山西省太原市2019届高三数学模拟试题（一）文（含解析）.docx

太原市2019年高三年级模拟试题（一）数学试卷（文史类）一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析】先求集合A,再求交集即可【详解】,则故选：A【点睛】本题考查集合的运算，绝对值不等式的解法，考查计算能力，是基础题2.已知为虚数单位，则复数（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由复数的除法运算化简求解即可【详解】故选：C【点睛】本题考查复数的运算，考查计算能力，是基础题3.下列命题中的真命题是（ ）A. 若，则向量与的夹角为钝角B. 若，则C. 若命题“是真命题”，则命题“是真命题”D. 命题“，”的否定是“，”【答案】D【解析】【分析】对于选项A：当时，向量与的夹角为钝角或夹角，可以判断是否为真命题；对于选项B:要注意成立时，这个特殊情况， 对此可以判断是否为真命题；对于选项C: 命题“是真命题”中至少有一个为真命题，不能确定是真命题；对于选项D：含有特称量词命题的否定要求改为全称量词，同时否定结论，对此可以判断是否为真命题。【详解】选项A：是钝角或平角，所以选项A是假命题；选项B: 或者，所以选项B是假命题；选项C: 命题“是真命题”中至少有一个为真命题，只有当都是真命题时，才是真命题，所以选项C是假命题；选项D;根据含有特称量词命题的否定要求改为全称量词，同时否定结论，这一原则，“，”的否定是“，”是真命题，故本题选D.【点睛】本题考查了命题真假的判断，属于基础题.4.已知，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由诱导公式及二倍角公式化简，由结合得，即可求解【详解】=又,解又，,故故所以故选：A【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系式，熟记公式是关键，考查计算能力，是基础题5.已知函数在点处的切线经过原点，则实数（ ）A. 1B. 0C. D. -1【答案】A【解析】【分析】先求导，再求切线斜率，利用点斜式写出方程，即可求解【详解】切线方程为,故0=0-1+a,解a=1故选：A【点睛】本题考查切线方程，导数的几何意义，考查计算能力，是基础题6.已知等比数列满足，则（ ）A. 7B. -5C. 5D. -7【答案】D【解析】【分析】由等比数列求得q,再计算即可【详解】由题，解得或，故或当，时+当，时+，故故选：D【点睛】本题考查等比数列的基本运算及性质，考查计算能力，是基础题7.下图是某几何体的三视图，其中网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（ ）A. 12B. 15C. D. 【答案】D【解析】【分析】由三视图可以判定出这是一个底面为四边形的四棱锥，其高为5，求出底面积，用棱锥的体积公式求出体积。【详解】由三视图可以判定出这是一个底面为四边形的四棱锥，其高为5.底面四边形可以分割成二个三角形，面积，体积，故本题选D。【点睛】本题考查了通过三视图识别几何体的形状求其体积。8.在平面区域，内任取一点，则点的坐标满足不等式的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】画出可行域，由满足不等式得到点P满足的区域，再求面积求概率即可【详解】由题不等式组表示的区域如图阴影所示：则满足不等式的P的轨迹为阴影部分除去扇形C-AB的部分，.故扇形面积为联立得D(),故三角形OCD面积为则点的坐标满足不等式的概率为故选：A【点睛】本题考查几何概型及线性规划，扇形的面积，准确计算是关键，是基础题9.已知数列的前项和满足 ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由n得，构造等比数列得,进而求得通项，即可求解【详解】当n得,故为首项为，公比为的等比数列，又，故所以故故选：B【点睛】本题考查递推关系求数列通项公式，等比数列通项公式，考查计算推理能力，是基础题10.已知双曲线 的左右焦点分别为，直线过点与双曲线在第二象限相交于点，若，则双曲线的离心率是（ ）A. B. C. 2D. 【答案】B【解析】【分析】由，求的值，结合定义求得a则离心率可求【详解】因为直线过点，故,则c=5,因为，故 =又=2a故a=故选：B【点睛】本题考查双曲线的几何性质，离心率的计算，定义的运用，考查计算能力，是基础题11.已知定义在上的函数满足，且，则的解集是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】构造函数=，求导确定其单调性，等价为，利用单调性解不等式即可【详解】令= 在上单调递减，且故等价为即,故,解x故解集为故选：A【点睛】本题考查导数与单调性的应用，构造函数的思想，考查分析推理能力，是中档题12.将函数的图象向右平移 个单位后得到函数的图象，若方程的根，满足，则的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求确定满足的，的表达式，即可求，则可求【详解】由题,则，不妨设，则则，又，则，解 ；同理当亦成立故选：C二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.抛物线的准线方程为_.【答案】【解析】由抛物线的标准方程为x2=y，得抛物线是焦点在y轴正半轴的抛物线，2P=1，其准线方程是y=，。故答案为：。14.已知单位向量与的夹角为，则_.【答案】【解析】解：因为单位向量,的夹角为，故，故 15.已知函数若方程有两个不相等的实根，则的最大值为_.【答案】【解析】【分析】画出的图像，求出，表示为m的函数即可求解【详解】的图像如图所示：设1,则当单增，单减，故，即的最大值为故答案为【点睛】本题考查函数与方程的零点，导数与函数的最值，考查分析转化能力，考查运算能力，是中档题16.如图，正方体的棱长为4，点在棱上，且，是面内的正方形，且，是面内的动点，且到平面的距离等于线段的长，则线段长度的最小值为_.