2013第十八届华杯复赛小学高年级组C卷(含解析).docx

第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试卷C（小学高年级组）（时间：2013年4月20日10:00-11:30）一、填空题（每小题10分，满分80分）1计算：_2农谚“逢冬数九”讲的是，从冬至之日起，每九天分一段，依次称之为一九，二九，九九，冬至那天是一九的第一天，2012年12月21日是冬至，那么2013年2月3日是_九的第_天3最简单分数满足，且不超过19，那么的最大可能值与最小可能值之积为_4如图所示，、分别是正方形的边和对角线上的点，且，如果正方形的面积为100，那么三角形的面积是_5四位数与的和为3333，差为693，那么四位数为_6两个较小的正方体积木分贝粘在一个大正方体积木的两个面上，构成如图所示的立体图形，其中，每个小积木的粘贴面的四个顶点分别是大积木的的粘贴面各边的一个五等分点，如果每个积木的棱长互不相同且最大的棱长为5，则这个立体图形的表面积为_7设、分别是09中的数字，它们不同时都为0也不同时都为9将循环小数化成最简分数后，分子有_不同情况8由四个完全相同的正方体，堆积成如图所示的立体，则立体的表面上（包括底面）所有黑点的总数至少是_二、解答题（每题10分，共40分）9右图中，大正方形的周长比小正方形的周长多80厘米，阴影部分的面积为880平方厘米 那么,大正方形的面积是多少平方厘米?10某高中根据入学考试成绩确定了录取分数线,录取了四分之一的考生所有被录取者的成绩平均分比录取分数线高10分,所有没有被录取的平均分比录取分数线低26分,所有考生的平均成绩是70分那么录取分数线是多少?11设是小于50的自然数,求使得和有大于1的公约数的所有12一次数学竞赛中,参赛各队每题的得分只有0分,3分和5分三种可能比赛结束时,有三个队的总得分之和为32分若任何一个队的总得分都可能达到32分,那么这三个队的总得分共有多少种不同的情况?三、解答题（每题15分，共30分）13在等腰直角三角形中,矩形在三角形内,且,在边上求矩形的最大面积14用八个右图所示的的小长方形可以拼成一个的正方形若一个拼成的正方形图形经过旋转与另一个拼成的正方形图形相同,则认为两个拼成的正方形相同问:有几种拼成的正方形图形仅以一条对角线为对称轴?第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试卷C（小学高年级组）参考答案12345677.55,925337.52013或1320270660891011121314551024877,20,33,4625510参考解析一、填空题（每小题10分，满分80分）1计算：_【考点】计算速算巧算【难度】【答案】7.5【分析】2农谚“逢冬数九”讲的是，从冬至之日起，每九天分一段，依次称之为一九，二九，九九，冬至那天是一九的第一天，2012年12月21日是冬至，那么2013年2月3日是_九的第_天【考点】周期问题【难度】【答案】5，9【分析】2012年12月21到2013年2月3日，包含12月21在内，共（31-21+1）+31+3=45天，周期为9，459=5，故为五九的第九天3最简单分数满足，且不超过19，那么的最大可能值与最小可能值之积为_【考点】数论分数比较大小【难度】【答案】253【分析】先分别求出的最大值与最小值；要使最大，则与尽量大，由于不超过19，故最大为19，由是最简分数，且，当时，利用商不变性质有：，故最大可为4，因此最大可能为同理，可求出的最小值：由可得：，最小可为，故最小值可为2，最小可为9，最小可为2+9=11，因此，所有的积为：4如图所示，、分别是正方形的边和对角线上的点，且，如果正方形的面积为100，那么三角形的面积是_【考点】几何面积问题，【难度】【答案】37.5【分析】作于,正方形的面积为100，所以，因为,，所以，所以，5四位数与的和为3333，差为693，那么四位数为_【考点】数论位值原理【难度】【答案】2013或1320【分析】或6两个较小的正方体积木分贝粘在一个大正方体积木的两个面上，构成如图所示的立体图形，其中，每个小积木的粘贴面的四个顶点分别是大积木的的粘贴面各边的一个五等分点，如果每个积木的棱长互不相同且最大的棱长为5，则这个立体图形的表面积为_【考点】几何立体图形表面积问题【难度】【答案】270【分析】把粘在一起的二个面转化为平面图形单独画出来，求出小积木的一个面的面积，就不难求出立体图形的表面积了一个小积木的面积为大积木的面积减去四个相等的三角形的面积：，另一个小积木的面积为：于是立体图形的总表面积为：7设、分别是09中的数字，它们不同时都为0也不同时都为9将循环小数化成最简分数后，分子有_不同情况【考点】数论容斥原理+循环小数与分数的互化【难度】【答案】660【分析】首先求出此循环小数化为分数后的总个数，根据条件，分子是001998，分母是999，共有998个，然后，要把分子分母约分变成最简分数，分子约分后必与001-998当中的某数一样，这样，有多少个重复的，就应该减去多少因此，问题转化为求1-998当中有多少个能与999完全约分后有重复关键是不多减，也不遗漏999=33337，9983=332余2，99837=26余36，263=8余2，也就是1-998当中有332个能被3整除，有26个能被37整除，有8个既能被3整除又能被37整除，当我们根据容斥原理列算式998-332-26+8=648时，要想一想，所有能被3或37整除的都是重复的吗（也就是都可以减去吗）？