华东师大版八年级数学下册第19章矩形菱形与正方形19.1矩形1矩形的性质

第19章矩形 菱形与正方形19 1矩形1 矩形的性质 1 了解矩形的定义 理解矩形与平行四边形的区别和联系 重点 2 会用矩形的性质进行计算或证明 重点 难点 一 矩形的定义有一个角是 的平行四边形 二 矩形的性质在矩形ABCD中 BAD 90 对角线AC与BD相交于点O 直角 思考 1 由 BAD 90 可以推出 ABC BCD CDA的度数分别为多少 提示 因为矩形是特殊的平行四边形 AD BC AB CD 根据两直线平行 同旁内角互补 可得 ABC BCD CDA 90 2 对角线AC BD有怎样的数量关系 为什么 提示 AC BD 在 ABD和 DCA中AD AD BAD CDA 90 AB CD ABD DCA AC BD 总结 矩形的性质 1 矩形具有 的一般性质 2 定理1 矩形的四个角都是 3 定理2 矩形的对角线 4 对称性 矩形既是 图形 也是轴对称图形 对称轴为 的直线 平行四边形 直角 相等 中心对称 通过对边中点 打 或 1 矩形的对角线相等且互相平分 2 矩形的四个角都是直角 3 矩形是轴对称图形 它有两条对称轴 知识点1矩形的性质 例1 2013 宁夏中考 在矩形ABCD中 点E是BC上一点 AE AD DF AE 垂足为F 求证 DF DC 思路点拨 连结DE 四边形ABCD是矩形 DF AE DEC AED DFE C 90 DFE DCE 结论 自主解答 连结DE AD AE AED ADE 四边形ABCD是矩形 AD BC C 90 ADE DEC DEC AED 又 DF AE DFE C 90 DE DE DFE DCE DF DC 总结提升 矩形的性质 1 矩形的性质为我们以后证明线段平行或相等 角的相等提供了新的方法 2 由边 角之间的相等关系 特别是有直角 可以将矩形中的问题转化为直角三角形中有关边角的计算问题 3 对角线将矩形分成了四个面积相等的等腰三角形 可以解决有关等腰三角形的问题 4 矩形既是中心对称图形 同时还是轴对称图形 为解决图形的旋转和对折提供了依据 知识点2矩形性质的应用 例2 如图 四边形ABCD为矩形纸片 AB 10 AD 8 把纸片ABCD沿AF折叠 使点B恰好落在CD边E上 求折痕AF的长 思路点拨 由对称性 AB AE 由勾股定理 DE EC BF AF 自主解答 AEF和 ABF关于直线AF对称 AE AB 10 EF BF AEF B 90 在Rt ADE中 AD 8 AE 10 根据勾股定理 DE EC 10 6 4 在Rt EFC中 EC 4 设BF为x 则FC 8 x 根据勾股定理 得方程 8 x 2 42 x2 解得x 5 即BF 5 AF 总结提升 解决矩形中折叠问题的两个思路 1 运用矩形的对边相等 对角线相等 四个角是直角等性质 2 运用轴对称的性质 找出折叠前后相等的角 线段 题组一 矩形的性质1 2013 宜昌中考 如图 在矩形ABCD中 AB BC AC BD相交于点O 则图中等腰三角形的个数是 A 8B 6C 4D 2 解析 选C 四边形ABCD是矩形 AO BO CO DO ABO BCO DCO ADO都是等腰三角形 2 如图 在矩形ABCD中 O是对角线AC BD的交点 点E F分别是OD OC的中点 如果AC 10 BC 8 那么EF的长为 A 3B 4C 5D 6 解析 选A ABC 90 AB CD AB 6 点E F分别是OD OC的中点 EF 3 3 2013 资阳中考 在矩形ABCD中 对角线AC BD相交于点O 若 AOB 60 AC 10 则AB 解析 四边形ABCD是矩形 OA OB 又 AOB 60 AOB是等边三角形 AB OA AC 5 答案 5 4 已知 如图 在矩形ABCD中 AC BD是对角线 过顶点C作BD的平行线与AB的延长线相交于点E 求证 AC CE 证明 BD EC BE DC 四边形BDCE是平行四边形 BD EC 四边形ABCD是矩形 AC BD AC CE 5 如图 E F分别是矩形ABCD的对角线AC和BD上的点 且AE DF 求证 BE CF 证明 四边形ABCD为矩形 OA OB OC OD AB CD AE DF OE OF 在 BOE与 COF中 BOE COF BE CF 题组二 矩形性质的应用1 如图 在矩形ABCD中 E F G H分别为边AB BC CD DA的中点 若AB 2 AD 4 则图中阴影部分的面积为 A 8B 6C 4D 3 解析 选C 阴影部分的面积为2 4 4 2 1 4 2 如图是一块电脑主板的示意图 每一转角处都是直角 数据如图所示 单位 mm 则该主板的周长是 A 88mmB 96mmC 80mmD 84mm 解析 选B 如图 把主板转化为一个矩形后 还多余2个4mm的边长 即主板的周长为2 24 20 4 2 96 mm 3 如图 矩形ABCD中 AB 8 BC 6 E F是AC上的三等分点 则 BEF的面积为 A 8B 12C 16D 24 解析 选A 因为 ABC的面积为 8 6 24 又因为E F是AC上的三等分点 所以 BEF的面积为 24 8 4 如图 在矩形ABCD中 点E F分别在边AB CD上 BF DE 若AD 12cm AB 7cm 且AE EB 5 2 则阴影部分EBFD的面积为cm2 解析 因为BF DE AB CD 所以四边形BEDF是平行四边形 又AB 7cm AE EB 5 2 得EB 2cm 所以阴影部分面积为BE AD 2 12 24 cm2 答案 24 5 如图 把一张矩形纸片ABCD沿BD折叠 使C点落在E处 且BE与AD相交于点O 判定 OBD的形状 并说明理由 解析 OBD为等腰三角形 理由 根据对称性 CBD EBD AD BC CBD ADB EBD ADB OB OD OBD为等腰三角形 变式备选 在上面的题目中 保持条件不变 试判断 AOB和 EDO面积的大小 说明理由 解析 AOB和 EDO面积相等 理由 根据矩形的中心对称性 ABD和 CDB面积相等 即S ABD S C