北京市2017届高三数学理科一轮复习专题突破训练：数列

北京市 2017 届高三数学理一轮复习专题突破训练 数 列 一、选择、填空题 1、（ 2016 年北京高考） 已知 n 项和，若1 6a，350，则6= 2、（ 2015 年北京高考） 设 下列结论中正确的是 21 则 032 31 021 10 ，则312 1a ，则 0)(3212 2014 年北京高考） 若等差数列 9 0a a a ，7 10 0，则当 n _时 ，前 n 项和最大 . 4、（朝阳区 2016 届高三二模） 为了响应政府推进 “菜篮子 ”工程建设的号召，某经销商投资 60 万元建了一个蔬菜生产基地 万元，以后每年支出的费用比上一年多 2 万元 6 万元 )n 年的纯利润（ ()前 n 年的总收入前 n 年的总费用支出投资额），则 () （用 n 表示）；从第 年开始盈利 . 5、（东城区 2016 届高三二模） 成等差数列的三个正数的和等于 6 ，并且这三个数分别加上 3 、 6 、13后成为等比数列 、5，则数列 A. 12B. 13 C. 22D. 23 6、（丰台区 2016 届高三一模） 若数列 足 *1 2 ( 0 , )Nn n na a a n+ = 刮，且2，则12 na a a+ + +等于 （ A） 2n （ B） 21 （ C） 12 （ D） 121 7、（海淀区 2016 届高三二模） 在 数列 ， 1 2a ，且 1( 1) a n a ，则 3a 的值为 8、（昌平区 2016 届高三上学期期末） 已知函数 f (x) 的 部分 对应值如表 所示 . 数列,a且对任意*nN，点1( , )在函数()2016x 1 2 3 4 () 2 4 A . 1 C. 3 D. 4 9、（朝阳区 2016 届高三上学期期中） 已知 等差数列 ， 若1 2 4, , a a 么1 ） A. 2 B. 1 C. 1 D. 2 10、（海淀区 2016届高三上学期期中） 数列 的前 的值为 A 1 B 3 C 5 D 6 11、（石景山区 2016 届高三上学期期末） 已知数列 48 , 4， 则前 n 项和 ） 4S 东城区 2016 届高三上学期期中） 在数列 ， 13、（丰台区 2016 届高三上学期期末） 设等差数列 n 项和为7=42S,则2 3 7a a a= . 二、解答题 1、（ 2016 年北京高考） 设数列 A：1a，2a, )n ( 2 )的每个正整数 k 都有ka称 n 是数列 A 的一个 “ G 时刻 ” )(数列 A 的所有 “ G 时刻 ” 组成的集合 . （ 1）对数列 A： 2， 1， 3，写出 )(所有元素； （ 2）证明：若数列 A 中存在a，则 )(； （ 3）证明：若数列 A 满足1（ n=2,3, ,N ） ,则 )(元素个数不 小于2、（ 2015 年北京高考） 已知数列1N， 361 a ，且 18,36218,aa 2,1n 记集合 （ ）若 61a ，写出集合 （ ）若集 合 存在一个元素 是 3 的倍数，证明： 的倍数； （ ）求集合 的元素个数的最大值 3、（ 2014 年北京高考） 对于数对序列1 1 2 2( , ) , ( , ) , , ( , )a b a b a b，记1 1 1()T P a b， 1 1 2( ) m a x ( ) , ( 2 )k k k b T P a a a k n ，其中 1 1 2m a x ( ) , a a a 表示1()12 ka a a 两个数中最大的数， （ 1） 对于数对序列 ( 2 , 5 ), ( 4 ,1)12( ), ( )T P T （ 2） 记 m 为 , , ,a b c d 四个数中最小值，对于由两个数对 ( , ), ( , )a b c d 组成的数对序列( , ), ( , )P a b c d 和 ( , ), ( , )P a b c d ，试分别对 和 的两种情况比较 2()( ) （ 3）在由 5 个数对 ( 1 1 , 8 ) , ( 5 , 2 ) , ( 1 6 , 1 1 ) , ( 1 1 , 1 1 ) , ( 4 , 6 )组成的所有数对序列中，写出一个数对序列 P 使5()写出5()（只需写出结论） . 