第五章 相似矩阵及二次型.doc

第五章 相似矩阵及二次型1 预备知识: 向量的内积一、内积及其性质（大纲没有要求，但后面要涉及内积知识）定义1 设有维向量令 称为向量与的内积. 注:内积有时也记作.内积是两个向量之间的一种运算, 其结果是一个实数, 按矩阵的记法可表示为二、向量的长度与性质（大纲没有要求，但后面有长度的记号）定义2 令 称为维向量的长度(或范数).当时, 称为单位向量.对中的任一非零向量, 向量是一个单位向量,因为注: 用非零向量的长度去除向量,得到一个单位向量,这一过程通常称为把向量单位化.三、正交向量组若两向量与的内积等于零，即 ，则称向量与相互正交. 记作.注: 显然,若, 则与任何向量都正交.若维向量是一个非零向量组，且中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组.定理1 若维向量是一组正交向量组，则线性无关.例8 (E02) 已知三维向量空间中两个向量 正交，试求，使， 两两正交.解 设且分别与正交.则即 解之得 令 四、规范正交基及其求法常采用正交向量组作向量空间的基，称为向量空间的正交基.定义3 设维向量是向量空间的一个基,如果两两正交, 且都是单位向量, 则称是向量空间的一个规范正交基(或标准正交基).若是的一个规范正交基, 则中任一向量能由线性表示, 设表示式为,为求其中的系数可用左乘上式, 有即 这就是向量在规范正交基中的坐标的计算公式.利用这个公式能方便地求得向量在规范正交基下的坐标为： 因此, 我们在给出向量空间的基时常常取规范正交基.规范正交基的求法:设是向量空间的一个基,要求的一个规范正交基, 也就是要找一组两两正交的单位向量,使与等价. 这样一个问题,称为把这个基规范正交化，可按如下两个步骤进行： (1) 正交化容易验证两两正交,且与等价.注: 上述过程称为施密特(Schimidt)正交化过程. 它满足:对任何, 向量组与等价.(2) 单位化: 取则是的一个规范正交基.注： 施密特(Schimidt)正交化过程可将中的任一组线性无关的向量组化为与之等价的正交组；再经过单位化，得到一组与等价的规范正交组例6 (E01) 设 试用施密特正交化方法, 将向量组正交规范化.解 不难证明是线性无关的.取再把它们单位化，取则即为所求.例7 用施密特正交化方法，将向量组正交规范化.解 显然，是线性无关的.先正交化，取再单位化，得规范正交向量如下 例3 已知试求一组非零向量，使， 两两正交.解 应满足方程 即 它的基础解系为 ，把基础解系正交化，即取，求得，五、正交矩阵与正交变换定义4 若阶方阵满足 (即),则称为正交矩阵, 简称正交阵.为正交矩阵的充分必要条件是的列向量都是单位正交向量组.注：由与等价,定理的结论对行向量也成立.即为正交矩阵的充分必要条件是的行向量都是单位正交向量组.正交矩阵的个列（行）向量构成向量空间的一个规范正交基例4 验证矩阵是正交矩阵定义5 若为正交矩阵,则线性变换称为正交变换.正交变换的性质：正交变换保持向量的长度不变.2 矩阵的特征值与特征向量一、特征值与特征向量定义6 设是阶方阵, 如果数和维非零向量使成立, 则称数为方阵的特征值, 非零向量称为的对应于特征值的特征向量（或称为的属于特征值的特征向量）.注：1. 阶方阵的特征值，就是使齐次线性方程组 有非零解的值, 即满足方程的都是矩阵的特征值.称关于的一元次方程为矩阵的特征方程，称的一元次多项式为矩阵的特征多项式.根据上述定义，即可给出特征向量的求法：设为方阵的一个特征值，则由齐次线性方程组 可求得非零解，那么就是的对应于特征值的特征向量，且的对应于特征值的特征向量全体是方程组的全体非零解。即设为的基础解系，则的对应于特征值的特征向量全体是不同时.例1 (E01) 求矩阵的特征值和特征向量.解 矩阵的特征方程为 所以是矩阵的两个不同的特征值.以代入与特征方程对应的齐次线性方程组，得 基础解系是故是矩阵对应于的全部特征向量.