Fourier级数一致收敛性的几个证明.doc

F o u r i e r级数一致收敛性的几个证明3杨香凤(东华大学理学院,上海,201620)摘要 基于 Fo urie r 级数的逐点收敛性已经有很全面的研究 ,如 Dini 判别法 、L ip schitz 判别法 、Dirichlet2J o r da n 判别法 等 ,而关于 Fo urie r 级数的一致收敛性在文献中很少提及 ,本文将讨论 Fo urie r 级数的一致收敛性的几个判别方法 。 关键词 : Fo urie r 级数 ,收敛性 ,一致收敛性中图分类号 : O 174 . 21假 定 f ( x ) 在 - , 上 可 积 和 广 义 绝 对 可 积 , a M 判 别 法 2 , 从 而 推 得 级 数 0 + ( a c o s k x +则 f ( x ) 的 F o u r i e r 级 数 可 写 为 :bsi n k x ) 一 致 收 敛 。2 k k=1a kf ( x ) 0 + ( a c o s k x + b si n k x )2 kk k=1现 证 明| a |02+ ( | a| + | b k| ) 收 敛 :k其 中 ak1= f ( x ) c o s k x d x ( k = 0 , 1 , 2 , ) ,-1k=1f ( x ) 在 - , 上 光 滑 , 故 f ( x ) 在 - , 上 可 积 , 已 知 - , 上 f ( x ) 的 F o u r i e r 系 数 为 a 、kb k = f ( x ) si n k x d x ( k = 1 , 2 , ) 。b , 设 f ( x ) 在 - , 上 F o u r i e r 系 数 为 a、b, 则-一 般 数 学 分 析 中 F o u r i e r 级 数 的 讨 论 , 往 往 只针 对 其 收 敛 性 , 本 文 将 重 点 讨 论 F o u r i e r 级 数 一 致k有 1kk 1 收 敛 性 。下 文 中 定 理 1 条 件 较 强 , 定 理 2 、定 理 3 为a=0 f ( x ) d x =- f () - f ( - ) = 0更 一 般 条 件 下 的 一 致 收 敛 性 判 断 , 本 文 重 点 阐 述 这两 个 定 理 , 并 给 予 充 分 的 证 明 。(f ( - ) = f () ) ;定 义 1 : 若 f ( x ) 的 导 函 数 f ( x ) 在 - , 上a= 1f ( x ) c o s k x d x =连 续 , 则 称 f ( x ) 在 - , 上 光 滑 1。定 理 1 : 设 f ( x ) 为 - , 上 的 光 滑 函 数 ,k -k1 f ( x ) c o s k x + f ( x ) si n k x d x =f ( - ) = f () , 则 f ( x ) 的 F o u r i e r 级 数 - , 上 一 致 收 敛 于 f ( x ) 。k b ;k- -证 明 : 由 f ( x ) 在 - , 上 光 滑 , 则 f ( x ) 的F o u r i e r 级 数 存 在 , 记 为b= 1 f ( x ) si n k x d x =k - a k1 f ( x ) si n k x - f ( x ) c o s k x d x =f ( x ) 0 + ( a c o s k x + b si n k x ) 2 kk k=1- k a ;k- -其 中 ak1= f ( x ) c o s k x d x ( k = 0 , 1 , 2 , ) ,所 以 有 a = 0 , a = k b, b = - k ak = 1 ,-1b k = f ( x ) si n k x d x ( k = 1 , 2 , ) 。02 , 3 , ) ;(k k k k-注 意 到 | a c o s k x + b si n k x | | a| + | b| , 当 级 数从 而 有 | ak| + | bk| a| = kk| b|+ k kk k k k| a | 1 1 1 1 0 + ( | a| + | b| ) 收 敛 时 , 由 W e i e r s r a s sa2+ 1 +b2+ 1 =( a2+ b2) + ,2 kk k=12 k k 22 k k 22 k k k 2| a | | a | 证明: ( x) 在 a , b 上有界, 存在 M 于是可得0 + ( | a| +| b | ) 0 +2k=1k k 20 , x a , b , | ( x) | M ,1 ( a2+ b2) + 1 。 