机械工程测试信息信分析课件-第6章-1

15 46 1 MEASUREMENTINFORMATIONSIGNALANALYSISINMECHANICALENGINEERING 机械工程测试 信息 信号分析 机械科学与工程学院机械电子信息工程系 15 46 2 课件资料下载 邮箱地址 密码 注意下载时不要删除原始文件 15 46 3 第六章数字信号分析 I DFT与FFT 15 46 4 第六章主要内容 6 5现代谱分析方法 最大熵谱估计 6 3FFT 6 4谱分析与谱估计 6 2离散傅立叶变换DFT 6 1模拟信号离散化时域采样定理频域采样定理周期序列的离散傅立叶级数 15 46 5 时间函数频率函数 连续时间 连续频率 傅里叶变换 连续时间 离散频率 傅里叶级数 离散时间 连续频率 序列的傅里叶变换 离散时间 离散频率 离散傅里叶变换 Fourier变换的几种可能形式 15 46 6 0 0 t 时域连续函数造成频域是非周期的谱 而时域的非周期造成频域是连续的谱密度函数 连续时间 连续频率 FT 15 46 7 连续时间 离散频率 FS 当x t 为连续时间周期信号时 可展开为傅立叶级数 时域连续函数造成频域是非周期的谱 频域的离散对应时域是周期函数 时域周期为T0 频域谱线间隔为2 0 T0 15 46 8 离散时间 连续频率 序列的FT 对离散序列x n 其傅立叶变换为 若x n 是信号x t 的采样序列 采样间隔为T 则有 15 46 9 序列的FT 时域的离散化造成频域的周期延拓 而时域的非周期对应于频域的连续 15 46 10 上述三种情况至少在一个变换域有积分 连续 因而不适合进行数字计算 时域的离散造成频域的延拓 周期性 因而频域的离散也会造成时域的延拓 周期性 要想在时域和频域都是离散的 那么两域必须是周期的 离散傅立叶变换 15 46 11 对序列的傅立叶变换在频域上加以离散化 令d 0 从而 15 46 12 15 46 13 四种形式归纳 15 46 14 DFT重要性 DFT是重要的变换分析有限长序列的有用工具 在信号处理的理论上有重要意义 在运算方法上起核心作用 谱分析 卷积 相关都可以通DFT在计算机上实现 DFT是现代信号处理桥梁DFT要解决两个问题 一是离散与量化 二是快速运算 15 46 15 6 1A D与D A转换 显示记录 传感器和测试系统的标定和校准 法定计量单位 标准信号源 15 46 16 测试系统基本模型 组成传感器调理电路放大器数据采集系统ADC系统灵敏度传感器灵敏度放大器增益ADC灵敏度 测试系统基本模型 测控系统前向通道 15 46 17 基本参数的确定 任务以系统分辩力 量程为依据 依次确定分辩力 量程和环境条件 传感器类型及其灵敏度S1量程 精度 系统分辩率 ADC的分辩率 Q 1 S3 ADC量程 传感器输出范围 放大器增益S2说明先两头 后中间多量程 低位A D 15 46 18 动态性能的确定 任务根据被测信号的最高频率fm和允许动态幅值误差 m 确定各环节的动态参数 方法模数分开 各自预估模拟部分误差表达理想频率特性 15 46 19 模拟部分动态性能的确定1 传感器与放大器均为一阶动态误差传感器时间常数为 1放大器时间常数为 2 1 2 fb 合理选择 1和 2 使 2 fm时 15 46 20 模拟部分动态性能的确定2 传感器为二阶 放大器为一阶动态误差传感器固有转角频率为 0传感器阻尼比为 未指明取 0 放大器时间常数为 2 1 2 fb 合理选择 0 和 2 使 2 fm时 15 46 21 数字部分动态性能的预估 ADC的转换时间Tc在Tc之内 输入信号的变化的误差 ADC量化误差的一半 即Q 2S H的孔径时间TAP aperturetime 和孔径抖动时间TAJ ApertureUncertainty jitter 对于TAP 提前启动 H 对于TAJ校核说明还应考虑采样定理的要求 系统的动态性能往往受制于传感器 15 46 22 数字部分动态性能的预估 孔径时间 在模拟量输入通道中 A D转换器将模拟信号转换成数字量需要一定的时间 完成一次A D转换器所需的时间称为孔径时间 孔径抖动 孔径抖动 或称孔径误差 是指采样与采样之间孔径延迟时间的变化 起因是调制系统时钟相位时的噪声 通过对内部ADC时钟抖动和外部采样时钟抖动进行和方根 root sum square 计算得到孔径抖动 如果要求测量准确 数据采样系统必须要有极低的相位噪声 随着模拟输入斜率 