2021版高考数学第十二章复数、算法、推理与证明第1讲数系的扩充与复数的引入教学案理北师大版.docx

第1讲数系的扩充与复数的引入一、知识梳理1复数的有关概念(1)复数的定义形如abi(a，bR)的数叫做复数，其中实部是a，虚部是b(2)复数的分类复数zabi(a，bR)(3)复数相等abicdiac且bd(a，b，c，dR)(4)共轭复数abi与cdi共轭ac且bd(a，b，c，dR)(5)复数的模向量的模叫做复数zabi的模，记作|z|或|abi|，即|z|abi|r(r0，a，bR)2复数的几何意义(1)复数zabi复平面内的点Z(a，b)(a，bR)(2)复数zabi(a，bR) 平面向量3复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则加法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；减法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；乘法：z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i；除法：i(cdi0)(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3C，有z1z2z2z1，(z1z2)z3z1(z2z3)常用结论1三个易误点(1)两个虚数不能比较大小(2)利用复数相等abicdi列方程时，注意a，b，c，dR的前提条件(3)注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来例如，若z1，z2C，zz0，就不能推出z1z20；z20在复数范围内有可能成立2复数代数运算中常用的三个结论在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度(1)(1i)22i；i；i.(2)baii(abi)(3)i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i，i4ni4n1i4n2i4n30，nN+.二、教材衍化1设复数z满足i，则|z|_解析：1zi(1z)，z(1i)i1，zi，所以|z|i|1.答案：12在复平面内，向量对应的复数是2i，向量对应的复数是13i，则向量对应的复数是_解析：13i(2i)34i.答案：34i3若复数z(x21)(x1)i为纯虚数，则实数x的值为_解析：因为z为纯虚数，所以所以x1.答案：1一、思考辨析判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若aC，则a20.()(2)已知zabi(a，bR)，当a0时，复数z为纯虚数()(3)复数zabi(a，bR)中，虚部为bi.()(4)方程x2x10没有解()(5)由于复数包含实数，在实数范围内两个数能比较大小，因而在复数范围内两个数也能比较大小()答案：(1)(2)(3)(4)(5)二、易错纠偏(1)对复数概念的理解有误；(2)复数的几何意义不清致误；(3)复数的运算方法不当致使出错；(4)z与的不清致误1设mR，复数zm21(m1)i表示纯虚数，则m的值为()A1 B1C1 D0解析：选A.由题意得解得所以m1.故选A.2在复平面内，复数65i，23i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是()A48i B82iC24i D4i解析：选C.因为A(6，5)，B(2，3)，所以线段AB的中点C(2，4)，则点C对应的复数为z24i.故选C.3若a为实数，且3i，则a_解析：由3i，得2ai(3i)(1i)24i，即ai4i，因为a为实数，所以a4.答案：44已知(12i) 43i，则z_解析：因为2i，所以z2i.答案：2i复数的有关概念(自主练透)1设a，bR，i是虚数单位，则“ab0”是“复数a为纯虚数”的()A充要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件解析：选C.因为复数aabi为纯虚数，所以a0且b0，即a0且b0.所以“ab0”是“复数a为纯虚数”的必要不充分条件，故选C.2已知i为虚数单位，若复数zi(aR)的实部与虚部互为相反数，则a()A5 B1 C D解析：选D.ziii，因为复数zi(aR)的实部与虚部互为相反数，所以，解得a.故选D.3已知2i，则(z的共轭复数)为()A3i B3i C3i D3i解析：选C.由题意得z(2i)(1i)3i，所以3i，故选C.4设z2i，则|z|()A0 B C1 D解析：选C.法一：因为z2i2ii2ii，所以|z|1，故选C.法二：因为z2i，所以|z|1，故选C.5已知aR，i为虚数单位，若为实数，则a的值为_解析：因为为实数，所以a20，即a2.答案：2解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可(2)解题时一定要先看复数是否为abi(a，bR)的形式，以确定实部和虚部 复数的几何意义(自主练透)1(2019高考全国卷)设复数z满足|zi|1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则()A(x1)2y21 B(x1)2y21Cx2(y1)21 Dx2(y1)21解析：选C.通解：因为z在复平面内对应的点为(x，y)，所以zxyi(x，yR)因为|zi|1，所以|x(y1)i|1，所以x2(y1)21.故选C.优解一：因为|zi|1表示复数z在复平面内对应的点(x，y)到点(0，1)的距离为1，所以x2(y1)21.故选C.优解二：在复平面内，点(1，1)所对应的复数z1i满足|zi|1，但点(1，1)不在选项A，D的圆上，所以排除A，D；在复平面内，点(0，2)所对应的复数z2i满足|zi|1，但点(0，2)不在选项B的圆上，所以排除B.故选C.2已知i为虚数单位，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：选B.，其共轭复数为i，在复平面内对应的点位于第二象限，故选B.3已知z(m3)(m1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是()A(3，1) B(1，3)C(1，) D(，3)解析：选A.