2019_2020学年高中数学第1章导数及其应用1.1.1函数的平均变化率1.1.2瞬时速度与导数讲义新人教B版.docx

1.1.1函数的平均变化率1.1.2瞬时速度与导数学 习 目 标核 心 素 养1理解函数平均变化率的概念，会求函数的平均变化率(重点)2理解瞬时变化率、导数的概念(难点、易混点)3会用导数的定义求函数的导数.1通过函数平均变化率、瞬时变化率、导数概念的学习，培养学生的数学抽象素养2借助导数的定义求函数的导数，提升学生的数学运算素养.一、函数的平均变化率函数的平均变化率的定义一般地，已知函数yf(x)，x0，x1是其定义域内不同的两点，记xx1x0，yy1y0f(x1)f(x0)f(x0x)f(x0)，则当x0时，商称作函数yf(x)在区间x0，x0x(或x0x，x0)的平均变化率二、瞬时速度与导数1物体运动的瞬时速度设物体运动路程与时间的关系是sf(t)，当t趋近于0时，函数f(t)在t0到t0t之间的平均变化率趋近于常数，我们把这个常数称为t0时刻的瞬时速度2函数的瞬时变化率设函数yf(x)在x0及其附近有定义，当自变量在xx0附近改变量为x时，函数值相应地改变yf(x0x)f(x0)，如果当x趋近于0时，平均变化率趋近于一个常数l，那么常数l称为函数f(x)在点x0的瞬时变化率记作：当x0时，l.还可以说：当x0时，函数平均变化率的极限等于函数在x0的瞬时变化率l，记作 l.3函数f(x)在xx0处的导数函数yf(x)在点x0的瞬时变化率，通常称为f(x)在点x0处的导数，并记作f(x0)，即f(x0) .4函数的导数如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x都是可导的，则称f(x)在区间(a，b)可导这样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个确定的导数f(x)于是，在区间(a，b)内，f(x)构成一个新的函数，把这个函数称为函数yf(x)的导函数记为f(x)或y(或yx)1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)x表示x2x1，是相对于x1的一个增量，x的值可正可负，但不可为零()(2)y表示f(x2)f(x1)，y的值可正可负，也可以为零()(3)表示曲线yf(x)上两点(x1，f(x1)，(x2，f(x2)连线的斜率()(4)函数yf(x)在xx0处的导数值与x的正、负无关()(5)瞬时变化率是刻画某函数值在区间x1，x2上的变化快慢的物理量()答案(1)(2)(3)(4)(5)2.如图，函数yf(x)在1,3上的平均变化率为()A1B1C2 D2解析1答案B3函数f(x)x2在x1处的瞬时变化率是_解析f(x)x2，函数f(x)在x1处的瞬时变化率是 (2x)2.答案2求函数的平均变化率【例1】(1)已知函数yf(x)x21，则在x2，x0.1时，y的值为()A0.40B0.41C0.43D0.44(2)已知函数f(x)x，分别计算f(x)在自变量x从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快思路探究(1)由yf(xx)f(x)f(20.1)f(2)可得(2)解析(1)yf(2x)f(2)f(2.1)f(2)2.12220.41答案B(2)自变量x从1变到2时，函数f(x)的平均变化率为；自变量x从3变到5时，函数f(x)的平均变化率为.因为0)垂直上抛的物体，t秒时的高度为s(t)v0tgt2，则物体在t0时刻的瞬时速度为_(2)某物体的运动方程为s2t3，则物体在第t1时的瞬时速度是_思路探究先求出，再求 .解析(1)sv0(t0t)g(t0t)2v0tgt0tgt2，v0gt0gt， v0gt0，即t0时刻的瞬时速度为v0gt0.(2)当t1时，s2(1t)321321(t)33t3(t)2222(t)36t6(t)222(t)36(t)26t，2(t)26t6， 6，则物体在第t1时的瞬时速度是6.答案(1)v0gt0(2)61求运动物体瞬时速度的三个步骤(1)求时间改变量t和位移改变量ss(t0t)s(t0)；(2)求平均速度；(3)求瞬时速度，当t无限趋近于0时，无限趋近于常数v，即为瞬时速度2求(当x无限趋近于0时)的极限的方法(1)在极限表达式中，可把x作为一个数来参与运算(2)求出的表达式后，x无限趋近于0就是令x0，求出结果即可2一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s3tt2(位移单位：m，时间单位：s)(1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t2时的瞬时速度；(3)求t0到t2时的平均速度解(1)初速度v0 (3t)3，即物体的初速度为3 m/s.(2)v瞬l l (t1)1，即物体在t2时的瞬时速度为1 m/s，方向与初速度方向相反(3)1，即t0到t2时的平均速度为1 m/s.求函数在某点处的导数探究问题一质点的运动方程为s83t2，其中s表示位移，t表示时间1试求质点在1,1t这段时间内的平均速度提示：63t.2当t趋近于0时，探究1中的平均速度趋近于何值？如何理解这一速度？提示：当t趋近于0时，趋近于6.这时的平均速度即为t1时的瞬时速度【例3】(1)求函数f(x)x2x在x1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数；(2)求函数y3x2在x1处的导数思路探究求函数f(x)在任意点处的导数都应先求平均变化率，再求f(x0)解(1)yf(1x)f(1)(1x)2(1x)23x(x)2，3x，f(1) (3x)3.(2)yf(1x)f(1)3(1x)236x3(x)2，63x，f(1) (63x)6.1通过本例(1)进一步感受平均变化率与瞬时变化率的关系，对于y与x的比值，感受和认识在x逐渐变小的过程中趋近于一个固定的常数A这一现象2用定义求函数在xx0处的导数的步骤(1)求函数的增量yf(x0x)f(x0)；(2)求平均变化率；(3)求极限，得导数为f(x0) .简记为：一差、二比、三趋近3求函数f(x)x在x1处的导数解y(1x)x1x，1，f(1) 2.1已知函数yf(x)2x2的图象上点P(1,2)及邻近点Q(1x，2y)，则的值为()A4B4xC42x2 D42x解析42x.答案D2一个物体的运动方程为s1tt2，其中s的单位是：m，t的单位是：s，那么物体在3 s末的瞬时速度是()A7 m/s B6 m/sC5 m/s D8 m/s解析5t， (5t)5(m/s)答案C3质点运动规律sgt2，则在时间区间(3,3t)内的平均速度等于_(g10 m/s2)解析sg(3t)2g32106t(t)230t5(t)2，305t.答案305t4一质点M按运动方程s(t)at21做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)若质点M在t2 s时的瞬时速度为8 m/s，则常