集合中常见的几类问题

集合中常见的几类问题题型 1：元素的互异性常见出错点：求出参数范围忘记带回检验，导致增根1、已知 a=a+2 ，（ a+1 ）2，a 2+3a+3 且 1a，求实数 a 的值；2、已知 m=2 ， a， b，n=2a ，2，b2且 m=n ，求 a，b 的值.集合元素的“三性”及其应用精品资料3、 设x2（ 2） 1，r，求中所有元素之和已知集合 a a, ab, a2b ， b a, ac,ac 2，若 ab ，求 c 的值4、已知集合a2 ，3, a 2 +4 a +2 ，b0,7,求a 值题型 2、有限集之间的关系用韦恩图a 2 +4 a -2,2- a ，且 ab=3,7,1、全集 u=x|x10 ，xn，au，bu，且（c u b）a=1,9 ，ab=3 ，（ cu a)(c u b)=4,6,7 ，求 a、b。题型 3：证明、判断两集合的关系1、 设集合 a a | a3n2, nz，集合 bb | b3k1,kz，试判断集合 a 、b 的关系。题型 4、无限集之间的关系用数轴2、集合 a=x|x-3| a，a0，b=x|x 2-3x+2 0 ，且 ba，则实数 a 的取值范围是.搞不清楚是否能取得边界值：例题 3、a=x|x10 ，b=x|x1m 且 ba，求 m 的范围.题型 5、集合之间的关系（在方程、不等式中的考查） 常见出错点：1、集合的关系判断中遗忘空集的情况2、集合所表示的是点集还是数集（点集多从图形的角度去考虑）3、集合中所涉及到的方程或不等式最高次数如果是字母要讨论0 的情况1、设集合 ax x 23x20 ， bx x 22(a1) x(a 25)0（1）若 ab2 ，求实数 a 的值；（2）若 aba，求实数 a 的取值范围若 ab2 。2、集合 a x | ax10, bx | x23x20,且 abb ,求实数 a 的值.3、 ax, y| x2y242， bx, y|x3y4 2r 2，其中 r0 ,若 ab求 r 的取值范围。4、已知集合 a x |2 x 5 ， b x | m1 x 2m1 ，满足 ba ，则实数 m 的取值范围为 .5、已知集合 ax|x2 6x80， bx |（ x a）（x3a） 0.（1） 若 ab，求 a 的取值范围；（2） 若 ab，求 a 的取值范围；（3） 若 abx|3x 4，求 a 的值或取值范围 .6. 已知集合 ax|mx22x 3 0，mr.（1） 若 a 是空集，求 m 的取值范围；（2） 若 a 中只有一个元素，求m 的值；（3） 若 a 中含有两个元素，求m 的取值范围 .题型六：补集思想的应用例 1 已知集合 a=y|y2-(a2+a+1)y+a(a2+1)0,b=y|y2-6y+80，若 ab， 求实数 a 的取值范围。例 2、若下列三个方程： x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0, x2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实根，试求实数a 的取值范围。二、集合中的创新题考查1、新运算问题例 1定义集合 a 与 b 的运算： ab x|xa，或 xb，且 xab，已知集合 a1，2，3，4， b3，4，5，6， 7，则(ab)b 为()(a) 1 ， 2， 3， 4， 5， 6， 7(b)1，2，3，4 (c) 1 ， 2(d)3 ，4，5，6，7例 2 m，p 是两非空集合，定义m 与 p 的差集为 m px|xm 且 xp，则 m(mp)= （ ）(a) p(b) mp(c) mp(d) m 2、元素或集合的个数问题例 3设 p3，4，5 ，q4， 5， 6， 7，定义 pq(a， b)|ap， bq，则 p q 中元素的个数为 ()(a) 3(b)4(c) 7(d)12例 4设m ，p 是两个非空集合，定义 m 与 p 的差集为 m px|xm 且 xp已知 a1，3，5，7， b2，3，5 ，则集合 ab 的子集个数为 ()(a) 1(b) 2(c) 3(d) 43、理想配集问题 例 5设 i1， 2， 3， 4，a 与 b 是 i 的子集，若 ab1，3，则称（a、b）为一个“理想配集”那么符合此条件的“理想配集”的个数是（规定（ a、b）与（ b、a）是两个不同的“理想配集”）()a 4b8c 9d164、元素的和问题 例 