浙江省富阳市大源中学初中数学 兴趣活动课 欺骗眼睛的几何问题课件.pptVIP

欺骗眼睛的几何问题 抽屉原理与算命 电脑算命 看起来挺玄乎 只要你报出自己出生的年 月 日和性别 一按按键 屏幕上就会出现所谓性格 命运的句子 据说这就是你的 命 其实这充其量不过是一种电脑游戏而已 我们用数学上的抽屉原理很容易说明它的荒谬 抽屉原理又称鸽笼原理或狄利克雷原理 它是数学中证明存在性的一种特殊方法 举个最简单的例子 把3个苹果按任意的方式放入两个抽屉中 那么一定有一个抽屉里放有两个或两个以上的苹果 这是因为如果每一个抽屉里最多放有一个苹果 那么两个抽屉里最多只放有两个苹果 运用同样的推理可以得到 原理1把多于n个的物体放到n个抽屉里 则至少有一个抽屉里有2个或2个以上的物体 原理2把多于mn个的物体放到n个抽屉里 则至少有一个抽屉里有m 1个或多于m l个的物体 如果以70年计算 按出生的年 月 日 性别的不同组合数应为70 365 2 51100 我们把它作为 抽屉 数 我国现有人口11亿 我们把它作为 物体 数 由于1 1 21526 51100 21400 根据原理2 存在21526个以上的人 尽管他们的出身 经历 天资 机遇各不相同 但他们却具有完全相同的 命 这真是荒谬绝伦 在我国古代 早就有人懂得用抽屉原理来揭露生辰八字之谬 如清代陈其元在 庸闲斋笔记 中就写道 余最不信星命推步之说 以为一时 注 指一个时辰 合两小时 生一人 一日生十二人 以岁计之则有四千三百二十人 以一甲子 注 指六十年 计之 止有二十五万九千二百人而已 今只以一大郡计 其户口之数已不下数十万人 如咸丰十年杭州府一城八十万人 则举天下之大 自王公大人以至小民 何啻亿万万人 则生时同者必不少矣 其间王公大人始生之时 必有庶民同时而生者 又何贵贱贫富之不同也 在这里 一年按360日计算 一日又分为十二个时辰 得到的抽屉数为60 360 12 259200 所谓 电脑算命 不过是把人为编好的算命语句象中药柜那样事先分别一一存放在各自的柜子里 谁要算命 即根据出生的年月 日 性别的不同的组合按不同的编码机械地到电脑的各个 柜子 里取出所谓命运的句子 这种在古代迷信的亡灵上罩上现代科学光环的勾当 是对科学的亵渎 欺骗眼睛的几何问题 生活中我们常常相信亲眼所见 但又常常为自己的眼睛所骗 魔术就是一个很好的例子 数学中也有这种欺骗我们眼睛的奇妙的数学魔术 请看下面问题1这两个图形 如果将图1中的四块几何图形裁剪开来重新拼接成图2 我们将会发现 与图1相比 图2多出了一个洞 这怎么可能呢 理性会提出这样的疑问 奥妙何在我们姑且按下不表 让喜欢思考的同学先动动脑子 我们还是来看一个更简单的问题2吧 将图3中面积为13 13 169的正方形裁剪成图中标出的四块几何图形 然后重新拼接成图 计算可知长方形的面积为8 21 168 比正方形少了一个单位的面积 真不可思议 这两个问题是这样的令人惊奇和难以理解 值得我们花费一些时间动手按照所说的剪裁方法做一做 以问题2为例 我们在白纸上将正方形量好画出 剪成四块 重新安排后拼成长方形 除非图形做得很大并且作图和剪裁都十分精确 我们一般是不会发现拼接成的长方形在对角线附近发生了微小的重叠 正是沿对角线的微小重叠导致了一个单位面积的丢失 要证实这一点我们只要计算一下长方形对角线的斜率和正方形拼接各片相应边的斜率 比较一下就会清楚了 问题 中涉及到四个数据5 8 13和21 有一定数学基础的同学会认出这是著名的斐波那契数列中的四项 斐波那契数列的特征是它的每一项都是前两项之和 1 1 2 3 5 8 13 21 34 我们还可以使用这个数列中的其他相邻四项来试验这个过程 无论选取哪四项 都可以发现正方形和长方形的面积是不会相等的 有时正方形的面积比长方形多一个单位面积 有时则正好相反 多做几次上述实验 我们就会得出斐波那契数列的一个重要性质 这个数列任意一项的平方等于它前后相邻两项之积加1或减1 用公式表示就是 b2 ac 1 其中b2表示正方形的面积 ac表示长方形的面积 知道了这个事实 我们就可以自己构造类似于问题2的几何趣题 上面的这个斐波那契数列是以1 1两数开始的 广义的斐波那契数列可以从任意两数开始 比如说 用广义斐波那契数列2 2 4 6 10 16 做上述试验 就会多得或丢失四个单位的面积 如果用a b c表示广义斐波那契数列的相邻三项 以x表示 得 或 失 的数字 则下列两式成立 我们还可以来研究这样一个有趣的问题 把正方形按上述方法剪成四块 是否会拼接成一个与它面积相等的长方形 要回答这个问题 可以令方程组中的x等于零 再解之得唯一正解是 其中 恰是著名的黄金分割比 通常用来表示 它是一个无理数 等于1 618033 这就是说 唯一的每项平方等于前后相邻两项之积的斐波那契数列是 1 1 2 3 4 要证明它的确是斐波那契数列 只要证明它等价于数列1 1 1 1 2 1 1 3 1 2 就可以了 只有用这个数列相邻项数表示的长度来分割正方形 才可以拼出面积不变的长方形 我们再回到问题1 题中涉及到的数据1 1 2 3 5 8 13恰是斐波那契数列的前七项 因此问题 实际上是问题 的一个复杂化版本 计算一下图中两个大小三角形斜边的斜率 那么一开始的疑问已不讲自明 最后再给喜欢思考的同学提出一个与前两个问题略有不同的问题3 图5这个正方形按图中标出的数据分割成了五块几何图形 剪开后重新拼接成图 奇怪 又多出了一个洞 这次斜线处并无叠合 少掉的一个