cad二维图形变换.ppt

第二章图形变换 计算机图形学的基础理论知识 第一节矩阵及其运算一 矩阵的基本概念 说明 1 m n个数排成行列的数表叫做m n阶矩阵 当m n时 又叫做n阶方阵 矩阵 是一组元素所排成的数表 例如 2 矩阵与行列式是两个不同的概念 n阶行列式是一个数 而n阶矩阵不是一个数 而是n个数排列的数表 二 矩阵的运算1 加法和减法 运算条件 两个矩阵的行和列都相同 运算原则 每对对应元素实行加法或减法 如 二 矩阵的运算2 乘法 运算规则 矩阵A中的第i行元素与矩阵B中的第j列对应元素乘积之和就是矩阵C中第i行第j列元素 运算条件 第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数 乘法方可进行 矩阵乘法实例 一个m n阶矩阵乘以一个n q阶矩阵产生一个m q阶矩阵 矩阵乘法规则 适应结合律 A BC AB C适应分配律 A B C AB AC A B C AC BC交换律不成立 AB BA在进行级联 矩阵连乘 时 特别注意矩阵的前后次序 第二节二维图形的矩阵变换 二维空间 平面 的一个点P 可以用它的坐标 X Y 来表示 也可以用一个的矩阵 XY 来表示 点由某一位置 X Y 变换到另一个位置 如右图所示 可以利用矩阵乘法来实现 即 变换矩阵 矩阵 称为变换矩阵 变换后 点的新坐标取决于A B C D的值 二维图形变换程序 画一个的矩形 键入不同的A B C D值 观看其对图形的影响 头文件 intmain void requestautodetection intgdriver DETECT gmode errorcode inti xmax ymax floatA B C D floatpx 10 py 10 x 10 y 10 initializegraphicsandlocalvariables initgraph include include include include 主程序入口 变量 数组定义 绘图初始化 二维图形变换程序 续 printf A B C D scanf f f f f readresultofinitialization errorcode graphresult anerroroccurred if errorcode grOk printf Graphicserror s n grapherrormsg errorcode printf Pressanykeytohalt getch exit 1 对绘图初始化的结果进行判别 如有错误 则退出 读入A B C D 对矩形的四个角点进行赋值 二维图形变换程序 续 i 1 do x i A px i C py i y i B px i D py i x i 1 A px i 1 C py i 1 y i 1 B px i 1 D py i 1 获得屏幕的最大象素点的x y的坐标 画出屏幕的四边框 对前面赋值的矩形进行图形变换 setcolor getmaxcolor xmax getmaxx ymax getmaxy drawadiagonalline line 0 0 0 ymax line 0 ymax xmax ymax line xmax ymax xmax 0 line xmax 0 0 0 二维图形变换程序 续 设置绘图的颜色 cleanup getch closegraph return0 绘原矩形 绘变换后的矩形 关闭绘图方式 setcolor 5 line 160 px i 300 py i 160 px i 1 300 py i 1 setcolor 11 line 160 x i 300 y i 160 x i 1 300 y i 1 i while i 5 一 恒等变换 若想使图形按原位置 原大小显示出来 则应A D 1 B C 0 变换矩阵为 显然 新坐标与旧坐标相等 点的位置在变化前后没发生变动 所以此时变换矩阵T称为恒等变换矩阵 这种变换即为恒等变换 二 比例变换 要对一个图形进行放大或缩小 可通过比例变换来实现 使B C 0 则比例变换矩阵为 A为X方向的比例因子 D为Y方向的比例因子 例 A 1 B 0 C 0 D 2所显示的图形 三 反射变换 变换前后的图形对称于X轴或Y轴 或对称于某一特定的直线 