【答案】【解析】【分析】过作,连接,则 ,当最小时，最小，利用空间直角坐标系，求出的表达式，求出最小值，最后求出长度的最小值。【详解】建立如下图所示的空间直角坐标系：过作,连接,则 ,当最小时，最小。因为到平面的距离等于线段的长，所以时，有最小值6，所以的最小值为22，.【点睛】本题考查了空间直角坐标系的应用问题。三、解答题：（本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.如图，已知的内角，的对边分别是，且，点是的中点，交于点，且，.（1）求；（2）求的面积.【答案】(1) (2) 【解析】【分析】（1）通过正弦定理实现边角转化，再应用余弦定理，可求出。（2）根据已知条件可以确定，并求出它们表达式，在中，运用外角与内角的关系、正弦定理，可求出，的大小，最后求出面积。【详解】解（1），由得，由余弦定理得，:（2）连接，如下图：是的中点，在中，由正弦定理得， ，【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理、三角形面积公式。18.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，分别是，的中点，是等边三角形，面面，.（1）证明：面；（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）设的中点为，连接，证明是平行四边形即可证明；（2）利用（1）面，转化 求解即可【详解】（1）证明：设的中点为，连接，是的中点，是平行四边形，是的中点，是平行四边形，不含于面面面；（2）过点作，为垂足，连接，面面，面，是等边三角形，由（1）得面， 【点睛】本题考查线面平行的判定及棱锥体积，熟记判定定理，准确计算是关键，注意等体积的转化，是基础题19.近年来随着互联网的高速发展，旧货交易市场也得以快速发展.某网络旧货交易平台对2018年某种机械设备的线上交易进行了统计，得到如图所示的频率分布直方图，和如图所示的散点图.现把直方图中各组的频率视为概率，用（单位：年）表示该设备的使用时间，（单位：万元）表示其相应的平均交易价格.（1）已知2018年在此网络旧货交易平台成交该种机械设备为100台，现从这100台设备中，按分层抽样抽取使用时间的4台设备，再从这4台设备中随机抽取2台，求这2台设备的使用时间都在的概率.（2）由散点图分析后，可用作为此网络旧货交易平台上该种机械设备的平均交易价格关于其使用时间的回归方程.表中，（i）根据上述相关数据，求关于的回归方程；（ii）根据上述回归方程，求当使用时间时，该种机械设备的平均交易价格的预报值（精确到0.01）.附：对于一组数据，其回归直线斜率和截距的最小二乘估计分别为参考数据：，.【答案】（1）；（2）（ii）【解析】【分析】（1）由分层抽样确定的设备有3台，分别记为，；使用时的设备有1台，记为，由古典概型列举求解即可（2）（i）由题意得，由公式求解即可求解（ii）将x=15代入方程求解即可【详解】（1）由图1中频率分布直方图可知，从2018年成交的该种机械设备中使用时间的台数为，使用时间的台数为， 按分层抽样所抽取4台中，使用时间的设备有3台，分别记为，；使用时的设备有1台，记为，从这4台设备中随机抽取2台的结果为，共有6种等可能出现的结果，其中这2台设备的使用时间都在结果为，共有3种，：所求事件的概率为；（2）（i）由题意得， ，关于的线性回归方程为关于的回归方程为，（ii）由（i）当使用时间时，该种机械设备的平均交易价格的预报值为万元.，【点睛】本题考查回归直线方程及应用，古典概型，分层抽样，准确计算是关键，是基础题20.已知椭圆 的左、右焦点分别是，其离心率为，点是椭圆上任一点，且面积的最大值为.（1）求椭圆的方程；（2）若斜率不为0的直线与椭圆相交于，两个不同点，且是平行四边形，证明：四边形的面积为定值.【答案】（1）；（2）3【解析】【分析】（1）由题列a,b,c的方程组求解即可（2）设直线的方程为，与椭圆联立，由是平行四边形得，向量坐标化得，代入椭圆化简整理得，再利用弦长公式及点到线距离代入求解即可【详解】（1）由题意得 椭圆的方程为；（2）设直线的方程为，由，得，是平行四边形， ，此时， ，点到直线的距离为，.【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，韦达定理的应用，点在曲线上应用，突破点在于求出P坐标，考查计算能力，是中档题21.已知函数，.（1）讨论函数的单调性；（2）当，时，若对于任意，都存在，使得，证明：.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）讨论和的正负确定其单调性即可；（2）由，整理得，进而得 ，令，求导证明，再构造函数，证明其单调增，即可证明结论【详解】（1）由题意得，当时，在上恒成立，在上单调递增；当时，令则；令则，在上单调递增，在单调递减； （2）证明：当时， 令，则，设，则，在上单调递增，.【点睛】本题考查函数与导数的综合应用，函数单调性，分类讨论思想，整体代入及换元的方法，考查计算推理能力，是中档题22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，以原点0为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）若曲线方程中的参数是，且与有且只有一个公共点，求的普通方程；（2）已知点，若曲线方程中的参数是，且与相交于，两个不同点，求的最大值.【答案】(1) 或(2) 【解析】【分析】（1）利用公式直接把极坐标方程化为直角坐标方程，利用圆与圆相切，可以得到等式，求出的值；（2）把曲线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得到一个一元二次方程，设与点，相对应的参数分别是，利用一元二次方程根与系数关系，求出的表达式，求出最大值。【详解】解：（1），曲线的直角坐标方程为，是曲线的参数，的普通方程为，与有且只有一个公共点，或，的普通方程为或（2）是曲线的参数，是过点的一条直线，设与点，相对应的参数分别是，把，代入得， ，当时，取最大值.【点睛】本题考查了参数方程化为变通方程、极坐标方程化为直角