数学人教版八年级下册勾股定理（2）.doc

181 勾股定理（2）教学目标：（一）知识与技能 1会用勾股定理解决简单的实际问题。2树立数形结合的思想。（二）过程与方法 1.通过从实际问题中抽象出直角三角形这一模型,强化转化思想,培养学生解决现实问题的意识和能力.2.经历探究勾股定理在实际问题中的应用过程,进一步体会勾股定理的应用方法.（三）情感态度与价值观在例题分析和解决过程中,让学生感受勾股定理在实际生活中的应用.同时在学习过程中体会获得成功的喜悦,提高学生学习数学的兴趣和信心.教学重点:勾股定理的应用。教学难点:实际问题向数学问题的转化。教学过程：一.新课导入：活动1：上节课,我们学习了勾股定理,它的具体内容是什么呢?它有什么作用呢?教师出示问题:求出图中直角三角形中未知边AC的长度.（提出问题后让一位学生板演,剩下的学生在课堂作业本上完成）.教师巡视指导答疑,在活动中重点关注:(1)学生能否正确应用勾股定理进行计算;(2)在解决直角三角形的问题时,需知道直角三角形的两个条件且至少有一个条件是边;(3)让学生了解在直角三角形中斜边最长.设计意图通过简单的提问帮助学生回顾勾股定理,加深定理的记忆理解,为学习新课做好准备.二.新知构建：活动2：木板进门问题例1. 一个门框的尺寸如图所示,一块长3 m,宽2.2 m的长方形薄木板能否从门框内通过?为什么? 逐步引导提问:(1)木板的短边比门的高还要长,是否一定不能通过?还可以分析比较哪两个长度?(2)这两个长度一个是木板的短边长,另一个是长方形的对角线的长,能求吗?如何求?学生先尝试后发现:木板横着进,竖着进,都不能从门框内通过.再试一试斜着能否通过.门框对角线 AC的长度是斜着能通过的最大长度.求出AC,再与木板的宽比较,就能知道木板能否通过.解:如图所示,在RtABC中,根据勾股定理,得AC2=AB2+BC2=12+22=5.AC=2.24.因为AC大于木板的宽2.2 m,所以木板能从门框内通过.解题策略在遇到木板进门或将物体放入立体图形内的问题,常常需要找到能通过(放入)物体的最大长度,与物体的长度比较大小,从而判断是否可以通过(放入).设计意图运用转化思想,将求门框的对角线的长转化为已知两直角边长求斜边长,从而用勾股定理解决.(3)变式练习:长方体盒内长、宽、高分别为3 cm,4 cm和5 cm,盒内可放的棍子最长为（ ）cm.分析：本题需先求出长和宽组成的长方形的对角线长,为=( ) cm.这根最长的棍子和长方体的高,以及长和宽组成的长方形的对角线组成了直角三角形,则棍子最长为= ( ) cm.设计意图通过讲练结合,引导学生独立分析,自主学习,提高学生运用勾股定理解决简单问题的能力.活动3：梯子靠墙问题例2.如图所示,一架2.6 m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上,这时AO为2.4 m.如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5 m,那么梯子底端B也外移0.5 m吗?引导学生分析:利用勾股定理算出梯子底端B外移多少即可,转化为BD=OD-OB,需要根据勾股定理先计算OD,OB的长度.解:可以看出,BD=OD-OB.在RtAOB中,根据勾股定理,得OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1,OB=1.在RtCOD中,根据勾股定理,得OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15,OD=1.77.BD=OD-OB1.77-1=0.77.所以梯子的顶端沿墙下滑0.5 m时,梯子底端并不是也外移0.5 m,而是外移约0.77 m.解题策略已知直角三角形的两边长,可以根据勾股定理求出第三边长.已知直角三角形的一边长及两边之间的关系,也可以求出各边长.在求锐角三角形或钝角三角形的边长时,可以将其转化为直角三角形,应用勾股定理求解.设计意图巩固性练习,本题涉及已知斜边长和一直角边长求另一直角边长,也用勾股定理解决.