2011年揭阳市调考理科数学题.doc

绝密启用前 揭阳市20102011学年度高中毕业班期末质量测试数学试题(理科)本试卷共4页，21小题，满分150分考试用时l20分钟参考公式：球的体积公式,其中表示球的半径一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合，则 A B C D2已知复数z满足，则z为A B. C. D. 3已知幂函数的图象过点，则的值为A. B. C.2 D.24直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为A. B. C. D. 5已知则.A. B. C. D. 6定积分的值为A. B. C. D.7若（）且，则展开式的各项中系数的最大值为A.15 B.20 C. 56 D. 708从一个正方体的8个顶点中任取3个，则以这3个点为顶点构成直角三角形的概率为A. B. C. D.二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分（一）必做题（913题）9命题P：“”的否定为： 、的真假为 .10某路口的机动车隔离墩的三视图如下图所示，其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成，根据图中标出的尺寸（单位：cm）可求得隔离墩的体积为 . 第10题图 第11题图 11如果执行上面的框图，输入，则输出的数S= . 12不论k为何实数，直线恒过的定点坐标为 、若该直线与圆恒有交点，则实数a的取值范围是 13已知，根据以上等式，可猜想出的一般结论是 （二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14(坐标系与参数方程选做题)已知曲线C的参数方程为（为参数）,则过曲线C上横坐标为1的点的切线方程为 . 15(几何证明选讲选做题) 已知圆的半径为，从圆外一点引切线和割线，圆心到的距离为，则切线的长为 _ _三解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（本题满分12分）已知函数, .(1)求函数的最大值和最小值；(2)设函数在上的图象与轴的交点从左到右分别为M、N，图象的最高点为P, 求与的夹角的余弦.17（本题满分14分）为了解高中一年级学生身高情况，某校按10%的比例对全校700名高中一年级学生按性别进行抽样检查，测得身高频数分布表如下表1、表2.表1:男生身高频数分布表表2：:女生身高频数分布表（1）求该校男生的人数并完成下面频率分布直方图；（2）估计该校学生身高（单位：cm）在的概率；（3）在男生样本中，从身高（单位：cm）在的男生中任选3人，设表示所选3人中身高（单位：cm）在的人数，求的分布列和数学期望.18. （本题满分12分）已知椭圆：的长轴长是短轴长的倍，是它的左，右焦点（1）若，且，求、的坐标；（2）在（1）的条件下，过动点作以为圆心、以1为半径的圆的切线（是切点），且使，求动点的轨迹方程19（本题满分14分）如图甲，在平面四边形ABCD中，已知,现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD平面BDC（如图乙），设点E、F分别为棱AC、AD的中点.（1）求证：DC平面ABC；（2）求BF与平面ABC所成角的正弦；（3）求二面角BEFA的余弦.20（本题满分14分）在数列中，已知，（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.21（本题满分14分）设函数.（1）若，求函数的极值；（2）若，试确定的单调性；（3）记，且在上的最大值为M，证明：揭阳市20102011学年度年高中毕业班期末质量测试数学试题(理科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数四、只给整数分数一选择题：BDAA CCBD解析：2，选D.3由幂函数的图象过点得,故选A.4直线与坐标轴的交点为（2，0），（0，1），依题意得，选A.5，选C.6由定积分的几何意义知是由曲线，直线围成的封闭图形的面积，故，选C.7由得，故各项中系数的最大值为,选B.8.解法1：从正方体的8个顶点中任取3个有种取法，可构成的三角形有56种可能，正方体有6个表面和6个对角面，它们都是矩形（包括正方形），每一个矩形中的任意3个顶点可构成4个直角三角形，共有个直角三角形，故所求的概率：,选D.解法2：从正方体的8个顶点中任取3个有种取法，可构成的三角形有56种可能，所有可能的三角形分为直角三角形和正三角形两类，其中正三角形有8种可能（每一个顶点对应一个），故所求的概率：,选D.二填空题：9. 、真；10. ；11. ；12. （0，1）、；13. ， 14. ；15. .解析：10该几何体为圆柱上面叠一半球，其体积11根据框图所体现的算法可知此算法为求和：.12题设条件等价于点（0，1）在圆内或圆上，等价于点（0，1）到圆的圆心的距离不超过半径，解得.14曲线C普通方程为，则切点坐标为，由得切线斜率，故所求的切线方程为.15依题意，=2，5，由=15，得=三解题题：16解：（1）= =-4分 ，函数的最大值和最小值分别为2，-2.-6分（2）解法1：令得, 或 -8分由，且得 -9分从而.-12分解法2：过点P作轴于,则由三角函数的性质知,-8分,-9分由余弦定理得=.-12分解法3：过点P作轴于,则由三角函数的性质知,-8分-9分在中，-11分PA平分 .-12分17.解（1）样本中男生人数为40 ，由分层抽样比例为10%可得全校男生人数为400.-2分频率分布直方图如右图示：-6分（2）由表1、表2知，样本中身高在的学生人数为：5+14+13+6+3+1=42，样本容量为70 ，所以样本中学生身高在的频率-8分故由估计该校学生身高在的概率.-9分（3）依题意知的可能取值为：1,2,3,-12分的分布列为： -13分的数学期望.-14分18解：（1）依题意知-1分 ， -2分又，由椭圆定义可知，-4分由得 、-6分（2）由已知，即是的切线 -8分-9分设，则即（或）-11分综上所述，所求动点的轨迹方程为：-12分19（1）证明：在图甲中且 ,即-2分在图乙中，平面ABD平面BDC ， 且平面ABD平面BDCBDAB底面BDC，ABCD.-4分又，DCBC,且DC平面ABC. -5分（2）解法1：E、F分别为AC、AD的中点EF/CD，又由（1）知，DC平面ABC，EF平面ABC，垂足为点EFBE是BF与平面ABC所成的角-7分在图甲中，, ,设则,-9分在RtFEB中，即BF与平面ABC所成角的正弦值为.-10分解法2：如图，以B为坐标原点，BD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如下图示， 设，则，-6分可得,，,-8分设BF与平面ABC所成的角为由（1）知DC平面ABC-10分（3）由（2）知 FE平面ABC，又BE平面ABC，AE平面ABC，FEBE，FEAE，AEB为二面角BEFA的平面角-12分在AEB中，即所求二面角BEFA的余弦为.-14分（其他解法请参照给分）20.解：（1）解法1：由可得，-3分数列是首项为，公差为1等差数列， -6分数列的通项公式为-7分解法2：由可得-2分令，则-3分当时-5分-6分-7分解法3：，-1分，-2分-3分由此可猜想出数列的通项公式为-4分以下用数学归纳法证明当时，等式成立假设当（）时等式成立，即，那么-6分这就是说，当时等式也成立根据和可知，等式对任何都成立-7分（2）令，-8分-9分式减去式得：，-10分-12分数列的前项和-14分21解：（1）若，则有令得,-1分当时，当时，当时，当时,函数有极