正多边形的有关概念、正多边形与圆的关系

24 3正多边形和圆 第二十四章圆 问题 观看大屏幕上这些美丽的图案 都是在日常生活中我们经常能看到的 你能从这些图案中找出类似的图形吗 导入新课 观察与思考 问题1什么叫做正多边形 各边相等 各角也相等的多边形叫做正多边形 问题2矩形是正多边形吗 为什么 菱形是正多边形吗 为什么 不是 因为矩形不符合各边相等 不是 因为菱形不符合各角相等 正多边形 各边相等 各角相等 缺一不可 讲授新课 问题3正三角形 正四边形 正五边形 正六边形都是轴对称图形吗 都是中心对称图形吗 正n边形都是轴对称图形 都有n条对称轴 只有边数为偶数的正多边形才是中心对称图形 问题3正三角形 正四边形 正五边形 正六边形都是轴对称图形吗 都是中心对称图形吗 互动探究 O A B C D 问题1以正四边形为例 根据对称轴的性质 你能得出什么结论 E F G H EF是边AB CD的垂直平分线 OA OB OD OC GH是边AD BC的垂直平分线 OA OD OB OC OA OB OC OD 正方形ABCD有一个以点O为圆心的外接圆 O A B C D E F G H AC是 DAB及 DCB的角平分线 BD是 ABC及 ADC的角平分线 OE OH OF OG 正方形ABCD还有一个以点O为圆心的内切圆 所有的正多边形是不是也都有一个外接圆和一个内切圆 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆 想一想 O A B C D E F G H R r 正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心 叫作正多边形的中心 外接圆的半径叫作正多边形的半径 内切圆的半径叫作正多边形的边心距 知识要点 正多边形每一条边所对的圆心角 叫做正多边形的中心角 正多边形的每个中心角都等于 60 120 120 90 90 90 120 60 60 正多边形的外角 中心角 完成下面的表格 如图 已知半径为4的圆内接正六边形ABCDEF 它的中心角等于度 OCBC 填 或 OBC是三角形 圆内接正六边形的面积是 OBC面积的倍 圆内接正n边形面积公式 C D O B E F A P 60 等边 6 探究归纳 例1 有一个亭子 它的地基是半径为4m的正六边形 求地基的周长和面积 精确到0 1m2 C D O E F A P 抽象成 典例精析 利用勾股定理 可得边心距 亭子地基的面积 在Rt OMB中 OB 4 MB 4m O A B C D E F 解 过点O作OM BC于M 想一想 问题1正n边形的中心角怎么计算 问题2正n边形的边长a 半径R 边心距r之间有什么关系 a R r 问题3边长a 边心距r的正n边形的面积如何计算 其中l为正n边形的周长 如图所示 正五边形ABCDE内接于 O 则 ADE的度数是 A 60 B 45 C 36 D 30 练一练 C 2 作边心距 构造直角三角形 1 连半径 得中心角 圆内接正多边形的辅助线 当堂练习 1 填表 2 1 2 8 4 2 2 12 2 若正多边形的边心距与半径的比为1 2 则这个多边形的边数是 3 4 要用圆形铁片截出边长为4cm的正方形铁片 则选用的圆形铁片的直径最小要 cm 也就是要找这个正方形外接圆的直径 3 如图是一枚奥运会纪念币的图案 其形状近似看作为正七边形 则一个内角为 度 不取近似值 5 如图 四边形ABCD是 O的内接正方形 若正方形的面积等于4 求 O的面积 解 正方形的面积等于4 则半径为 O的面积为 正方形的边长AB 2 6 如图 正六边形ABCDEF的边长为 点P为六边形内任一点 则点P到各边距离之和是多少 点P到各边距离之和 3BD 3 6 18 解 过P作AB的垂线 分别交AB DE于H K 连接BD 作CG BD于G G H K P到AF与CD的距离之和 及P到EF BC的距离之和均为HK的长 六边形ABCDEF是正六边形 AB DE AF CD BC EF BC CD BCD ABC CDE 120 CBD BDC 30 BD HK 且BD HK CG BD BD 2BG 2 BC cos CBD 6 拓广探索如图 M N分别是 O内接正多边形AB BC上的点 且BM CN 1 求图 中 MON 图 中 MON 图 中 MON 2 试探究 MON的度数与正n边形的边数n的关系 A B C M N M N M N O