活动4：表面距离最短问题例3.(补充)如图所示,一只蚂蚁沿棱长为a的正方体表面从顶点A爬到顶点B,则它走过的最短路程为() 解析:将正方体侧面展开,部分展开图如图所示.由图知AC=2a,BC=a.根据勾股定理,得AB=5a.解题策略平面图中,可以直接用勾股定理求两点之间的距离,而在求表面距离最短的问题时,需要将立体图形展开后,将实际问题转化成可以用勾股定理进行计算的问题.设计意图通过例题分析解决,建立数学模型,提高学生分析问题和解决问题的能力.知识拓展勾股定理应用的条件必须是直角三角形,所以要应用勾股定理必须构造直角三角形.常见的应用类型为:化非直角三角形为直角三角形;将实际问题转化为直角三角形模型.三、课堂小结1.用勾股定理计算时,要先画好图形,并标好图形,理清各边之间的关系,再灵活运用勾股定理计算.2.在利用勾股定理进行有关计算和证明时,要注意运用方程的思想;3.求直角三角形有关线段的长,有时还要运用转化的数学思想,或利用添加辅助线的方法构造直角三角形,再运用勾股定理求解.四、检测反馈：1.小明用火柴棒摆直角三角形,已知他摆两条直角边分别用了6根和8根火柴棒,他摆完这个直角三角形共用火柴棒()A.20根B.14根C.24根D.30根解析:摆两直角边分别用了6根、8根长度相同的火柴棒,由勾股定理,得摆斜边需用火柴棒=10(根),他摆完这个直角三角形共用火柴棒6+8+10=24(根).故选C.2.为迎接新年的到来,同学们做了许多花布置教室,准备召开新年晚会.小刘搬来一架高2.5米的木梯,木梯放好后,顶端与地面的距离为2.4米,则梯脚与墙脚的距离应为()A.0.7米B.0.8米C.0.9米D.1.0米解析:仔细分析题意得:梯子、地面、墙刚好形成一直角三角形,梯高为斜边,利用勾股定理解即可.梯脚与墙脚距离为=0.7(米).故选A.3.(2015厦门中考节选)已知A,B,C三地的位置如图所示,C=90,A,C两地相距4 km,B,C两地相距3 km,则A,B两地的距离是km.解析:C=90,A,C两地的距离是4 km,B,C两地的距离是3 km,AB=5(km).故填5.4.我国古代有这样一道数学问题:“枯木一根直立地上,高二丈,周三尺,有葛藤自根缠绕而上,五周而达其顶,问葛藤之长几何?”题意是:如图所示,把枯木看作一个圆柱体,因一丈是十尺,则该圆柱的高为20尺,底面周长为3尺,有葛藤自点A处缠绕而上,绕五周后其末端恰好到达点B处.则问题中葛藤的最短长度是尺.解析:将圆柱平均分成五段,将最下边一段圆柱的侧面展开,并连接其对角线,即为每段的最短长度,为=5,所以葛藤的最短长度为55=25(尺).故填25.五、板书设计第2课时1.木板进门问题例12.梯子靠墙问题例23.表面距离最短问题例3六、作业布置一、教材作业【必做题】教材第26页练习第1,2题;教材第28页习题17.1第2,3,4,5题.【选做题】教材第29页习题17.1第9,10,11题.二、课后作业【基础巩固】1.如图所示,有两棵树,一棵高10 m,另一棵高4 m,两树相距8 m.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,则小鸟至少飞行()A.8 mB.10 mC.12 mD.14 m （1） （2）2.如图所示,学校有一块长方形花圃,有极少数人为了避开拐角走“捷径”,在花圃内走出了一条“路”.他们仅仅少走了步路(假设2步为1米),却踩伤了花草.【能力提升】3.如图所示,某会展中心准备在高5 m,长13 m,宽2 m的楼梯上铺地毯,已知地毯每平方米18元,请你帮助计算一下,铺完这个楼梯至少需要元钱. （3） （4）4.如图所示,有一块直角三角形的绿地,量得两直角边长分别为6 m,8 m.现在要将绿地扩充成等腰三角形,且扩充部分是以8 m为直角边长的直角三角形,求扩充后等腰三角形绿地的周长.【拓展探究】5.ABC中,BC=a,AC=b,AB=c.若C=90,如图(1)所示,根据勾股定理,则a2+b2=c2.若ABC不是直角三角形,如图(2)和图(3)所示,请你类比勾股定理,试猜想a2+b