定积分的简单应用最新版本

1 7 1定积分的简单应用 定积分在几何中的应用 1 平面图形的面积 其中F x f x 2 微积分基本定理 一 复习 因为f x 在 a b 内连续是f x 的一个原函数 又F x 是f x 的原函数 F x C 在上式中令x a 则由得到C F a 移项得令即得 证明 x a x b与x轴所围成的曲边梯形的面积 S s 3 定积分的几何意义 类型一 求由一条曲线y f x 和直线x a x b a b 及x轴所围成平面图形的面积S 练习 求抛物线y x2 1 直线x 2 y 0所围成的图形的面积 解 如图 由x2 1 0得到抛物线与x轴的交点坐标是 1 0 1 0 所求面积如图阴影所示 所以 类型一 由一条曲线和直线所围成平面图形的面积的求解 类型2 由两条曲线y f x 和y g x 直线x a x b a b 所围成平面图形的面积S 注 解 作出y2 x y x2的图象如图所示 即两曲线的交点为 0 0 1 1 两曲线围成的平面图形的面积的计算 求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤 1 作出示意图 弄清相对位置关系 2 求交点坐标 确定积分的上限 下限 3 确定积分变量及被积函数 4 列式求解 解 两曲线的交点 直线与x轴交点为 4 0 S1 S2 X型求解法 Y型求解法 解 两曲线的交点 练习 解 两曲线的交点 于是所求面积 说明 注意各积分区间上被积函数的形式 练习 练习3 解 所围成的图形如图所示 平面图形的面积 则 y o x 2 2 练习4计算 由曲线 曲边梯形的面积 直线 和 轴所围成的 解 练习5如图所示由 和 所围图形的 面积是多少 y o x 2 2 4 解 B D C A 定积分在物理中的应用 设做变速直线运动的物体运动的速度v v t 0 则此物体在时间区间 a b 内运动的距离s为 一 变速直线运动的路程 解 由速度 时间曲线可知 例题 法二 由定积分的几何意义 直观的可以得出路程即为如图所示的梯形的面积 即 二 变力沿直线所作的功 1 恒力作功 2 变力所做的功 问题 物体在变力F x 的作用下做直线运动 并且物体沿着与F x 相同的方向从x a点移动到x b点 则变力F x 所做的功为 例2 如图 在弹性限度内 将一弹簧从平衡位置拉到离水平位置l米处 求克服弹力所作的功 解 在弹性限度内 拉伸 或压缩 弹簧所需的力 x 与弹簧拉伸 或压缩 的长度x成正比 即 F x kx 所以据变力作功公式有 例题 练一练 1 设弹簧在1N力的作用下伸长0 01米 要使弹簧伸长0 1米 需作多少功 解 如图 建立直角坐标系 因为弹力的大小与弹簧的伸长 或压缩 成正比 即 比例系数 已知 代入上式得 从而变力为 所求的功 练一练4一点在直线上从时刻t 0 s 开始以速度v t2 4t 3 m s 运动 求 1 在t 4s的位移 2 在t 4s运动的路程 t 4s时刻该点距出发点4 3m 2 t 4s时刻运动的路程为4 设物体运动的速度v v t v t 0 则此物体在时间区间 a b 内运动的路程s为 1 变速直线运动的路程 2 变力沿直线所作的功 物体在变力F x 的作用下做直线运动 并且物体沿着与F x 相同的方向从x a点移动到x b点 则变力F x 所做的功为 小结 通一类 1 一点在直线上从时刻t 0 单位 s 开始以速度v t2 4t 3 单位 m s 运动 求 1 在t 4s时的位置 2 在t 4s时运动的路程 1 一物体在力F x 3x 4 单位 N 的作用下 沿着与力F相同的方向 从x 0处运动到x 4处 单位 m 求F x 所作的功 练一练 40J 2 一物体沿直线以v 2t 3 t的单位为s v的单位为m s 的速度运动 求该物体在3 5s间行进的路程 练习 A B两站相距7 2km 一辆电车从A站开往B站 电车开出ts后到达途中C点 这一段的速度为1 2t m s 到C点的速度为24m s 从C点到B点前的D点以等速行驶 从D点开始刹车 经ts后 速度为 24 1 2t m s 在B点恰好停车 试求 1 A C间的距离 2 B D间的距离 3 电车从A站到B站所需的时间 略解 1 设A到C的时间为t1则1 2t 24 t1 20 s 则AC 2 设D到B的时间为t2则24 1 2t2 0 t2 20 s 则DB 例2 一个带 q电量的点电荷放在r轴上坐标原点处 形成一个电场 已知该电场中 距离坐标原点为r处的单位电荷受到的电场力由公式 确定 在该电场中 一个单位正电荷在电场力作用下 沿着r轴方向从r a到r b a b 求电场力对它所作的功 解 由题意 所求功为 例3列车以72km h的速度行驶 当制动时列车获得加速度a 0 4m s2 问列车应在进站前多长时间 以及离车站多远处开始制动 解 列车速度v0 72km h 20m s 设列车由开始制动到经过t秒后的速度为v 则 令v 0 得t 50 s 设列车由开始制动到停止时所走得路程为S 则 练习 A B两站相距7 2km 一辆电车从A站开往B站 电车开出ts后到达途中C点 这一段速度为1 2t m s 到C点速度达24m s 从C点到B站前的D点以等速行驶 从D点开始刹车 经过ts后 速度为 24 1 2t m s 在B点恰好停车 试求 1 A C间的距离 2 B D间的距离 3 电车从A站到B站所需的时间 1 240 m 2 240 m 3 20 20 280 320 s 研一题 例1 有一动点P沿x轴运动 在时间t时的速度为v t 8t 2t2 速度的正方向与x轴正方向一致 求 1 P从原点出发 当t 6时 求点P移动的路程和离开原点的位移 2 P从原点出发 经过时间t后又返回原点时的t值 自主解答 1 由v t 8t 2t2 0得0 t 4 即当0 t 4时 P点向x轴正方向运动 当t 4时 P点向x轴负方向运动 故t 6时 点P移动的路程 悟一法 例2 设有一长25cm的弹簧 若加以100N的力 则弹簧伸长30cm 又已知弹簧伸长所需要的拉力与弹簧的伸长量成正比 求使弹簧由25cm伸长到40cm所做的功 通一类 2 在底面积为S的圆柱形容器中盛有一定量的气体 在等温条件下 由于气体的膨胀 把容器中的一个活塞 面积为S 从点a处推到点b处 计算在移动过程中 气体压力所做的功 做变速直线运动的物体的速度为v t 4 t2 求t 0到