4、（朝阳区 2016 届高三二模） 已知集合 311 , ( 22nS k k k n N，且 )n N 若存在非空集合12, , , S，使得12 S S，且 (1 , , ) i j n i j ，并, ( 1 , 2 , , ) ,ix y S i n x y ，都有 ix y S ，则称集合 S 具有性质 P ， 1, 2, ,）称为集合 S 的 P 子集 （ ）当 2n 时，试说明集合 S 具有性质 P ，并写出相应的 P 子集 2 ； （ ）若集合 S 具有性质 P ，集合 T 是集合 S 的一个 P 子集，设 3 | nT s s T ， 求证： ,x y T T ， ，都有 x y T T ； （ ）求证：对任意正整数 2n ，集合 S 具有性质 P 5、（东城区 2016 届高三二模） 数列 定义：212 ( 1 )n n n nd a a a n ，1 1a. （） 若2 2a ，求 ( ) 若2 2a ， 1， 求 证 此 数列 满足 *5 ( )na n N ； （） 若 1，2 1a 且数列 ，即4 ( 1)a n ，写出所有符合条件的 6、（丰台区 2016 届高三一模） 已知数列 2=,a a a b（ ,11111( 1 ) ,=( 1 ) . （）若 122, =1，写出 45, （）已知数列 1)ka k N（，求证：数列 ； （）已知数列 ，记2 1 2= m a x , ( 1 , 2 , 3 , ;n n nb a a n , 列 单调递减数列 . 7、（海淀区 2016 届高三二模） 已知集合 | ( , , , , . . . , ) , 0 , 1 n i n x x x x x 12 ，1, 2 ， ， ,其中 3n . ( , , , , . . . , )i n nX x x x x 12 , 称 X 的第 i 个坐标分量 . 若 ，且满足如下 两条 性质： S 中元素个数不少于 4 个； ,X Y Z S，存在 1, 2 , ， ，使得 , 的第 m 个坐标分量都是 1； 则称 S 为n的一个好子集 . （ ） 若 , , , S X Y Z W 为 3 的一个好子集，且 (1 , 1 , 0 ) , (1 , 0 , 1 )，写出 , （ ） 若 S 为 n 的一个好子集，求证： S 中元素个数不超过 12n ； （ ） 若 S 为 n 的一个好子集且 S 中恰好有 12n 个元素时， 求证： 一定存在唯一一个 1, 2,., ，使得 S 中所有元素的第 k 个坐标分量都是 1. 8、（石景山区 2016 届高三一模） 若对任意的正整数 n ，总存在正整数 m ，使得数列 n 项 和则称 归数列” （ ） 前 n 项和为 2的数列 归数列”？并请说明理由； 通项公式为 2数列 归数列”？并请说明理由； （ ） 设 项1 1a，公差 0d ，若 归数列”，求 d 的值； （ ） 是否对任意的等差数列 存在两个“回归数列” 得n n na b c *()n给出你的结 论，并说明理由 9 、 （ 西 城 区 2016 届 高 三 二 模 ） 已知 任 意 的 正 整 数 n 都 可 唯 一 表 示为1 1 00 1 12 2 2 2kk a a a a ，其中 0 1a ， 12, , , 0 ,1ka a a ， kN 对于 n N ，数列 01, , , ka a 时 ， 0否则 1如数 5 可以唯一表示为 2 1 05 1 2 0 2 1 2 ，则5 0b （ ）写出数列 项； （ ） 求证 ：数列 的项不超过 2 项； （ ）记数列 n 项和 为满足 1026的所有 n 的值 （结论不要求证明） 10、（朝阳区 2016 届高三上学期期末） 已知有穷 数列 ： *1 2 3, , , , ( , 3 )ka a a a k k且 满足条件： 1 1 1212 ( 1 , 2 , 3 , , 1 )a n （） 若13, 2，求出这个 数列； （） 若 4k ，求1 （） 若 k 是偶数，求1 k 表示） 11、（朝阳区 2016 届高三上学期期中） 已知等差数列 a，公差 1d ，前 n 项和为 1n . （ ） 求数列 （ ） 求证：1 2 3 2nb b b b . 12、（东城区 2016 届高三上学期期末） 设 0, 1)q q q等比数列 ，1 2 34 , 3 , 2a a 且它的前 4 项和4 15s . （ ）求数列 （ ） 令 2 , ( 1 , 2 , 3 . . . . . . )a n n ,求数列 n 项和 . 