（新课标）2021版高考数学一轮总复习 第二章 函数 第7讲 函数的奇偶性、周期性与对称性导学案 新人教A版

第7讲函数的奇偶性、周期性与对称性【课程要求】1理解函数奇偶性的概念，了解函数周期性的定义，判断函数的奇偶性2利用函数奇偶性、周期性求函数值及参数值3掌握函数的单调性与奇偶性的综合应用对应学生用书p16【基础检测】1判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)函数yx2，x(0，)是偶函数()(2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点()(3)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则f(x)f(x)g(x)是偶函数()(4)若函数yf(xa)是偶函数，则函数yf(x)关于直线xa对称()(5)若t是函数的一个周期，则nt(nz，n0)也是函数的周期()答案 (1)(2)(3)(4)(5)2必修1p39a组t6已知函数f(x)是定义在r上的奇函数，且当x0时，f(x)x(1x)，则f(1)_解析f(1)122，又f(x)为奇函数，f(1)f(1)2.答案23必修1p45b组t4设f(x)是定义在r上的周期为2的函数，当x1，1)时，f(x)则f_解析ff421.答案14必修1p39a组t6设奇函数f(x)的定义域为5，5，若当x0，5时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)0的解集为_解析由图象可知，当0x2时，f(x)0；当2x5时，f(x)0，又f(x)是奇函数，当2x0时，f(x)0，当5x0.综上，f(x)0的解集为(2，0)(2，5答案 (2，0)(2，55已知f(x)ax2bx是定义在a1，2a上的偶函数，那么ab的值是()ab.cd.解析依题意得f(x)f(x)，b0，又a12a，a，ab，故选b.答案b6已知f(x)是定义在r上的偶函数，且f(x2)对xr恒成立，当x0，2时，f(x)2x，则f()a.b.c.d1解析f(x2)，f(x4)f(x)对xr恒成立，f(x)的周期为4，又因为f(x)是定义在r上的偶函数，fff，当x0，2时，f(x)2x，f.答案b【知识要点】1函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有_f(x)f(x)_，那么函数f(x)就叫做偶函数关于_y轴_对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有_f(x)f(x)_，那么函数f(x)就叫做奇函数关于_原点_对称2.函数的周期性(1)周期函数对于函数f(x)，如果存在一个非零常数t，使得当x取定义域内的任何值时，都有_f(xt)f(x)_，那么就称函数f(x)为周期函数，称t为这个函数的周期(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个_最小的正数_，那么这个_最小正数_就叫做f(x)的最小正周期3函数奇偶性常用结论(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)f(|x|)(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性(3)在公共定义域内有：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇4函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(xa)f(x)，则t2a(a0)(2)若f(xa)，则t2a(a0)(3)若f(xa)，则t2a(a0)对应学生用书p17函数奇偶性的判断例1(1)下列函数为奇函数的是()aylnxbyexcyxsinxdyexex解析对于选项a，定义域为(0，)，不关于原点对称，故不是奇函数所以选项a错；对于选项b，f(x)exf(x)，故选项b错；对于选项c，f(x)xsin(x)x(sinx)xsinxf(x)，所以yxsinx为偶函数，故选项c错；对于选项d，f(x)exex(exex)f(x)，所以函数yexex为奇函数，故选项d正确答案d(2)(多选)设函数f(x)，g(x)的定义域都为r，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()af(x)g(x)是偶函数b|f(x)|g(x)是偶函数cf(x)|g(x)|是奇函数d|f(x)g(x)|是奇函数解析因为f(x)g(x)f(x)g(x)，所以f(x)g(x)是奇函数；因为|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)，所以|f(x)|g(x)是偶函数；因为f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|，所以f(x)|g(x)|是奇函数；因为|f(x)g(x)|f(x)g(x)|，所以|f(x)g(x)|是偶函数答案bc小结1.