对于小学生来说，最好的方法是举例子来想一想（例如：，这些分子都是1与1重复了，但，因已经减去了，故就没有中的分子就没有重复了）由于999=33337，故1-998当中能被37整除的全部应该减去，但，能被3整除的就不能全部减去，因为那些含有3333即4个或以上3的因数的数，约分后就没有重复的了这部分数有998（3333）=12个，故，还应加回这12个数，因此，完整的算式是：998-332-26+8+12=660，即分子共有660种不同情况8由四个完全相同的正方体，堆积成如图所示的立体，则立体的表面上（包括底面）所有黑点的总数至少是_【考点】逻辑推理问题【难度】【答案】55【分析】3对面是5，4对面是2，当然，剩下的1对面就是6把能看到的按顺序全加起来：2+3+5+4+3+1+6+3+4=31，把对面看不到的表面数字能确定的加起来，共有5个：4+3+2+2+1+5+5=22，两个不能马上确定，但是左面通过推理的一定是1，中间的最小也是131+22+1+1=55二、解答题（每题10分，共40分）9右图中，大正方形的周长比小正方形的周长多80厘米，阴影部分的面积为880平方厘米那么,大正方形的面积是多少平方厘米?【考点】直线型面积勾股弦图【难度】【答案】1024【分析】首先，我们容易从大正方形的周长比小正方形的周长多80，分析出大正方形的边长比小正方形的边长多，这个应该都没问题接下来，解法一：列方程（方法简单，但需解稍为难一点点的方程）设小正方形的边长为，那么大正方形的边长为，可列方程如下：，这个方程虽然不是小学生学过的简易方程，但，对于参加奥赛的学生来说，还是可以解出来的，解之得，因此，大正方形的边长为，故大正方形的面积为解法二：如果不想列方程，那么，就稍为转换一下思维角度把大正方形中的小正方形移到某个角落，如右上角，显然，这样并不会改变阴影部分的面积，如图：根据前面的推论，虚线部分的长度是20，于是不难有以下算式：，这是两个小长方形的面积和，两个长方形形状一样故，这是一个长方形的面积，而长方形的长是20，因此，这是长方形的宽，也就是小正方形的边长故，大正方形的边长为，面积为10某高中根据入学考试成绩确定了录取分数线,录取了四分之一的考生所有被录取者的成绩平均分比录取分数线高10分,所有没有被录取的平均分比录取分数线低26分,所有考生的平均成绩是70分那么录取分数线是多少?【考点】应用题平均数【难度】【答案】87【分析】由于题中没有直接给出具体有多少名学生参加入学考试，故不妨设有4名学生参加入学考试，其中1人被录取，3人未被录取根据题意可画出下图：从图中可以看出，要想使未录取的3名同学的平均分达到70分，只要把录取同学的平均分比未录取同学的平均分多的分数（）平均分成4份，把其中的3份分别加到未录取同学的平均分上即可由此可推出未录取同学的平均分全体同学的平均分所以，可知未录取同学的平均分为（分）那么录取分数线为（分）11设是小于50的自然数,求使得和有大于1的公约数的所有【考点】数论因数倍数【难度】【答案】7,20,33,46【分析】对于小于50的自然数,设是和大于1的公约数,则整除，所以，进而,，所以，所以为7，20，33，4612一次数学竞赛中,参赛各队每题的得分只有0分,3分和5分三种可能比赛结束时,有三个队的总得分之和为32分若任何一个队的总得分都可能达到32分,那么这三个队的总得分共有多少种不同的情况?【考点】逻辑推理【难度】【答案】255【分析】设三队得3分的题共道,得5分的题共道,则(分)可得到以下两种情况：1),此时,相当于三队分9个3分和1个5分,三个队分5分的可能共有3种当时,若某个队得个3分,则另外两个队分个3分的可能共有种所以对于9个3分共有(种)分9个3分和1个5分的总可能有(种)2)此时相当于三队分4个3分和4个5分当时,若某个队得个3分,则另外两个队分个3分的可能共有种所以对于4个3分共有(种)甲乙丙三队再分4个5分,类似地也有15种分法但某队得5分的个数不少于3个时,其中的3个5分与1）中的得5个3分的得分数一样,所以在1）中已考虑过而三个队分4个5分,其中有一队得到不少于3个的分法共9种所以三队分4个3分和4个5分共有(种)综合1)和2),三个队的不同的总得分情况共有165+90255种三、解答题（每题15分，共30分）13在等腰直角三角形中,矩形在三角形内,且,在边上求矩形的最大面积【考点】直线型面积【难度】【答案】【分析】矩形的最大面积时,和应分别在边和上作,与交于,四边形是正方形延长交于,延长交于,连结,分别交与于,容易证明,四边形是顶点在正方形的边上的矩形并且在正方形内设,则同样，于是,，因此由此可见常数即矩形的周长一定在所有周长相同的矩形中,面积最大者为同周长的正方形此时,因此,矩形的面积最大为14用八个右图所示的的小长方形可以拼成一个的正方形若一个拼成的正方形图形经过旋转与另一个拼成的正方形图形相同,则认为两个拼成的正方形相同问:有几种拼成的正方形图形仅以一条对角线为对称轴？【答案】8【考点】计数几何计数【分析】用代替题目中的小长方形因为一条对角线旋转90度后与另一条对角线重合,所以只需考虑仅以过左上顶点的对角线为对称轴的情况此时,拼出正方形在该对