如45 线 45 线 或某一特定的点 如原点 1 对Y轴的反射 变换矩形为 右图为A 1 B 0 C 0 D 1时所显示的对Y轴反射的图形 2 对X轴的反射 变换矩形为 右图为A 1 B 0 C 0 D 1时所显示的对X轴反射的图形 3 对45 轴的反射 变换矩形为 右图为A 0 B 1 C 1 D 0时所显示的对45 线反射的图形 4 对 45 轴的反射 变换矩形为 右图为A 0 B 1 C 1 D 0时所显示的对 45 线反射的图形 5 对原点的反射 变换矩形为 变换结果是对原点的反射 右图是A 1 B 0 C 0 D 1时所显示的图形 四 错切变换1 沿X方向的错切 变换矩形为 错切结果如右图所示 在图中 CY 沿X正负方向的错切 若C 0 图形沿X轴正方向错切 如图13 10所示 若C 0 图形沿X轴负方向错切 如图13 11所示 2 沿Y方向的错切 变换矩形为 若B 0 图形沿Y轴正方向错切 如图13 12所示 若B 0 图形沿Y轴负方向错切 如图13 13所示 五 旋转变换 平面图形的旋转 是指图形绕坐标原点旋转一个 角度 此时变换矩形为 注意 这个旋转矩阵是特指图形绕原点 0 0 旋转的变换矩阵 并且规定逆时针方向旋转时 旋转角 取正值 反之 按顺时针方向旋转时 旋转角 取负值 旋转变换实例 将程序稍作修改 用ZJ表示旋转角 将数据输入改为 printf ZJ scanf f A COS ZJ B SIN ZJ C B D A输入旋转角ZJ 即可按要求画出图形了 六 平移变换及齐次坐标 平移变换是二维变换中最基本的一种 但是 一般的矩阵不能完成平移变换 原因是平移为 一般矩阵的任何积都不能找到上述关系 在此引入一个附加坐标 使 平移变换矩阵 平移变换矩阵为 M为沿X方向的平移量 N为沿Y方向的平移量 二维图形的变换矩阵 前面所讲的几种变换 都可以表示为 用3 3阶矩阵 表示包括平移在内的各种线性变换了 齐次坐标 用三维向量表示二维向量或者说用n 1维向量表示一个n维向量的方法 称为齐次坐标表示法 一般地把称为点的齐次坐标 其中H为任意实数 当H 1时 就是点的正常化 或标准化 的齐次坐标 例 齐次坐标 正常化齐次坐标为 它表示二维空间点 点的齐次坐标并不是唯一的 例如 2 5 的齐次坐标可认为是 4 10 2 20 50 10 2 1 5 25 1 05 或者 2 5 1 等等 2 5 1 就是点的正常化齐次坐标 二维变换图形的性质 前面所讲比例 反射 错切 旋转 平移等变换都具有仿射变换的性质 即变换前后的图形之间仍保持 1 从属性 变换前一直线上的每一点在变换后的直线上都有一确定的对应点 2 同属性 变换前的点或直线 变换后仍是一个点或直线 即点对应点 直线对应直线 3 平行性 两平行直线经过变换后仍保持平行 4 定比性 变换前两线段之比等于变换后对应之比 第三节组合变换 很多变换是不能用上述的某个矩阵进行单一的变换来实现的 而要用几个变换组合起来方可完成 这种变换称为组合变换或级联变换 一 平面图形绕任意点旋转的变换 1 将旋转中心点P m n 移到原点 原图形随之一起平移 这可用一个平移矩阵来实现 平移量X方向为 m Y方向为 n 一般情况下图形绕平面上任意点P m n 的旋转 可按下述步骤进行 2 绕原点旋转所需要的转角 这用一个旋转矩阵来实现 3 将旋转后的图形再移回原位置 这用一个平移矩阵来实现 平移量为m n 三个变换矩阵T1 T2 T3的级联 就是平面图形绕任意点旋转的变换矩阵T 平面图形绕任意点旋转的变换 平面图形绕任意点旋转的变换矩阵T 这样只要知道了旋转中心的坐标 m n 和旋转角 即可进行图形变换 平面图形绕任意点旋转的变换实例 例使三角形A 6 4 B 9 4 C 6 6 绕点P 5 3 旋转60 求变换后的图形 二 平面图形以任意点为中心的比例变换 我们前面所讲的比例变换 是专指以原点为中心的比例变换 如果以任意点为中心进行比例变换 图形不仅大小或形状发生了变化 而且其位置也随比例发生了变化 以任意点P m n 为中心的比例变换则较好地解决了定位问题 以任意点为中心的比例组合变换步骤 1 将比例中心P m n 即变换后的不动点 平移到原点 图形随之一同平移 这可以用一个平移矩阵来实现 平移量X方向为 m Y方向为 n 2 将平移后的图形按要求的比例进行缩放变换