判断函数的奇偶性包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(x)是否具有等量关系，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)f(x)0(奇函数)或f(x)f(x)0(偶函数)是否成立2常用结论：(1)奇奇为奇；偶偶为偶；奇偶为非奇非偶；奇()奇为偶；奇()偶为奇；偶()偶为偶(2)若函数f(x)的定义域关于原点对称，则函数f(x)能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式记偶函数g(x)f(x)f(x)，奇函数h(x)f(x)f(x)，则f(x)g(x)h(x)(3)复合函数yfg(x)的奇偶性原理：内偶则偶，两奇为奇(4)若奇函数yf(x)在x0处有意义，则有f(0)0；偶函数yf(x)必满足f(x)f(|x|)1已知函数f(x)x2，则下列判断正确的是()af(x)是偶函数不是奇函数bf(x)是奇函数不是偶函数cf(x)既是偶函数又是奇函数df(x)既不是偶函数也不是奇函数解析该函数的定义域为r，f(x)(x)2x2x2f(x)，所以函数f(x)是奇函数，f(1)1，f(1)1，所以函数f(x)不是偶函数答案b2函数f(x)loga(2x)，g(x)loga(2x)(a0且a1)，则函数f(x)f(x)g(x)，g(x)f(x)g(x)的奇偶性是()af(x)是奇函数，g(x)是奇函数bf(x)是偶函数，g(x)是奇函数cf(x)是偶函数，g(x)是偶函数df(x)是奇函数，g(x)是偶函数解析f(x)，g(x)定义域均为(2，2)，由已知f(x)f(x)g(x)loga(2x)loga(2x)f(x)，g(x)f(x)g(x)loga(2x)loga(2x)g(x)，f(x)是偶函数，g(x)是奇函数答案b函数的奇偶性的应用例2(1)设函数f(x)ln，则不等式f(x)f(2x1)的解集为()a.b.c.d.解析f(x)的定义域为x|x0，f(x)f(x)，f(x)为偶函数；当x0时，f(x)lnx单调递增，所以由f(x)f(2x1)，可得解得x1且x.答案d(2)若关于x的函数f(x)(t0)的最大值为a，最小值为b，且ab2，则t_解析f(x)t，设g(x)，则g(x)为奇函数，g(x)maxat，g(x)minbt.g(x)maxg(x)min0，ab2t0，即22t0，解得t1.答案1小结已知函数奇偶性可以解决以下问题：(1)求函数值，将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解；(2)画函数图象，利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象(3)求函数解析式：将所求解析式自变量的范围转化为已知解析式中自变量的范围；将转化后的自变量代入已知解析式；利用函数的奇偶性求出解析式(4)求参数值：在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足f(x)f(x)或偶函数满足f(x)f(x)列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值特别要注意的是：若能够确定奇函数的定义域中包含0，可以根据f(0)0列式求解，若不能确定则不可用此法注意利用“奇函数在关于原点对称的区间上有最值，则f(x)maxf(x)min0”的性质解决有关最值问题3函数yf(x)是r上的奇函数，当x0时，f(x)()a2xb2xc2xd2x解析当x0时，x0，x0时，f(x)2x.f(x)是r上的奇函数，当x0时，f(x)f(x)2x.答案c4若函数f(x)xln(x)为偶函数，则a_解析f(x)xln(x)为偶函数，f(x)f(x)，即xln(x)xln(x)，从而ln()2x20，即lna0，故a1.答案1函数的周期性与对称性及应用例3(1)设函数f(x)(xr)满足f(x)f(x)sinx当0x时，f(x)0，则f()a.b.c0d解析f(x2)f(x)sin(x)f(x)sinxsinxf(x)，f(x)的周期t2，又当0x时，f(x)0，f0，ffsin0，f，fff.答案a(2)已知函数f(x)与函数g(x)(x1)2的图象关于y轴对称，若存在ar，使x1，m(m1)时，f(xa)4x成立，则m的最大值为()a3b6c9d12解析由于函数f(x)与函数g(x)(x1)2的图象关于y轴对称，因此f(x)(x1)2，由f(xa)4x得(xa1)24x，把x1代入得4a0.