以代入与特征方程对应的齐次线性方程组，得 基础解系是故是矩阵对应于的全部特征向量.例2 (E02) 设 求A的特征值与特征向量.解 特征值当时，解方程由 基础解系故对应于的全体特征向量为当时，解方程由 得基础解系故对应于的全部特征向量为： (不同时为0).二、特征值与特征向量的性质性质1 阶矩阵与它的转置矩阵有相同的特征值.性质2 设是阶矩阵， 是的个特征值，则有(1) (2) 定理1 阶矩阵的互不相等的特征值对应的特征向量线性无关.注：1. 属于不同特征值的特征向量是线性无关的; 2. 属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量 3. 矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的, 一个特征值具有的特征向量不唯一; 一个特征向量不能属于不同的特征值.例7 (E05) 设是方阵A的特征值, 证明(1) 是的特征值; (2) 当A可逆时, 是的特征值.证 因是的特征值，故有使于是(1) 所以是的特征值.(2) 当A可逆时,由有因知故所以是的特征值.证毕.注：易进一步证明：若是的特征值, 则是的特征值，是的特征值，其中例8 (E06) 设3阶矩阵A的特征值为, 求解 因的特征值全不为0，知可逆，故而所以 把上式记作有故的特征值为 于是 例9 求3阶矩阵的特征值以及相应的线性无关的特征向量组.解 的特征多项式为 这个多项式的根为因此的特征值等于1，2，2.接下来求特征向量：对将代入得 (1)容易算出这个方程组得系数矩阵等于2，因此齐次线性方程组(1)的基础解系只有一个线性无关的向量，不难求出为 对将代入可得齐次方程组： 求出这个齐次线性方程组的基础解系为 (2)因此的相应于特征值1的线性无关的特征向量有1个，而相应于特征值2的线性无关的特征向量有2个，于是的线性无关的特征向量有3个，正好等于的阶数3.例10 (E07) 设和是矩阵A的两个不同的特征值, 对应的特征向量依次为和, 证明不是A的特征向量.证 按题设，有 故用反证法，设是的特征向量，则应存在数使 于是 即因由本节定理知线性无关，故由上式得 即与题设矛盾.因此不是的特征向量.例11 (E08) 正交矩阵的实特征值的绝对值为1.证 设为正交矩阵，是方阵的对应于特征值的特征向量，则 因 (1) (2)又所以式(1)-式(2)得 即注:的特征值是特征方程的根，也是的根.的对应特征值的特征向量是齐次方程组的非零解，也是的非零解.在教科书中,上述两种表示法均可使用.3相似矩阵一、相似矩阵的概念定义7 设都是阶矩阵, 若存在可逆矩阵,使,则称是的相似矩阵, 并称矩阵与相似.记为.对进行运算称为对进行相似变换, 称可逆矩阵为相似变换矩阵.例1(E01) 设有矩阵 试验证存在可逆矩阵, 使得A与B相似.证 易见可逆，且由故与相似.二、相似矩阵的性质定理3 若n阶矩阵A与B相似,则A与B的特征多项式相同,从而A与B的特征值亦相同.推论 若n阶矩阵A与对角矩阵相似. 则是A的n个特征值相似矩阵的其它性质:(1) 相似矩阵的秩相等;(2) 相似矩阵的行列式相等; (3) 相似矩阵具有相同的可逆性, 当它们可逆时,则它们的逆矩阵也相似.那么，对n阶矩阵A，如何寻求可逆矩阵P, 使为对角阵，即所谓把A对角化？三、矩阵与对角矩阵相似的条件定理4 n阶矩阵A与对角矩阵相似（即A可对角化）的充分必要条件为矩阵A有n个线性无关的特征向量.推论 若n阶矩阵A有n个相异的特征值,则A与对角矩阵相似.例3 (E02) 矩阵有两个互不相同得特征值 根据推论，矩阵A与相似.当A的特征方程有重根时，就不一定有n个线性无关的特征向量，从而不一定能对角化。一个n阶矩阵A应具备什么条件才能对角化？4 对称矩阵的相似矩阵定理5 对称矩阵的特征值为实数.定理6 设是对称矩阵的两个特征值, 是对应的特征向量. 若, 则与正交.定理7 设为阶对称矩阵,是的特征方程的重根,则矩阵的秩,从而对应特征值恰有个线性无关的特征向量.