6定义集合 a，b 的一种运算： a*bx|xx1x2，其中x1a，x2b ，若 a1 ，2，3，b1 ，2，则 a*b 中的所有元素之和为 ()(a) 9(b) 14(c) 18(d) 215、集合的分拆问题例 7 若集合 a1 、a2 满足 a1 a2 =a，则称（ a1 ，a2 ）为集合 a 的一个分拆，并规定：当且仅当 a1 =a2 时，（a1 ，a2）与（ a 2，a1）为集合 a 的同一种分拆，则集合 a=a1,a2,a3 a.27b.26c.9d.86、集合长度问题例 8设数集 m x |mxm 3 ，nx|n41 xn，且 m、n 都是集合 x|03x1的子集，如果把 b a 叫做集合 x|axb的“长度，”那么集合 m n 的“长度”的最小值是()(a)1(b)2(c)1(d)53312127、集合组成的数集例 9 设 s 为复数集 c 的非空子集 .若对任意 x, ys ，都有 xy,xy,xys ，则称 s 为封闭集。下列命题：集合 sabi| a,b 为整数， i 为虚数单位 为封闭集；若 s 为封闭集，则一定有0s；封闭集一定是无限集；若 s 为封闭集，则满足stc 的任意集合 t 也是封闭集 .其中真命题是（写出所有真命题的序号）1. 设 a 是整数集的一个非空子集，对于ka ，如果 k1称k 是 a 的一个“孤立元”a ，且 k1a ，那么给定 s1 ，2 ，3，4 ，5 ，6 ，7 ，8，由 s 的3 个元素构成的所有集合中， 不含“孤立元”的集合共有个62. 对于各数互不相等的正数数组i1,i 2 , in （ n 是不小于 2 的正整数），如果在 pq时有 i piq ，则称“ip 与iq ”是该数组的一个“顺序，”一个数组中所有“顺序”的个数称为此数组的“顺序数”例如，数组2,4,3,1中有顺序“2, 4 ”，“2, 3 ”， 其“顺序数”等于2 若各数互不相等的正数数组“顺序数”是 6a1 ,a2 , a3, a4 , a5的“顺序数”是4 ，则a5a, 4,a3,a2a, 1的3. 对于任意两个正整数，定义运算（用表示运算符号）：当 m， n都 是 正 偶 数 或 都 是 正 奇 数 时 ， mnmn， 例 如4646, 13737 ；当 m ， n 中 一个 为正 偶数 ， 另 一 个为 正 奇 数时 ， mnmn ， 例 如343412在上述定义中， 集合ma ，b| ab12，a ，bn*的元素有个154. 设集合sa 0 ,a1 ,a 2 ,a 3 ,a4 , a5，在 s 上定义运算“”为：aiajak ，其中k 为 ij 被 4除的余数，i , j0,1,2,3,4,5则满足关系式( xx)a2a0 的x ( xs)的个数有个 35. 实数集 r 中定义一种运算“*，”具有性质： 对任意 a, br, a * bb * a ； 对任意 ar, a *0a ； 对任意a, b,cr,( a*b) *cc *(ab)(a *c) (b *c)2c ；*则 0*2 26. 给定集合 an1,2,3,., n， nn 若 f 是 anan 的映射，且满足： 任取 i , jan , 若ij ，则f (i )f ( j ) ； 任取 man , 若m 2 ，则有 mf (1), f (2),.,f (m) 则称映射 f 为 anan 的一个“ 优映射”例如：用表 1 表示的映射 f ： a3表 1i123a3 是一个“ 优映射”表 2i1234f (i )231f ( i )3 已 知 f ： a4a4 是一个“优映射”，请把表2 补充完整（只需填出一个满足条件的映射）i1234或i1234f (i )2314f (i )23417. 定义映射 fab ，其中am，n| m ，nr， br 已知对所有的有序正整数对m ，n 满足下述条件：fm ，11 ； 若mn ， fm，n0 ；fm则 f3, 21, nnfm, nfm, n1的值是；68. 已知f (1,1)1 ，f ( m, n)n * （ m 、 nn*)，且对任意 m 、 nn * 都有： f (m, n1)f (m, n)2 ；f (m1,1)2 f(m,1) 给出以下三个结论：（1）f (1,5)9 ；（2）f (5,1)16 ；（ 3）f (5, 6)26 其中正确的个数为（a）（a） 3（b） 2（ c） 1（d） 09. 