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2020年4月16日星期四 第七章直线和圆的方程 7 6圆的方程 4 直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系种类 种类 相离 没有交点 相切 一个交点 相交 二个交点 直线与圆的位置关系的判定 代数方法 直线方程L Ax By C 0圆的方程C x a 2 y b 2 r2 直线与圆的位置关系的判定 几何方法 演示 小结 消去y得 25x2 120 x 96 0 1202 100 96 4800 0 所以方程组有两解 直线L与圆C相交 几何法 圆心C 3 2 到直线L的距离d 因为r 2 d r所以直线L与圆C相交 比较 几何法比代数法运算量少 简便 例1 过点P 1 1 的直线L与圆M x 3 2 y 4 2 4 1 当直线和圆相切时 求切线方程和切线长 2 若直线的斜率为2 求直线被圆截得的弦AB的长 3 若圆的方程加上条件x 3 直线与圆有且只有一个交点 则直线的斜率的取值范围是 解 1 若直线L的斜率存在 设L的方程 y 1 k x 1 即kx y k 1 0因为直线与圆相切 所以圆心M到直线L的距离d r 即 若直线L的斜率不存在 则其方程为 x 1满足要求故所求切线方程为21x 20y 41 0或x 1 2 直线L的方程为 y 1 2 x 1 圆心M到直线L的距离d 故弦AB 3 如图R 3 2 Q 3 6 演示 在直角三角形PMA中 有 MP R 2所以切线长 PA 已知以 1 1 为圆心 以R为半径的圆C上有两点到直线AB 3x 4y 3 0的距离等于1 则R的取值范围是 例2 略 演示 例2 求由下列条件所决定圆x2 y2 4的切线方程 1 经过点 2 经过点 3 斜率为 1 解 1 点在圆上 故所求切线方程为 解 2 设切线方程为 直线与圆相切 圆心到直线的距离等于半径 所求切线方程为 解 设圆的切线方程为 代入圆的方程 整理得 直线与圆相切 解得 所求切线方程为 例3 求圆 x 3 2 y 4 2 1关于直线x y 0对称的圆的方程 解 圆 x 3 2 y 4 2 1的圆心是C 3 4 设对称圆圆心为C a b 则 化简 得 解得 所以 所求圆的方程是 x 4 2 y 3 2 1 例 已知圆的方程是 x a 2 y b 2 r2 求经过圆上一点M x0 y0 的切线方程 解 设圆心为C 切线的斜率为k C 半径CM的斜率为k1 因为圆的切线垂直于过切点的半径 于是 经过点M的切线方程是 整理得 M x0 y0 在圆上 x0 a 2 y0 b 2 r2 所求切线方程为 当MC与坐标轴平行时 可以验证上面的方程同
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