dV dt 的增加 孔径抖动也增大 一般来讲 使用输入频率为MHz级的ADC时 时钟抖动应为亚皮秒级 孔径延迟 孔径延迟是指在保持命令发出之后到ADC采样保持放大器 SHA 完全打开采样开关所需的时间 即ADC采样发出命令到采样实际开始的时间 有效孔径延迟时间te包括孔径延迟和SHA中模拟 数字传输延迟的影响 其值可正可负 15 46 23 误差极限的预估 任务按总误差的限定值 分配各环节的允许误差 误差极限的预估 过程预分配 综合调整 再分配 再综合 直至满意模型误差合成方根和法 几何合成 被测量x的影响不属测量系统 因而忽略 15 46 24 6 1A D转换过程 采样 利用采样脉冲序列 从信号中抽取一系列离散值 使之成为采样信号x nTs 的过程 量化 把采样信号经过舍入变为只有有限个有效数字的数 这一过程称为量化 编码 将经过量化的值变为二进制数字的过程 15 46 25 6 1A D转换过程 例 15 46 26 6 1D A转换过程 15 46 27 模拟信号采样 设有两个不同频率的余弦信号 x1 t cos2 10 t x2 t cos2 50 t 现以fs 40Hz进行采样 得 什么原因 脉冲序列采样 理想脉冲采样 1 一个连续信号经过理想采样后 其采样信号频谱是一个周期性连续频谱 频谱周期延拓 周期为 mS 幅值被系数Cn加权 2 采样频率 S大于信号频带宽度的2倍时 取样信号的频谱在每一周期都完整地保留原来模拟信号的信息 1 时域采样 当p t 为脉冲序列时 Cn 1 Ts 所以 频域卷积定理 15 46 29 矩形脉冲采样 1 时域采样 矩形脉冲采样 实际采样脉冲 采样脉冲为周期矩形脉冲时冲 15 46 30 时域采样定理 2 时域采样定理时域采样定理 采样频率必须大于或等于信号x t 中的最高频率的两倍 物理解释 频谱受限信号 如果频谱只占据 m m范围 则信号可用等间隔采样值唯一的表示 采样间隔不大于1 2fm频带有限信号 其频率大小在时域内就是它的波形变化速率 波形的最高变化速度将受最高频率分量的限制 时域采样定理表明 一个信号在满足一定条件下 可通过它的时域采样点准确地恢复原来信号的波形 15 46 31 频混现象 频混现象 15 46 32 频混现象实例 1 时域采样 采样信号恢复实例 频率混叠 低通滤波 低通滤波 1 TS 7 1 TS 14 采样信号恢复 图示 1 时域采样 从采样信号频谱XS 中复原X 采用频域矩形窗函数H 与XS 相乘 即 实现方法 将采样信号xs t 通过理想低通滤波器 传输函数为H 在滤波器的输出端可以得到频谱X 的连续信号x t 图示 采样信号恢复 公式推导 1 时域采样 理想低通滤波器传输函数 在采样信号xs t 的每个采样值上画一个峰值为x nTS 的Sa型函数波形 合成的波形就是x t 对不在取样时刻任意点的数值是无限加权采样值的总和 但内插函数是衰减的 滤波不是理想滤波器 该点值只能是附近的一组有限值之和逼近 15 46 35 采样信号恢复 每步示例 由采样样值恢复原连续信号的过程惠特克波形重构法或理想内插法 近似逼近 时域采样信号恢复 每步示例Sa函数叫内插函数的原因 15 46 36 频域采样定理 图示 若x t 的频谱X 被间隔为 0的脉冲序列在频域中采样 则在时域中等效于x t 以一定的时间间隔周期延拓 时间周期为T0 2 0 周期信号的频谱是离散的 信号的时域与频域呈采样 离散 与重复 周期 关系 频域采样定理 图示 15 46 37 频域采样定理 公式推导 频域采样定理 连续频谱X 对应的时间函数x t 被间隔为 1的脉冲序列采样 上式可看出 一个时间受限信号的长度为2tm 在频域采样间隔f1 1 2tm条件下 能够从采样点集合完全恢复原信号的频谱 15 46 38 频域采样信号恢复 公式推导 频域采样信号恢复 时域窗函数 以F0 1 2 或T0 2 代入上式 则频谱内插公式为 上式说明恢复过程是内插过程 需要无限多的采样点从 求和 实际上因所取的样点有限 精度有限 滤波器也不具有理想频率特性 信号恢复是近似恢复 15 46 39 频域采样信号恢复 图示 4 频域采样定理P160在频域中对X 进行采样 等效于x t 在时域中重复 采样间隔不大于1 2tm 用矩形脉冲作选通信号 就可以恢复原信号x t 栅栏效应 频域采样后 只能获得采样点的频率成分 其余的频率成分一概舍去 就如透过栅栏观景 15 46 40 复指数序列 复指数序列 N为周期的序列 