下图展示了一个由区间0 ，1 到实数集 r 的映射过程： 区间 0 ，1 中的实数 m 对应数轴上的点 m ，如图 1； 将线段 ab 围成一个圆，使两端点a、 b 恰好重合，如图2； 再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y 轴上，点 a 的坐标为0 ，1，如图 3图 3 中直线 am 与 x 轴交于点nn ，0，则 m 的象就是 n ，记作 fmn ambyaa(b)m0m1mnox图 1图 2图 3 方程 fx0 的解是 x； 12 下列说法中正确命题的序号是（填出所有正确命题的序号） f11； fx是奇函数； fx在定义域上单调递增；4fx的图象关于点1 ,02对称10. 若集合 a 具有以下性质： 0a ， 1a ； 若 x, ya ，则 xya ，且 x0 时， 1a x则称集合 a 是“好集”分别判断集合并说明理由b = -1,0,1，有理数集 q 是否是“好集，”11. 若集合aa1, a2 ,l, ak( k2) ，其中 aiz (i1, 2, l, k ) ，由 a 中的元素构成两个相应的集合：s(a, b)aa, ba, aba ， t( a, b)aa, ba, aba其中 ( a, b)性质 p 是有序数对若对于任意的aa ，总有aa ，则称集合 a具有检验集合0，1，2，3与1，2，3是否具有性质 p 并对其中具有性质p 的集合，写出相应的集合 s 和t 12. 已知数集 aa1, a2 , an（ 1a1a2a jan ， n2 ）具有性质 p ：对任意的 i 、 j (1ijn) ， ai a j 与两数中至少有一个属于aai分别判断数集1,3,4与 1,2,3,6是否具有性质 p ，并说明理由 课后练习1、定义集合运算：abz | zxy, xa, yb设 a1,2, b0,2，则集合 ab 的所有元素之和为（）a0；b 2；c3；d62. 定义集合运算 : abzx 2 yxy 2 , xa, yb ,设集合 a1,0 , b2,3 ,则集合 ab 的所有元素之和为3. 设集合 sx | x23 ,tx | axa8 , str ，则 a 的取值范围是（）a3a1；b3a1c a3 或a1 ；d a3 或a14. 已知全集 ur ，集合 m x2x12 和 n x x2k1, k1,2, 的关精品资料系的韦恩（ venn ）图如图 1 所示，则阴影部分所示的集合的元素共有()a. 3 个b. 2 个c. 1 个d.无穷多个7.已知集体 a=x|x 1,b=x| a,且 ab=r ，则实数 a 的取值范围是精品资料9. 满足 ma1, a2 , a3 , a4,且 ma1, a2 , a3a1, a2的集合 m 的个数是.10. 设全集 u= r,集合 m=x|x 1 或 x3, 集合 p=x| kxk1, kr ，且 ump ，则实数 k 的取值范围是.11. 集合 a=x|x-3| a，a0， b=x|x 2-3x+2 0 ，且 ba，则实数 a 的取值范围是.12. 已知集合 a=x|mx 2 -2x+3=0 ，mr.（1）若 a 是空集，求 m2）若 a 中只有一个元素，求m 的值；（3）若 a 中至多只有一个元素，求m 的取值范围 .1 设 s,t, 是 r的两个非空子集 ,如果存在一个从s到 t的函数 yf ( x) 满足: (i )t f ( x) | xs;(ii )对任意x1, x2s, 当 x1x2 时,恒有f ( x1 )f ( x2 ),那么称这两个集合 “ 保序同构 ”.以下集合对不是 “保序同构 ”的是()a. an* , bnb. a x |1x3, b x| x8或0x10c. a x | 0x1,brd.az , bq2 设常数 ar ,集合 a x | (x1)( xa)0, b x | xa1 ,若 abr ,则a的取值范围为 ()(a)(,2)(b)(, 2(c)(2,)(d)2,)3（ 2013年 山 东 数 学 （ 理 ） 试 题 ） 已知 集 合 a =0,1,2, 则 集 合bxyx,ay中a 元素的个数是(a) 1(b)3(c)5(d)94（2013 年）设集合 a1,2,3, b4,5 , mx | xab, aa,bb, 则 m 中的元素个数为 ()(a)3(b)4(c)5(d)65设整数 n4 ,集合 x1,2,3, n .令集合sx, y, z| x, y, zx , 且三条件xyz, yzx, zxy恰有一个成立,