定理8 设为阶对称矩阵, 则必有正交矩阵,使,其中是以的个特征值为对角元素的对角矩阵.对称矩阵对角化的步骤： (1) 求出的全部特征值;(2) 对每一个特征值,设其重数为,则对应齐次方程组的基础解系由个向量构成, 即为对应的线性无关的特征向量；(3) 上面求出的特征向量恰好为矩阵的个线性无关的特征向量;(4) 令, 则例1 (E01) 设 求正交矩阵P, 使为对角矩阵.解 矩阵的特征方程为 当时，由得基础解系当时，由得基础解系当时，由得基础解系把单位化，得令 则例2 (E02) 设 试求出正交矩阵P, 使为对角阵.解 对由 基础解系对由 基础解系将单位化，令得 故所求正交矩阵 且5 二次型及其标准型一、二次型的概念定义8 含有个变量的二次齐次函数称为二次型. 当为复数时，称为复二次型；当为实数时，称为实二次型.在本章中只讨论实二次型.只含有平方项的二次型 称为二次型的标准型(或法式)例1 (1)是一个含有2个变量的实二次型. (2)是一个含有3个变量的实二次型. (3)是一个4个变量的实二次型. (4) 是一个含有4个变量的实二次型. (5) 不是一个实二次型, 因为它含有一次项及常数项1. (6) 不是一个实二次型, 因为它含有3次项 (7) 不是一个实二次型, 因为是虚数, 但它是一个复二次型.二、二次型的矩阵取,则于是其中 .称为二次型的矩阵形式. 其中实对称矩阵称为该二次型的矩阵.二次型称为实对称矩阵的二次型. 实对称矩阵的秩称为二次型的秩. 于是，二次型与其实对称矩阵之间有一一对应关系.例2 写出下列是二次型相应的对称阵. (1) 其矩阵为 (2) 相应的实对称阵为 (3) 相应的实对称阵是一个对角阵: (4) 相应的对称阵为 例3 设有实对称矩阵 求对应的实二次型.解 是三阶阵，故有3个变量，则实二次型为例4 (E01) 二次型的矩阵反之, 对称矩阵所对应的二次型是三、化二次型为标准形 关系式 称为由变量到的线性变换. 记为，矩阵称为线性变换矩阵. 当时，称该线性变换为可逆线性变换.对于一般二次型,我们的问题是：寻求可逆的线性变换将二次型化为标准型，将其代入得这里，为关于的二次型，对应的矩阵为.注: 要为标准型，即要为对角矩阵，即由上章实对称矩阵对角化的方法，可取为正交变换矩阵.定理10 任给二次型 总有正交变换 使f化为标准形其中是f的矩阵的特征值.用正交变换化二次型为标准形的步骤：(1) 将二次型表成矩阵形式 求出;(2) 求出A的所有特征值 ;(3) 求出对应于特征值的特征向量 ;(4) 将特征向量正交化, 单位化, 得, 记(5) 作正交变换,则得f的标准形例8 (E05) 将二次型通过正交变换 化成标准形.解 (1) 写出二次型矩阵: (2) 求其特征值:由 (3) 求特征向量：将代入得基础解系将代入得基础解系(4) 将特征向量正交化取 得正交向量组: 将其单位化得:作正交矩阵: (5) 故所求正交变换为在此变换下原二次型化为标准形: 例9设, 求一个正交变换 把该二次型化为标准形.解 二次型的矩阵为其特征多项式为故的特征值当时，解方程得基础解系当时，解方程可得正交的基础解系 单位化得于是所求正交变换为在此变换下原二次型化为标准形 6 用配方法化二次型为标准形对于简单的二次型，也可以用用配方法解之.例1(E01) 将化为标准形.解 因标准形是平方项的代数和，可利用配方法解之. (1)令 即 代入(1)式得二次型的标准形例2 化二次型为标准形, 并求所用的变换矩阵.解 令 所用变换矩阵为例3 (E02) 化二次型成标准形, 并求所用的变换矩阵.解 由于所给二次型中无平方项，所以令 即代入原二次型得再配方得令 即代入原二次型得标准形所用变换矩阵为7 正定二次型定理11（惯性定理） 设有实二次型,它的秩为，有两个实的可逆变换及使及则中的正数的个数与中的正数的个数相等定义9 设有实二次型,如果对任何非零向量, 都有 （或）成立，则称为正定（负定）二次型，矩阵称为正定矩阵（负定矩阵）.二次型的正定性