参考答案 一、选择、填空题 1、 【答案】 6 【解析】 试题分析： 3 5 420a a a ，4 0a ，41 36a a d ， 2d ， 616 1 5 6 6 1 5 ( 2 ) 6S a d ，故填： 6 2、 C 解 析 ： 0d 2222231 31222222 3、 8 由等差数列的性质， 7 8 9 83a a a a ， 7 1 0 8 9a a a a ，于是有 8 0a ， 890，故 9 0a 故87， 98， 8S 为 前 n 项和 的最大值 4、 2 1 9 6 0 ,5 5、 A 6、 B 7、 B 8、 B 9、 A 10、 C 11、 B 12、 1 2 1)2 n （13、 18 二、解答题 1、 【答案】（ 1） () 和 5 ； （ 2） 详见 解析；（ 3） 详见 解析 . 如果 m 则对任何ii ,1. 从而 )(且1 ii 又因为(的最大元素，所以 2、 解析 :（ ） 6 ， 12 ， 24 （ ）因为集合 M 存在一个元素是 3 的倍数，所以不妨设 的倍数 由 18,362,18,21 可归纳证明对任意 ， 3 的倍数 如果 1k ，则 M 的所有元素都是 3 的倍数 如果 1k ，因为12 kk 621 kk 以12 的倍数，于是1 的倍数 类似可得，12 , 都是 3 的倍数 从而对任意 1n ， 的倍数 因此 集合 M 的所有元素都是 3 的倍数 综上，若集合 M 存在一个元素是 3 的倍数，则集合 M 的所有元素都是 3 的倍数 （ ） 由 361 a ，18,362,18,21111归纳证明 ),3,2(36 na n 因为 1a 是正整数，18,362,18,211112 所以 2a 是 2 的倍数 从而当 3n 时， 的倍数 如果 1a 是 3 的倍数，由 （ ）知对所有正整数 n ， 的倍数 因此当 3n 时， 36,24,12这时 M 的元素的个数不超过 5 如果 1a 不是 3 的倍数，由 （ ）知对所有正整数 n ， 的倍数 因此当 3n 时， 32,28,20,16,8,4这时 M 的元素的个数不超过 8 当 11a 时， 32,28,20,16,8,4,2,1M 共 8 个元素 综上可知，集合 M 元素个数的最大值为 8 3、 1 2 5 7 , 211 m a x 2 4 1 m a x 7 6 8T P T P ; 当 时： 1T P a b ， 2 m a x m a d a b a c a d b c ； 1T P c d ， 2 m a x m a b c d c a b c a d b c d ； 因为 a 是 a b c d 中最小的数，所以 m a xa b c b c ，从而 22T P T P； 当 时， 1T P a b ， 2 m a x m a d a b a c a d b c ； 1T P c d ， 2 m a x m a b c d c a b c a d a b c ； 因为 d 是 a b c d 中最小的数，所以 m a xd b c b c ，从而 22T P T P。 综上，这两种情况下都有 22T P T P。 数列序列 :P 4,6 ， 11,11 ， 16,11 ， 11,8 ， 5,2 的 5 1 10， 2 26， 3 42， 4 50， 5 52. 4、 证明：（ ）当 2n 时， 1, 2, 3, 4S ，令1 1, 4S ，2 2,3S , 则12S S S, 且对 , ( 1 , 2 ) ,ix y S i x y ，都有ix y S， 所以 S 具有性质 P 相应的 P 子集为1 1, 4S ，2 2,3S 3 分 （ ） 若 31, (1 )2nx y T y x ,由已知 x y T , 又 31 132n ,所以 x y T 所以 x y T T 若 ,x y T ,可设 3 , 3s y r ， ,r s T ,且 3112 ， 此时 31( 3 ) ( 3 ) 1 32nn n nx y s r s r 所以 x y T ，且 x y s r T 所以 x y T T 若 , 3 nx s T ,， 则 3 1 3 3 3 1( 3 ) ( ) 3 ( 1 ) 32 2 2n n nn n nx y s y s y , 所以 x y T 又因为 ,y T s T，所以 s y T 所以 ( 3 ) ( ) 3y s y s y T 所以 x y T T 综上，对于 ,x y T T ， ，都有 x y T T 8 分 （ ）用数学归纳法证明 （ 1）由（ ）可知当 2n 时，命题成立，即集合 S 具有性质 P （ 2）假设 ( 2k )时，命题成立即1231 1 , 2 , 3 , , 2 S S， 且 ( 1 , , ) i j n i j ， , ( 1 , 2 , , ) ,ix y S i k x y ，都有ix y S 那么 当 1时，记 3 | s s S , ， 并构造如下 k+1 个集合：1 1 1S S S ,2 2 2S S S , ,k k S ， 13 1 3 1 3 1 1 , 2 , , 2 1 2 2 2k k ， 显然 () i j 又因为 13 1 3 13122 ，所以 11 2 131 1 , 2 , 3 , , 2 S S 下面证明 任意两个元素之差不等于 的任一元素 ( 1, 2 , , 1) 若两个元素13 1 3 1,22s S , 31112 , 则 3 1 3 1 3 1( ) ( )2 2 2k k ks r s r , 所以13 1 3 1( ) ( )22r S 若两个元素都属于i i S (1 ), 由（ ）可知，中任意两个元素之差不等于中的任一数 ( 1, 2 , , 1) 从而， 1时命题成立 综上所述，对任意正整数 2n ，集合 S 具有性质 P 13 分 5、 （ ）由212 ( 1 )n n n nd a a a n 以及得： 212 0 ( 1 )a n 所以从第二项起为等比数列 . 经过验证 等比数列 12 . ( )由于 1所以有2121n n na a a n nc a a则有1 1叠加得： 4 所以有 1 4a n ，叠加可得： 2 9 1 02n ， 所以最小值为 （） 由于 1，1 1a， 2 1a 若1 1d 可得3 2a ，若1 1d 可得3 0a 同理，若2 1d 可得4 4a 或4 2a ，若2 1d 可得4 0a 或4 2a 具体如下表所示 7452321111010325 所以 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 时相应的 1 1 1 1 1 1 1 1 或 1 1 1 1 1 1 1 1 6、 解：（）452, 1； （） *1)ka k N（，假设 1 当 1m 时，依题意有 23 1 当 1m 时，依题意有 2 ， 3 1 当 1m 时，依题意有2 1ka m ，3 21ka m ，4 1ka m ，5 1ka m ， 6 1 由以上过程可知：若 *1)ka k N（，在无穷数列 ，第 k 项后总存在数值为 1 的项，以此类推，数列 有无穷项为 1. （） 证明：由条件可知 1( 1, 2 , 3 , )， 因为 ，所以+1 1 , 2 , 3 , )a n（. 若2 1 2，则21. 因为212 +12= a ，所以 2 1 2 +1 . 若21221 ，则 212 + 2 2 122 ，于是 2 +2； 若21221 ，则 22 2 22 + 2 2 2 2 1212 1 2 12n n nn n n nn a aa a a aa ，于是2 +2 若21221 ，则 2 +2 1 ，于题意不符 ； 所以2 1 2 + 1 2 + 2m a x , n n na a a ，即1 .若2 1 2，则2 因为22 +12 a ，所以 2 2 +1； 因为22 +22 +1= a ，所以 2 2 +2； 所以2 2 + 1 2 + 2m a x , n n na a a，即1 于一切正整数 n ，总有1，所以数列 7、 解： （） (1 , 0 , 0 ) , (1 , 1 , 1 ) 2 分 （）对于 X n ，考虑元素 X )1,1,1,1( 21 ni ， 显然， ， ,X Y X ，对于任意的 ,2,1 ， 1, 不可能都为 1， 可得 , 中 4 分 又因为取定 X ，则 X 一定存在且唯一，而且 ， 且由 X 的定义知道， , ， X Y X Y ， 6 分 这样，集合 S 中元素的个数一定小于或等于集合 n 中元素个数的一半， 而集合 n 中元素个数为 2n ， 所以 S 中元素个数不超过 12n ； 8 分 （） 1 2 1( , , , , )x x x x ， 1 2 1( , , , , )n n nY y y y y 定义元素 ,1 1 2 2 1 1( , , , , )n n n x y x y x y x y ，显然 . 