三角恒等变换专题复习(解析版)

三角恒等变换专题讲解教学目标：1、能利用单位圆中的三角函数线推导出 的正弦、余弦、正切的诱导公式；2、理解同角三角函数的基本关系式： ；3、可熟练运用三角函数见的基本关系式解决各种问题。教学重难点： 可熟练运用三角函数见的基本关系式解决各种问题【基础知识】一、同角的三大关系： 倒数关系 tancot=1 商数关系 = tan ； = cot 平方关系 温馨提示：（1）求同角三角函数有知一求三规律，可以利用公式求解，最好的方法是利用画直角三角形速解。来源:学+科+网（2）利用上述公式求三角函数值时，注意开方时要结合角的范围正确取舍“”号。二、诱导公式口诀：奇变偶不变，符号看象限 用诱导公式化简，一般先把角化成的形式，然后利用诱导公式的口诀化简（如果前面的角是90度的奇数倍，就是 “奇”，是90度的偶数倍，就是“偶”；符号看象限是，把看作是锐角，判断角在第几象限，在这个象限的前面三角函数的符号是 “+”还是“-”，就加在前面）。 用诱导公式计算时，一般是先将负角变成正角，再将正角变成区间的角，再变到区间的角，再变到区间的角计算。三、和角与差角公式 ：; 变 用 = ()(1)四、二倍角公式：= .五、注意这些公式的来弄去脉这些公式都可以由公式推导出来。六、注意公式的顺用、逆用、变用。如：逆用 变用 七、合一变形（辅助角公式）把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的 形式。，其中八、万能公式 九、用，表示十、积化和差与和差化积（不在重要）积化和差 ； ；.和差化积 十一、方法总结1、三角恒等变换方法观察（角、名、式）三变（变角、变名、变式）（1） “变角”主要指把未知的角向已知的角转化，是变换的主线，如=(+)=()+, 2=(+)+ (), 2=(+)(),+=2 , = ()()等.（2）“变名”指的是切化弦（正切余切化成正弦余弦），（3）“变式指的是利用升幂公式和降幂公式升幂降幂，利用和角和差角公式、合一变形公式展开和合并等。2、恒等式的证明方法灵活多样从一边开始直接推证,得到另一边,一般地,如果所证等式一边比较繁而另一边比较简时多采用此法,即由繁到简.左右归一法,即将所证恒等式左、右两边同时推导变形,直接推得左右两边都等于同一个式子.比较法, 即设法证明: 左边右边=0 或 =1;分析法,从被证的等式出发,逐步探求使等式成立的充分条件,一直推到已知条件或显然成立的结论成立为止,则可以判断原等式成立.【例题精讲】例1 已知为第四象限角，化简：解：（1）因为为第四象限角 所以原式= 例2 已知，化简解：，所以原式=例3 tan20+4sin20解：tan20+4sin20= 例4 （05天津）已知，求及解：解法一：由题设条件，应用两角差的正弦公式得，即由题设条件，应用二倍角余弦公式得 故 由和式得，因此，由两角和的正切公式解法二：由题设条件，应用二倍角余弦公式得，解得，即 由可得由于，且，故a在第二象限于是，从而 以下同解法一小结：1、本题以三角函数的求值问题考查三角变换能力和运算能力，可从已知角和所求角的内在联系（均含）进行转换得到2、在求三角函数值时，必须灵活应用公式，注意隐含条件的使用，以防出现多解或漏解的情形 例5 已知为锐角的三个内角，两向量，若与是共线向量. （1）求的大小； （2）求函数取最大值时，的大小.解：（1） ， （2） ，小结：三角函数与向量之间的联系很紧密，解题时要时刻注意 例6 设关于x的方程sinxcosxa0在(0, 2)内有相异二解、.(1)求的取值范围; (2)求tan()的值. 解: (1)sinxcosx2(sinxcosx)2 sin(x), 方程化为sin(x).方程sinxcosxa0在(0, 2)内有相异二解, sin(x)sin . 又sin(x)1 (当等于和1时仅有一解), |1 . 且. 即|a|2且a. a的取值范围是(2, )(, 2). (2) 、 是方程的相异解, sincosa0 . sincosa0 . 得(sin sin)( cos cos)0. 2sincos2sinsin0, 又sin0, tan.tan().小结：要注意三角函数实根个数与普通方程的区别，这里不能忘记(0, 2)这一条件. 例7 已知函数在区间上单调递减，试求实数的取值范围解：已知条件实际上给出了一个在区间上恒成立的不等式任取，且，则不等式恒成立，即恒成立化简得由可知：，所以上式恒成立的条件为：.由于且当时，所以 ,从而 ,有 , 故 的取值范围为.【基础精练】1已知是锐角，且sin，则sin的值等于()A. B C. D2若2，则 的值是()AsinBcos Csin Dcos3.等于 ()A.sin B.cos C.sin D.cos4.已知角在第一象限且cos，则等于 ()A.B. C. D. 5.定义运算adbc.若cos，0，则等于()A. B. C. D. 6.已知tan和tan()是方程ax2bxc0的两个根，则a、b、c的关系是 ()A.bac B.2bac C.cba D.cab7.设a(sin56cos56)，bcos50cos128cos40cos38，c，d(cos802cos2501)，则a，b，c，d的大小关系为 ()A.abdc B.badc C.dabc D.cadb8函数ysin2xsin2x，xR的值域是()A. B.C. D.9.若锐角、满足(1tan)(1tan)4，则.10.设是第二象限的角，tan，且sincos，则cos.11.已知sin(x)=，0x，求的值。12.若，求+2。【拓展提高】1、设函数f(x)sin()2cos21(1)求f(x)的最小正周期.(2)若函数yg(x)与yf(x)的图像关于直线x1对称，求当x0，时yg(x)的最大值 2.已知向量a(cos，sin)，b(cos，sin)，|ab| (1)求cos()的值；(2)若0，0，且sin，求sin.3、求证：2cos（+）=.【基础精练参考答案】4C【解析】原式2(cossin)2().5.D【解析】依题设得：sincoscossinsin ().0，cos(). 又cos，sin.sinsin()sincos()cossin() ，.6.C【解析】 tantan()1，1，bac，cab.7.B【解析】asin(5645)sin11，bsin40cos52cos40sin52sin(5240)sin12，ccos81sin9，d(2cos2402sin240)cos80sin10badc.8.C【解析】ysin2xsin2xsin2xcos2xsin，故选择C.9. 【解析】由(1tan)(1tan)4，可得，即tan().又(0，)，.10. 解析：是第二象限的角，可能在第一或第三象限，又sincos，为第三象限的角， cos0.tan，cos，cos .12.【解析】，+2,又tan2=,来源:Zxxk.Com+2=【拓展提高参考答案】1、【解析】 (1)f(x)sincoscossincosxsinxcosxsin(x)，故f(x)的最小正周期为T8(2)法一：在yg(x)的图象上任取一点 (x，g(x)，它关于x1的对称点(2x，g(x).由题设条件，点(2x，g(x)在yf(x)的图象上，从而g(x)f(2x)sin(2x)sinxcos(x)，当0x时， x，因此yg(x)在区间0，上的最大值为g(x)maxcos.法二：因区间0，关于x1的对称区间为，2，且yg(x)与yf(x)的图象关于x1对称，故yg(x)在0，上的最大值为yf(x)在，2上的最大值，由(1)知f(x)si