 21 nn a aa n a 数列中，求。 n a 1 1 2 32 nn a aa n a 类型四：已知，可利用取倒数法求。 1 0 n n n c a ac ac n a 例 4数列中，求数列的通项。 n a 11 2, 1 3 n n n a aa a n a n a 数列中，求数列的通项。 n a 11 3 2, 1 3 n n n a aa a n a n a 数列 n a中，)(, 1 111 Nnaaaaa nnnn ，求。 n a 类型五：已知，可转化为类型一 nn Sf a 例 5. 已知 n S为数列的前n项和， )2,(23 nNnaS nn ，求数列 n a 的通项公式. n a 设数列的前n项和为 n S，已知，求数列的通项公式 n a 11 1,3n nn aaS n S 数列 n a中， ，求数列 的通项公式. 11 2 1, 3 nn n aSa n a 类型六：已知，可利用累乘法求。 1n n a f n a n a 例 6. 数列 n a中， ，求 的通项公式. 1 1 1 1 1, 2 n n n a a a n a 数列 n a中， ，求 的通项公式. 22 111 1,10 nnnn ananaaa n a 30 类型七：已知 1 1 0,1 nn ab cc acaf n 例 7数列中，求。 n a 1 1 1 2 nn a aan n a 解：设 1