我们证明 : “对任意的 1 2 1( , , , , )x x x x S， 1 2 1( , , , , )y y y y S，都有 .” 假设存在 ,X Y S , 使得 ， 则由（）知， 1 1 2 2 1 1( ) ( 1 , 1 , , 1 , 1 )n n n x y x y x y x y S 此时，对于任意的 1, 2,., ， , ,1k k k kx y x y 不可能同时为 1 , 矛盾， 所以 . 因为 S 中只有 12n 个元素，我们记 1 2 1( , , , , )z z z z 为 S 中所有元素的乘积， 根据上面的结论，我们 知道 1 2 1( , , , , )z z z z S， 显然这个元素的坐标分量不能都为 0 ， 不妨设 1 , 根据 Z 的定义，可以知道 S 中所有元素的 k 坐标分量都为 1 11 分 下面再证明 k 的唯一性： 若还有 1 ,即 S 中所有元素的 t 坐标分量都为 1 , 所以此时集合 S 中元素个数至多为 22n 个，矛盾 . 所以结论成立 13 分 8、 解 :（ ） 2，作差法可得 11 2 nn n S ( 2)n， 当 1n 时，11 当 2n 时，1，存在 1，使得数列 归数列” 2 分 2前 n 项和 2nT n n，根据题意 2 2n n m ( 1)一定是偶数，存在 ( 1)2， 使得数列 归数列” 4 分 （ ） ( 1 )2n n d，根据题意，存在正整数 m ，使得2 立 即 2 1 ( 1 )d m d ， 1 02d m， 2m ， * 1m ，即 1d 8 分 （ ） 设等差数列1 ( 1 )na a n d 总存在两个回归数列11( 1)nb a n a ，1( 1 ) ( )nc n a d 使得n n na b c 9 分 证明如下： 1 1 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 )n n nb c a n a n a n d a 数列 n 项和11( 1 )2n n a a， 1n 时， 1m ； 2n 时， 1m ； 3n 时， ( 3)22为正整数，当 ( 3 )22时， 存在正整数 ( 3 )22，使得 归数列” 11 分 数列 n 项和1( 1 ) ()2n a d存在正整数 ( 1) 12，使得 归数列”，所以结论成立 13 分 9、 （ ） 解 ： 1， 1， 0， 1， 0， 0， 1， 1. 3 分 （ ） 证明 ： 设数列 的项从 1 由题意， 令 1 1 00 1 12 2 2 2kk a a a a ，则01, , , ka a a 中有奇数个 1 （ 1） 当 01, , , ka a a 中 无 0 时， 因为 1 1 02 2 2 2 ，所以 1 1 1 01 1 2 0 2 0 2 0 2 0 2k k ， 1 1 1 02 1 2 0 2 0 2 0 2 1 2k k 所以 1 ， 1 1 ， 2 0 ，此时连续 2 项为 1 5 分 （ 2）当01, , , ka a 时， 若 0， 即 1 1 00 1 12 2 2 0 2kk km a a a ， 则 1 1 00 1 11 2 2 2 1 2kk km a a a ， 因为01, , , ka a a 中有奇 数个 1， 所以1 0 ，此时连续 1 项为 1 7 分 若 1 即1 1 1 0011 22 2 0 2 1 2 1 2 1 2ik k s a a 连 续 个 乘 以， 则1 1 1 0010 21 2 2 1 2 0 2 0 2 0 2ik k s a a 连 续 个 乘 以， 1 1 1 001 ( 1 ) 0 22 2 2 1 2 0 2 0 2 1 2ik k s s sm a a 连 续 个 乘 以， （其中 iN ） 如果 s 为奇数， 那么1 1，2 0 ，此时连续 2 项为 1 如果 s 为偶数， 那么1 0 ，此时 仅有 1 项 1 综上所述，连续为 1 的项不超过 2 项 10 分 （ ） 解 ： 2051n 或 2052n . 13 分 10、 解： （） 因为13, 2，由 知3 2a ； 由 知，21211223