2.1多边形的概念及内角和

2 1多边形 第2章四边形 第1课时多边形的内角 情境引入 学习目标 1 了解并掌握多边形及有关概念 2 对角线条数与多边形的边数的关系 重点 3 理解正多边形及其有关概念 重点 4 会用分割法探索多边形的内角和计算公式 难点 导入新课 情景引入 在实际生活当中 除了三角形 还有许多由线段围成的图形 观察图片 你能找到一些由线段围成的图形吗 中国第一奇村诸葛八卦村 美国国防部大楼 五角大楼 讲授新课 问题2观察画某多边形的过程 类比三角形的概念 你能说出什么是多边形吗 在平面内 由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形 问题1什么是三角形 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形 思考 比较多边形的定义与三角形的定义 为什么要强调 在平面内 呢 怎样命名多边形呢 这是因为三角形中的三个顶点肯定都在同一个平面内 而四点 五点 甚至更多的点就有可能不在同一个平面内 多边形用图形名称以及它的各个顶点的字母表示 字母要按照顶点的顺序书写 可以按顺时针或逆时针的顺序 内角 多边形相邻两边组成的角 问题3根据图示 类比三角形的有关概念 说明什么是多边形的边 顶点 内角 外角 顶点 边 外角 多边形的边与它的邻边的延长线组成的角 n边形有n个顶点 n条边 n个内角 2n个外角 多边形按它的边数可分为 三角形 四边形 五边形等等 其中三角形是最简单的多边形 例1六边形纸片剪去一个角后 得到的多边形的边数可能是多少 画出图形说明 解 六边形截去一个角的边数有增加1 减少1 不变三种情况 新多边形的边数为7 5 6三种情况 如图所示 一个多边形截去一个角后 多边形的边数可能增加了一条 也可能不变或减少了一条 典例精析 A B C D E 定义 多边形中连接不相邻两个顶点的线段 叫做多边形的对角线 线段AC是五边形ABCDE的一条对角线 多边形的对角线通常用虚线表示 探究 请画出下列图形从某一顶点出发的对角线的条数 0 1 2 3 5 n 3 1 2 3 4 6 n 2 从n n 3 边形的一个顶点可以作出 n 3 条对角线 将多边形分成 n 2 个三角形 n n 3 边形共有对角线条 归纳总结 画一画 画出下列多边形的全部对角线 定义 在平面内 边相等 角也都相等的多边形叫作正多边形 想一想 下列多边形是正多边形吗 如不是 请说明为什么 答 都不是 第一个图形不符合四个角都相等 第二个图形不符合各边都相等 问题2你知道长方形和正方形的内角和是多少度吗 问题1三角形内角和是多少度 三角形内角和是180 都是360 问题3猜想任意四边形的内角和是多少度 猜想 四边形ABCD的内角和是360 问题4你能用以前学过的知识证明一下你的结论吗 猜想与证明 方法1 如图 连接AC 所以四边形被分为两个三角形 所以四边形ABCD内角和为180 2 360 E 方法2 如图 在BC边上任取一点E 连接AE DE 所以该四边形被分成三个三角形 所以四边形ABCD的内角和为180 3 AEB AED CED 180 3 180 360 方法3 如图 在四边形ABCD内部取一点E 连接AE BE CE DE 把四边形分成四个三角形 ABE ADE CDE CBE 所以四边形ABCD内角和为 180 4 AEB AED CED CEB 180 4 360 360 E P 方法4 如图 在四边形外任取一点P 连接PA PB PC PD将四边形变成有一个公共顶点的四个三角形 所以四边形ABCD内角和为180 3 180 360 这四种方法都运用了转化思想 把四边形分割成三角形 转化到已学的三角形内角和求解 结论 四边形的内角和为360 例2 如果一个四边形的一组对角互补 那么另一组对角有什么关系 试说明理由 解 如图 四边形ABCD中 A C 180 A B C D 360 因为 B D 360 A C 360 180 180 所以 如果一个四边形的一组对角互补 那么另一组对角互补 变式题 如图 在四边形ABCD中 A与 C互补 BE平分 ABC DF平分 ADC 若BE DF 求证 DCF为直角三角形 证明 在四边形ABCD中 A与 C互补 ABC ADC 180 BE平分 ABC DF平分 ADC CDF EBF 90 BE DF EBF CFD CDF CFD 90 故 DCF为直角三角形 运用了整体思想 问题5你能仿照求四边形内角和的方法 选一种方法求五边形和六边形内角和吗 内角和为180 3 540 内角和为180 4 720 0 n 3 1 2 3 1 2 3 4 n 2 n 2 180 1 180 180 2 180 360 3 180 540 4 180 720 由特殊到一般 分割 多边形 三角形 分割点与多边形的位置关系 顶点 边上 内部 外部 转化思想 总结归纳 多边形的内角和公式 n边形内角和等于 n 2 180 60 90 120 完成下面的表格 108 135 例3一个多边形的内角和比四边形的内角和多720 并且这个多边形的各内角都相等 这个多边形的每个内角是多少度 解 设这个多边形边数为n 则 n 2 180 360 720 解得n 8 这个多边形的每个内角都相等 8 2 180 1080 它每一个内角的度数为1080 8 135 例4如图 在五边形ABCDE中 C 100 D 75 E 135 AP平分 EAB BP平分 ABC 求 P的度数 解析 根据五边形的内角和等于540 由 C D E的度数可求 EAB ABC的度数 再根据角平分线的定义可得 PAB与 PBA的角度和 进一步求得 P的度数 可运用整体思想 解 EAB ABC C D E 540 C 100 D 75 E 135 EAB ABC 540 100 75 135 230 AP平分 EAB PAB EAB 同理可得 ABP ABC P PAB PBA 180 P 180 PAB PBA 180 EAB ABC 180 230 65 1 九边形的对角线有 A 25条B 31条C 27条D 30条 C 2 若从一个多边形的一个顶点出发 最多可以引10条对角线 则这是边形 十三 3 过八边形的一个顶点画对角线 把这个八边形分割成个三角形 六 当堂练习 4 一个多边形的内角和不可能是 A 1800 B 540 C 720 D 810 D 5 一个多边形从一个顶点可引对角线3条 这个多边形内角和等于 A 360 B 540 C 720 D 900 C 6 一个多边形的内角和为1800 截去一个角后 求得到的多边形的内角和 解 1800 180 10 原多边形边数为10 2 12 一个多边形截去一个内角后 边数可能减1 可能不变 也可能加1 新多边形的边数可能是11 12 13 新多边形的内角和可能是1620 1800 1980 能力提升 如图 求 1 2