中考数学押轴题型-费马点相关问题.doc

费马点及其在中考中的应用一、费马点的由来费马(PierredeFermat，16011665)是法国数学家、物理学家费马一生从未受过专门的数学教育，数学研究也不过是业余爱好然而，在17世纪的法国还找不到哪位数学家可以与之匹敌他是解析几何的发明者之一；概率论的主要创始人；以及独承17世纪数论天地的人一代数学大师费马堪称是17世纪法国最伟大的数学家尤其他提出的费马大定理更是困惑了世间智者358年费马曾提出关于三角形的一个有趣问题：在ABC内求一点P，使PA+PB+PC之值为最小，人们称这个点为“费马点”二、探索费马点1当三角形有一个内角大于或等于120的时候，则费马点就是这个内角的顶点下面来验证这个结论：如图1，对三角形内任意一点P，延长BA至点C，使得AC=AC，作CAP=CAP，并且使得AP=AP即把APC以A为中心做旋转变换则APCAPC，BAC120，PAP60在等腰三角形PAP中，APPP，PA+PB+PCPP+PB+PCBC=AB+AC所以A是费马点 2如果三个内角都在120以内，那么，费马点就是三角形内与三角形三顶点的连线两两夹角为120的点如图2，以B点为中心，将APB旋转60到ABP因为旋转60，且PB=PB，所以PPB为正三角形因此，PA+PB+PC=PA+PP+PC由此可知当A，P，P，C四点共线时，PA+PB+PC=PA+PP+PC为最小当A，P，P共线时，BPP=60，APB=APB=120同理，若P，P，C共线时，则BPP=60，BPC=120所以点P为满足APB=BPC=CPA=120的点费马点相关问题等腰直角三角形,已知在直角平分线上的一点P,PA+PB+PC最小值为6+2，求直角边的长度？解答：如图将三角形PAC逆时针旋转60度得三角形DEC，则角PCD=60度，三角形PCD是正三角形，PC=PD且DE=PA，所以PA+PB+PC=DE+PD+PB，根据两点之间线段最短，当点E、D、P、B在一条直线上时，DE+PD+PB最小，这时角BPC=120度，角APC=EDC=120。下证这时的点P就在角ACB的平分线上。在三角形DCE和PCB中，因CE=CA=CB得角E=角PBC，又有角EDC=BPC=120度，得三角形CDE、CPA、CBP全等，角ECD=ACP=BCP，点P在角ACB的平分线上。所以点P是这样一个点：它使角APC=BPC=APB=120度（这个点叫三角形的费马点）。延长CP交AB于F，则CF垂直AB，且由三角形CPA、CBP全等知PA=PB，得角FPA=60度，设PF=x，则PA=PB=2x，AF=CF=3*x，PC=(3-1)x，有2x+2x+(3-1)x=6+2，x=1/36。所以AF=CF=2，AC=2*CF=2*2=2。向左转|向右转求角CBN 90度的方法：1.四边形内角和等于360度；2.在直角三角形ABC中，由AC等于AB的一半知角CBA等于30度“费马点”与中考试题费尔马，法国业余数学家，拥有业余数学之王的称号，他是解析几何的发明者之一费马点就是到三角形的三个顶点的距离之和最小的点费尔马的结论：对于一个各角不超过120的三角形，费马点是对各边的张角都是120的点，对于有一个角超过120的三角形，费马点就是这个内角的顶点下面简单说明如何找点P使它到ABC三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小？这就是所谓的费尔马问题解析：如图1，把APC绕A点逆时针旋转60得到APC，连接PP则APP为等边三角形，AP=PP，PC=PC，所以PA+PB+PC=PP+PB+PC点C可看成是线段AC绕A点逆时针旋转60而得的定点，BC为定长，所以当B、P、P、C四点在同一直线上时，PA+PB+PC最小这时BPA=180-APP=180-60=120，APC=APC=180-APP=180-60=120，BPC=360-BPA-APC=360-120-120=120因此，当ABC的每一个内角都小于120时，所求的点P对三角形每边的张角都是120，可在AB、BC边上分别作120的弓形弧，两弧在三角形内的交点就是P点；当有一内角大于或等于120时，所求的P点就是钝角的顶点费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法:是