由已知可得复数z在复平面内对应的点的坐标为(m3，m1)，所以解得3m1，故选A.4设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z12i(i为虚数单位)，则z1z2()A5 B.5C4i D4i解析：选A.因为复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z12i，所以z22i，所以z1z2(2i)(2i)5.5已知复数z112i，z21i，z334i，它们在复平面内对应的点分别为A，B，C，若(，R)，则的值是_解析：由条件得(3，4)，(1，2)，(1，1)，根据得(3，4)(1，2)(1，1)(，2)，所以解得所以1.答案：1复数的几何意义及应用(1)复数z与复平面上的点Z及向量相互联系，即zabi(a，bR)Z(a，b).(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观 复数代数形式的运算(自主练透)1(2019高考全国卷)若z(1i)2i，则z()A1i B1i C1i D1i解析：选D.z1i.2.()Ai BiCi Di解析：选D.i，故选D.3设i为虚数单位，复数z满足i(z1)1，则复数z()A1i B1iC1i D1i解析：选C.由题意，得z11i，故选C.4已知复数z满足z|z|1i，则z()Ai BiC1i D1i解析：选B.法一：设zabi(a，bR)，则z|z|(a)bi1i，所以解得所以zi，故选B.法二：把各选项代入验证，知选项B满足题意5已知复数z的共轭复数为，若(1i)2i(i为虚数单位)，则z()Ai Bi1Ci1 Di解析：选C.由已知可得1i，则z1i，故选C.6已知a为实数，若复数z(a21)(a1)i为纯虚数，则()A1 B0C1i D1i解析：选D.z(a21)(a1)i为纯虚数，则有a210，a10，得a1，则有1i.复数代数形式运算问题的解题策略(1)复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的乘法运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式 基础题组练1设i为虚数单位，则(1i)(1i)()A2i B2iC2 D2解析：选D.(1i)(1i)1iii2112.故选D.2(2019高考全国卷)设z32i，则在复平面内z对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：选C.由题意，得32i，其在复平面内对应的点为(3，2)，位于第三象限，故选C.3若复数z1为纯虚数，则实数a()A2 B1C1 D2解析：选A.因为复数z111i为纯虚数，所以10且0，解得a2.故选A.4已知复数z满足(1i)z2，则复数z的虚部为()A1 B1Ci Di解析：选B.法一：因为(1i)z2，所以z1i，则复数z的虚部为1.故选B.法二：设zabi(a，bR)，则(1i)(abi)ab(ab)i2，解得a1，b1，所以复数z的虚部为1.故选B.5若复数z满足i，其中i为虚数单位，则共轭复数()A1i B1iC1i D1i解析：选B.由题意，得zi(1i)1i，所以z1i，故选B.6已知abi(a，bR，i为虚数单位)，则ab()A7 B7C4 D4解析：选A.因为134i，所以34iabi，则a3，b4，所以ab7，故选A.7已知i为虚数单位，则()A5 B5iCi Di解析：选A.法一：5，故选A.法二：5，故选A.8若复数z满足z(1i)2i(i为虚数单位)，则|z|()A1 B2C. D解析：选C.因为z1i，所以|z|.故选C.9已知aR，i是虚数单位若zai，z4，则a()A1或1 B或C D解析：选A.法一：由题意可知ai，所以z(ai)(ai)a234，故a1或1.法二：z|z|2a234，故a1或1.10设z1i(i是虚数单位)，则z2()A13i B13iC13i D13i解析：选C.因为z1i，所以z2(1i)212ii22i，1i，则z22i(1i)13i.故选C.11若复数z满足(34i)z|43i|，则z的虚部为()A4 BC4 D解析：选D.因为|43i|5，所以zi，所以z的虚部为.12设复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，z12i，则()A1i BiC1i D1i解析：选B.因为复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，z12i，所以z22i，所以i，故选B.13设复数z满足|1i|i(i为虚数单位)，则复数z_解析：复数z满足|1i|ii，则复数zi.答案：i14设zi(i为虚数单位)，则|z|_解析：因为ziiii，所以|z|.答案：15已知复数z(i为虚数单位)在复平面内对应的点在直线x2ym0上，则m_解析：z12i，复数z在复平面内对应的点的坐标为(1，2)，将其代入x2ym0，得m5.答案：516当复数z(m3)(m1)i(mR)的模最小时，_解析：|z|，所以当m1时，|z|min2，所以1i.答案：1i综合题组练1若实数a，b，c满足a2abi2ci(其中i21)，集合Ax|xa，Bx|xbc，则ARB为()AB0Cx|2x1Dx|2x0或0x1解析：选D.由于只有实数之间才能比较大小，故a2abi2ci解得因此Ax|2x1，B0，故ARBx|2x1x|xR，x0x|2x0或0x12若虚数(x2)yi(x，yR)的模为，则的最大值是()A. BC. D解析：选D.因为(x2)yi是虚数，所以y0，又因为|(x2)yi|，所以(x2)2y23.因为是复数xyi对应点与原点连线的斜率，所以tanAOB，所以的最大值为.332i是方程2x2pxq0的一个根，且p，qR，则pq_解析：由题意得2(32i)2p(32i)q0，即2(512i)3p2piq0，即(103pq)(242p)i0，所以所以p12，q26，所以pq38.答案：384已知复数z，则复数z在复平面内对应点的坐标为_解析：因为i4n1i4n2i4n3i4n4ii2i3i40，而2 01845042，所以zi，对应的点为(0，1)答案：(0，1)5复数z1(10a2)i，z2(2a5)i，若1z2是实数，求实数a