x t x n 都是周期性信号 但对连续时间信号来说 取值可在 区间 而且任意选择 0都具有周期性 其周期T 2 0 但对离散时间信号 因为 表示在数字频率上相差2 整数倍的所有离散时间复指数序列都是一样的 即离散域的频率 的有效取值是在0 2 或 的任一间隔为2 区间范围 15 46 5 周期序列的时域分析DFS离散时间周期信号从连续时间周期信号均匀采样例 正弦序列例 复指数序列TS为时域采样时间间隔 0 0TS为离散域频率连续时间信号FS表达式 离散时间周期信号的时域分析 t nTS离散化 15 46 42 离散时间周期信号的时域分析 5 周期序列的时域分析DFS离散序列FS表达式 复指数形式 x n 是以N为周期的周期序列 表示一个周期的采样点数 则 0为离散域的基本频率 单位是弧度 k 0是k次谐波的数字频率 TS为采样时间间隔 N为一个周期采样点数 0为周期信号的基波频率 T0为周期信号的周期 说明 一个周期序列可分解成一系列谐波 k 0 关系的复指数序列之和 当周期信号从连续域变到离散域后 频率 也从 的无限范围 映射到 0 0TS 0N 2 从0 2 的有限范围内 连续域傅里叶级数可表示为具有无限多个谐波分量 离散域只含有有限个谐波分量 总共谐波数为k 2 0 N 15 46 43 离散时间周期信号的时域分析 5 周期序列的时域分析DFS离散序列FS表达式 复指数形式 上式为离散傅里叶级数DFS 是一个有限项级数 对离散时间周期信号 若用代表正交函数集的复指数序列来表示 该集合是有限的 N是它的最高频率分量项 与CFS重要区别 X k 0 计算 15 46 44 离散时间周期信号的时域分析 n为时间离散变量 k为频率离散变量 2 N为离散域基频 谱线间隔 X k 0 是复指数序列各谐波分量的复振幅 反映了各谐波分量的幅度和相位 表示离散时间周期信号的频谱 将k以k N代入上式 DFS变换对 离散时间信号的频谱 是一个以N 2 为周期的周期性离散频谱 个谱线间的间隔为 0 2 N 且存在着谐波的关系 15 46 45 周期信号DFS 举例1 已知一正弦离散时间信号x n cos 0n 分别求出当 1 0 20 5 及 2 0 3时的傅里叶级数表示式和相应频谱 解 1 正弦序列只有在满足 0 2 m N 有理数的条件下才是周期序列 非周期序列 不能展开为DFS 15 46 46 周期信号DFS 举例1 已知一正弦离散时间信号x n cos 0n 分别求出当 1 0 20 5 及 2 0 3时的傅里叶级数表示式和相应频谱 解 比较 15 46 47 周期信号DFS 举例2 已知一周期序列x n 周期N 6 如图 求该序列的频谱及时域表示式 15 46 48 周期信号DFS 举例2 已知一周期序列x n 周期N 6 如图 求该序列的频谱及时域表示式 15 46 49 离散时间周期信号的频域分析 离散时间周期信号与连续时间周期信号频谱间的内在联系举例1 x t 6cos t 现以采样间隔T 0 25秒采样 求取样后周期序列的频谱并与原始信号x t 的频谱进行比较 解 求得 15 46 50 离散时间周期信号的频域分析 在一个周期内 X k 0 X k 0 说明离散周期信号在 范围内的离散频谱 可以准确地等于连续时间周期信号的离散频谱 15 46 51 离散时间周期信号的频域分析 举例2 a 按fs1 16 Ts1 1 16 则 每一基本周期取样点数N T0 Ts1 16 则 比较图 a 和 c 满足采样定理 不会出现频率混叠 15 46 52 离散时间周期信号的频域分析 举例2 b 按fs2 8 Ts2 1 8 N T0 Ts2 8 则 幅度频谱为 比较图 b 和 c 不满足采样定理 出现频率混叠 f2 5的正弦分量混叠到f1 3的余弦分量上 f1 3混叠到f2 5上 15 46 53 频率混叠与能量泄漏 混叠时域欠采样时 出现频率混叠无法恢复原信号频谱 因而不能从时域采样点准确地重建原连续信号 同理 频域欠采样时 出现波形混叠无法恢复原频谱对应的信号 也不能从频域采样值重建原连续频谱 改进方法 提高采样速率 增加采样点数 减少混叠对频谱分析的影响 15 46 54 频率混叠与能量泄漏 举例混叠 N 8 取样间隔T T0 N 0 5 N 16 取样间隔T T0 N 0 25 频谱图 试分别求出如下图 a 所示矩形周期信号 当在一个周期取样点数N 8及N 16时的频谱并与原始信号频谱作比较 15 46 55 频率混叠与能量泄