bb2k k k 2( x) si n pu d u M si n pu d u k=1k=1aa对级数 ( a2+ b2) , 由Bessel 不等式3 知:2 M 0 ( p ) ,k k p k=1 2bf ( a2+ b2) 1 2( x) d x - a ,所以li mx si n pu d u = 0 , 同理kk k=10 - 2n( )pa b故 ( a2+ b2) 部分和 T ( x) = ( a2+ b2) li m( x) cos pu d u = 0 .kk k=1fnkk k=1 2pa引理2( 局部性定理4) : 函数可积和广义绝对 ( a2+ b2) 1 2( x) d x - akkk=10 - 2可积函数 f ( x ) 的 Fouri er 级数在 x 点的收敛和发散情况, 只与 f ( x ) 在 x 点的小邻域( 充分小) 的值所以级数 ( a2+ b2) 部分和有界, 故其收敛。对k k k=1有关。级数1 , 显然收敛。引理3 : 设( u) 可积和广义绝对可积, 则有:k=1 k 2上述级数均为正项级数, 由比较判别法知级数1 112 n + 1 li m ( u) -si n2u d u = 0 ,| a0 |2+ ( | ak k=1| +| b k| ) 收敛, 从而 f ( x) 的n+ 02si n u u2Fouri er 级 数 在 -, 上 一 致 收 敛, 又 设 f ( x) 为f ( x) 的Fouri er 级数前n 项和, 则易知从而当n 时, 以下两个积分收敛情况相同nS2 n + 12 n + 1 - , 上每一点x 处有li m f ( x) - S n f ( x) =1 si n2usi nu2n( u)d u , 1( u)d u .0 , 因此f ( x) 的Fouri er 级数 - , 上一致收敛于 0f ( x) , 定理1 证毕。推论1 : 设f ( x) 以2 为周期, 且具有二阶连续2si n u 2 0uu - 2si n u可微的函 数, 则 f ( x ) 的 Fouri er 级 数 一 致 收 敛证明: 注意到 1 - 1= 2 0于f ( x) 。推论2 : 设 f ( x ) 为( - , + ) 上以2 为周 期的光滑函数, 则 f ( x ) 的 Fouri er 级数在( - ,( u 0) ,2si n u u22 usi n u2+ ) 上一致收敛于 f ( x) 。从而1 - 1是 0 , 上的连续有界函数推论 1 和推论 2 的证明只需简单应用定理1 即可。定理2 : 设周期为2 的可积和广义绝对可积 函数f ( x) 在比区间 a , b 更宽的区间 a - , b + 2si n u u2( 在 u = 0 处定义其值为零) .因为 ( u) 可 积 和 广 义 绝 对 可 积,所 以( 其中 0 ) 上 有 有 界 导 数 f ( x ) , 则 f ( x ) 的( u) 1 - 1也可积和广义绝对可积, 由引理Fouri er 级数在区间 a , b 上一致收敛于 f ( x) 。2si n uu2为了证明定理2 , 先引入以下几个引理:1( Ri e ma nn 引 理) 可 知 li m1( u) 1 -引理1( Ri e ma n n 引理4) : 设函数( u) 在区间 a , b 上可积和广义绝对可积, 则以下极限式成立li m b( u) si n pu d u = 0 ,li m b( u) cos pu d u = 0 。n+ 01 si n 2 n + 1 u d u = 0 , 引理3 证毕。u22si n u2papa利用以上的引理及推论, 我们证明定理2 :推论: 设( x) 在区间 a , b 上有界, 则成立li m b( x) si n pud u = 0 ,li m b( x) cos pud u = 0由文献 5 , 以 2 为 周 期 的 函 数 f ( x ) , 其Fouri er 级数的部分和为papaS f ( x) = 1 ( x + u) + f( 极限一致为零) 。n 0f ( x - u ) si n2 n + 1u2d u ;对 于 I :12 si n u 2I1 = 1 f ( x + u) + f ( x - u) - f ( x + 0) - f ( x - 0) 0 u这 时 , 又 因 为 1 2 si n2 n + 1u2 u d u =sin 2 n + 1 u d u =202 si n2n 1 f ( x +1 ) u - f ( x - 2 ) u 0 usin2 n + 1 u d u =22 1+ c o s k u d u = 1 , 由 假 设 在 区 间 a - , 1 2 n + 1 0 2k =10 f ( x +1 ) - f ( x - 2 ) si n2u d ub + 上 有 导 数 f ( x ) , 故 有 f ( x + 0 ) + f ( x - 0 ) =2其中 、 ( 0 , ) , x a , b , 由 0 0 , 使得n 2| f ( x + ) - f ( x - ) | M , 从而由引理 1 推论121 即知对 x a , b 有li m I = 0 。