当a0时，(x1)24x，解得x1，当a4时，(x3)24x，解之得1x9，因此m的最大值为9.答案c(3)对函数f(x)，在使f(x)m成立的所有常数m中，我们把m的最大值叫做函数f(x)的下确界现已知定义在r上的偶函数f(x)满足f(1x)f(1x)，当x0，1时，f(x)3x22，则f(x)的下确界为()a2b1c0d1解析由题意知，f(x)的周期为2，画出函数f(x)在r上的部分图象如图所示，易得下确界为1.故选d.答案d小结(1)判断函数的周期性只需证明f(xt)f(x)(t0)即可，且周期为t.(2)根据函数的周期性，可以由函数的局部性质得到函数的整体性质，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题(3)在解决具体问题时，要注意结论“若t是函数的周期，则kt(kz且k0)也是函数的周期”的应用(4)函数周期性的三个常用结论(a0)：若f(xa)f(x)，则t2a，若f(xa)，则t2a，若f(xa)，则t2a.(5)函数对称性代数表示：函数f(x)为奇函数f(x)f(x)，函数f(x)为偶函数f(x)f(x)(定义域关于原点对称)；函数f(x)关于点(a，b)对称f(x)f(x2a)2b，函数f(x)关于直线xm对称f(x)f(x2m)5奇函数f(x)的定义域为r，若f(x1)为偶函数，且f(1)2，则f(4)f(5)的值为()a2b1c1d2解析f(x1)为偶函数，f(x1)f(x1)，则f(x)f(x2)，又yf(x)为奇函数，则f(x)f(x)f(x2)，且f(0)0.从而f(x4)f(x2)f(x)，yf(x)的周期为4.f(4)f(5)f(0)f(1)022.答案a6设f(x)是定义在r上且周期为2的函数，在区间1，1上，f(x)其中a，br.若ff，则a3b的值为_解析因为f(x)是定义在r上且周期为2的函数，所以ff且f(1)f(1)，故ff，从而a1，即3a2b2.由f(1)f(1)，得a1，即b2a.由得a2，b4，从而a3b10.答案10函数性质的综合应用例4(1)定义在r上的奇函数f(x)满足f(x2)f(x)，且在0，2)上单调递减，则下列结论正确的是()a0f(1)f(3) bf(3)0f(1)cf(1)0f(3) df(3)f(1)f(0)f(1)，即f(1)00的解集为()a(，0)(4，) b(，1)(3，)c(，1)(4，) d(，0)(1，)解析因为函数f(x1)为偶函数得f(x1)f(x1)，所以f(x)关于x1对称，因为f(x)在(1，)上单调递增，所以f(x)在(，1)上单调递减，因为f(1)0，所以f(3)0，因此由f(x1)0得x13或x14或x0.答案a(3)定义在实数集r上的函数f(x)满足f(x)f(x2)0，且f(4x)f(x)现有以下三个命题：8是函数f(x)的一个周期；f(x)的图象关于直线x2对称；f(x)是偶函数其中正确命题的序号是_解析由f(x)f(x2)0，得f(x2)f(x)，则f(x4)f(x2)f(x)，即4是f(x)的一个周期，8也是f(x)的一个周期；由f(4x)f(x)，得f(x)的图象关于直线x2对称；由f(4x)f(x)与f(x4)f(x)，得f(x)f(x)，即函数f(x)为偶函数答案小结(1)关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题(2)掌握以下两个结论，会给解题带来方便：f(x)为偶函数f(x)f(|x|)若奇函数f(x)在x0处有意义，则f(0)0.(3)函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题7已知f(x)是定义在r上的以3为周期的偶函数，若f(1)1，f(5)，则实数a的取值范围是()a1a4b2a1c1a2d1a0解析因为f(x)是定义在r上的偶函数，且以3为周期，所以f(5)f(2)f(23)f(1)f(1)1，即1，解得1a4.答案a8函数f(x)对任意的实数x都有f(x2)f(x)2f(1)，若yf(x1)的图象关于x1对称，且f(0)2，则ff()a0b2c3d4解析因为yf(x1)的图象关于x1对称，所以yf(x)的图象关于x0对称，即f(x)为偶函数，因为f(x2)f(x)2f(1)，所以f(12)f(1)2f(1)，所以f(1)0，f(x2)f(x)，因此ff2，f(2021)f(1)0，ff2.答案b对应学生用书p191(2018全国卷理)已知f(x)是定义域为(，)的奇函数，满足f(1x)f(1x)若f(1)2，则f(1)f(2)f(3)f(50)()a50b0c2d50解析因为f(x)是定义域为(，)的奇函数，且f(1x)f(1x)，所以f(1x)f