1n f ( x + u ) + f ( x - u) - f ( x + 0 ) -02 n + 1综上 I 、I 得1 2si nu 1 f ( x + u) + f ( x - u) - f ( x + 0) - f ( x - 0)f ( x - 0 ) 2d uli m u.2 si n u 2n 0si n 2 n + 1 u d u = 0 且一致收敛2由 引 理 2 的 局 部 性 思 想 , 取 一 个 , 0 0 ) 上 连 续 且 为si n2 n + 1u d u = 1 分段 单 调 函 数 , 则 f ( x ) 的 Fo u ri e r 级 数 在 区 间2 0 f ( x + u ) + f ( x - u ) - f ( x + 0 ) - f ( x - 0 ) .u a , b 上一致收敛于 f ( x ) 。证 明 : 不失一般性 , 设 f ( x ) 在 a - , b + 上si n2 n + 12u d u + 1 为单调递增 函 数 , 当 f ( x ) 递 减 时 亦 可 证 之 , 同 样 ,当 f ( x ) 在 a - , b + 上分段单调时同理证之 。 f ( x + u ) + f ( x - u ) - f ( x + 0 ) - f ( x - 0 ) .u2 n + 1同定理 2 一样考虑 1 f ( x + u) + f ( x - u) - f ( x + 0 ) - f ( x - 0 )si nu d u I + I212 02 n + 1u 1对 于 I :2si n2u d u = ( f ( x + u) + f ( x - u) -0由 假 设 f ( x ) 可 积 和 广 义 绝 对 可 积 , 知 f ( x +u) - f ( x + 0 ) + f ( x - u ) - f ( x - 0 ) 可 积 和 广f ( x + 0 ) - f ( x - 0 ) )si n2 n + 1 u2ud u + 1义 绝 对 可 积 , 又 1u在 , 上 为 连 续 有 界 函 数 , 所f ( x + u) + f ( x - u) - f ( x + 0 ) - f ( x - 0 ) 1以 f ( x + u ) + f ( x - u ) - f ( x + 0 ) - f ( x - 0 ) 也u可 积 和 广 义 绝 对 可 积 , 由 引 理 1 ( R i e m a n n 引 理 ) 知si n 2 n + 1 u d u A2u1+ A .2 x , , 都 有 l i m In 2= 0 , 所 以 I对 x 一 致 收 敛2对于 A2 : 由定理 2 的证明可知 , A一致收敛于零 。2于 零 。对于 A 1 : 由 假 设 f ( x ) 递 增 , 故 可 利 用 第 二 中值定理, 得收敛, 故 A 0 , L , Asi n t d t L , 从而1 0 tA 1 = f ( x + u) + f ( x - u) - f ( x + 0) -02 2n+1si n td t = 22n+1si n td t - 22n+1si n td t f ( x - 0) si n 2 n + 1 u2ud u =2n+1 t20t 0t2 L ;1 f ( x + ) + f ( x - ) -si n 2 n + 1 u故对 A 1 , 有| A 1 | 4 L, 所以 A 1 一致收敛于零,从而1 f ( x + u) + f ( x - u) - f ( x + 0) - f ( x - 0)f ( x + 0) - f ( x - 0) 2d u =li m u 1u n 01 f ( x + ) + f ( x - ) - f ( x + 0) -2f ( x - 0) 2n+1si n t d t =tsi n 2 n + 1 u d u = 0 且一致收敛。2同 样 由 引 理 3知 li mnS f (nx) -2n+12 f ( x + 0) + f ( x - 0) f ( x) - f ( x) 22n f ( x + ) - f ( x + 0) 2n+1si n t d t -2n+1t 2 2 f ( x - 0) - f ( x - ) 2n+1si n t d t= li m Sn= 0 且一致收敛, 这样就证明了 f ( x) 的Fouri er 级数在区间 a , b 上一致收敛于 f ( x) , 定理3 证毕。2n+1 t2 ( 其中0 0 ,可选上述适当的, 使得0 f ( x + ) - f ( x + 0) ,0 f ( x - 0) - f ( x - ) ;同时, 由广义积分 Di ri chl et 判别法可知 +si n t dt参考文献 1 华东师范大学数学系. 数学分析(下). 北京: 高等教育出版 社,1991: 86 2 欧阳光中,朱学炎,秦曾复. 数学分析(下). 上海: 上海科学技 术出版社,1982: 9 3 张筑生. 数学分析新讲(下). 北京: 北京大学出版社,1990:102 103 4 陈传璋,金福临,朱学炎,等. 数学分析(第二版) (下). 北京:高等教育出版社,1983: 100 103 5 欧阳光中,姚允龙. 数学分析. 上海: 复旦大学出版社,19910tS e v e r a l P r o o f